高三文科数学导数专题

2008届高三文科数学其次轮复习资料——《函数与导数》专题1．设是定义在上的函数，对一切均有，且当时，，求当时，的解析式．2.已知定义域为的函数是奇函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对随意的，不等式恒成立，求的取值范围.3．集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的：对于随意的x≥0，f(x)∈(1,4]，且f(x)在[0，+∞)上是减函数.（1）推断函数f(x)=2-与f(x)=1+3·((x≥0)是否在集合A中？若不在集合A中，试说明理由；（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f(x)，不等式f(x)(2)≤k对于随意的x≥0总成立.求实数k的取值范围.4.对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点．（1）当时，求的不动点；（2）若对于任何实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；（3）在(2)的条件下，若的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围．5.已知函数f(x)=2x3与g(x)2的图像都过P（2，0），且在点P处有相同的切线.（1）求实数a、b、c的值；（2）设函数F(x)(x)(x)，求F(x)的单调区间.6．设1与2是函数f(x)=a+2+x的两个极值点．（Ⅰ）试确定常数a和b的值；（Ⅱ）试推断1，2是函数f(x)的极大值还是微小值，并说明理由.7.2005年10月12日，我国胜利放射了“神州”六号载人飞船，这标记着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：.当燃料重量为吨（e为自然对数的底数，）时，该火箭的最大速度为4（Ⅰ）求火箭的最大速度与燃料重量x吨之间的函数关系式；（Ⅱ）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8，顺当地把飞船发送到预定的轨道？8．某工厂统计资料显示，产品次品率与日产量x（件）（）的关系符合如下规律：x1234…89…又知每生产一件正品盈利元，每生产一件次品损失元（Ⅰ）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；（Ⅱ）为了获得最大盈利该厂的日产量应定为多少件？（取计算）．9.某厂家拟在2006年实行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满意（k为常数），假如不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2006年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品须要投入16万元，厂家将每年产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2006年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2006年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？10．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为激励销售商订购，确定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（Ⅱ）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；（Ⅲ）当销售商一次订购多少件时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）11.甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f（x）、g（x），当甲公司投入x万元作宣扬时，若乙公司投入的宣扬费小于f（x）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣扬时，若甲公司投入的宣扬费小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．（Ⅰ）试说明的实际意义；（Ⅱ）设，甲、乙公司为了避开恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的状况下尽可能少地投入宣扬费用，问甲、乙两公司应投入多少宣扬费？12.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为、5000辆.本年度为适应市场需求，安排提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？（Ⅱ）年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？参考答案1.解：由有，当时，.设，则由得，又，于是，故当时，．2.解：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）=（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知在上为减函数．又因是奇函数，从而有不等式：等价于，因为减函数，由上式推得：．即对一切有：，从而判别式３.解:（1）∵25(1,4]，∴f不在集合A中．又∵x≥0,∴0＜(≤1，∴0＜3·(≤3，从而1＜1+3·(≤4．∴f(x)∈(1,4]．又f(x)=1+3·(在[0，+∞)上为减函数，∴f(x)=1+3·(在集合A中.（2）当x≥0时，f(x)(2)=2+·(≤．又由已知f(x)(2)≤k对于随意的x≥0总成立,∴k≥．因此所求实数k的取值范围是[∞)．４.解：，（1）当时，．设为其不动点，即，则．所以，即的不动点是.（2）由得.由已知，此方程有相异二实根，所以，即对随意恒成立．（3）设，直线是线段的垂直平分线，．记的中点，由(2)知．在上，化简得：，当时，等号成立．即5.解：（1）∵f(x)(x)的图像过P（2，0）∴f(2)=0即2×23×2=0，所以－8．g(2)=0即：4×0又∵f(x)，g(x)在P处有相同的切线，∴416，4，－16，∴－18，4，－16．（2）由F(x)=2x3+4x2－8x－16，有F′(x)=6x2+8x－8解不等式F′(x)=6x2+8x－8≥0得x≤－2或x≥即单调增区间为．同理，由F′(x)≤0得－2≤x≤，即单调减区间为[－2，]．6.解：（Ⅰ）f′(x)21，由极值点的必要条件可知：f′(1)′(2)=0,即21=0,且+41=0,解方程组可得－－,∴f(x)=－－x2．（Ⅱ）f′(x)=－1－1,当x∈(0,1)时，f′(x)＜0,当x∈(1,2)时，f′(x)＞0,当x∈(2∞)时，f′(x)＜0,故在1处函数f(x)取得微小值,在2处函数取得极大值－2.7.解：（Ⅰ）依题意把代入函数关系式所以所求的函数关系式为整理得（Ⅱ）设应装载x吨燃料方能满意题意，此时，，代入函数关系式即应装载344吨燃料方能顺当地把飞船发送到预定的轨道.8.解:（Ⅰ）由与x的对应规律得次品率为故日产量x件中，次品数为件，正品数为件．则日盈利额．（注：此步可由换元法令得到）当且仅当时取等号．由时，取得最小值，又，，因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83件．9.解（1）由题意可知当时，（万件）每件产品的销售价格为（元）（2）（万元）时，（万元）所以该厂家2006年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元.10.解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个，则因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.（2）当当当所以（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则由于当；所以，此时由解得．因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得利润6000元.11.解：（I）f（0）=10表示当甲公司不投入宣扬费时，乙公司要避开新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣扬费；g（0）=20表示当乙公司不投入宣扬费时，甲公司要避开新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣扬费．（Ⅱ）设甲公司投入宣扬费x万元，乙公司投入宣扬费y万元，依题意，当且仅当成立，双方均无失败的风险．由（1）（2）得答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元．12.解：（I）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1）；出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x）.因此本年度的利润为（Ⅱ）本年度的利润为则由当是增函数；当是减函数.∴当时，万元，因为f（x）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值．即当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．北京市第十九中学2010届高三数学函数与导数测试（二）班级姓名学号一、选择题（每题5分，共50分）1．下列两个集合间的对应构成函数的是（）（1），；（2），；（3），，；（4）A（1）（4）B（2）（3）C（2）（4）D（4）2．设＜b,函数的图像可能是（C）3.下列每组函数是同一函数的是（）ABCD4．已知，则的值为（）A5B2C-1D-25．设，则的值是（）AB7C2D6．函数的图像（）（A）关于原点对称（B）关于主线对称（C）关于轴对称（D）关于直线对称7．函数在区间[-5，5]上的最小值、最大值分别是（）A42，12B42，C12，D最小值是，无最大值8．已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对随意实数都有，则的值是（）A.0B.C.1D.9．对于定义域是R的任何奇函数，都有（）ABCD10．定义在R上的偶函数，在上是增函数，则（）ABCD二、填空题（每题5分，共20分）11．函数的值域为12．已知函数，若，则13．函数在上是减函数，则实数a的取值范围是14．已知矩形的周长为30，一边长，面积S（2）。则S表示为x的函数为，该函数的定义域为，该矩形的最大面积为三、解答题15.（7分）已知是二次函数，且满意，，求16．（7分）已知函数（1）用定义证明该函数在上是增函数（2）推断该函数的奇偶性17．（8分）已知函数证明该函数是偶函数画该函数的图象写出该函数的单调区间18.（8分）设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.19.（10分）设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并探讨的单调性；（）证明：20.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只须要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预料，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，全部桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？所以，解得1，116．（1）设且所以，即所以该函数在上是增函数（2）又所以该函数是奇函数17．（1）又所以该函数是偶函数（2）递增区间是、递减区间