2024届百色市重点中学高三第二次模拟考试数学试卷含解析

2024届百色市重点中学高三第二次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A． B． C． D．2．已知数列的首项，且，其中，，，下列叙述正确的是（）A．若是等差数列，则一定有 B．若是等比数列，则一定有C．若不是等差数列，则一定有 D．若不是等比数列，则一定有3．已知数列是公比为的正项等比数列，若、满足，则的最小值为（）A． B． C． D．4．下列结论中正确的个数是（）①已知函数是一次函数，若数列通项公式为，则该数列是等差数列；②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则；③在中，“”是“”的必要不充分条件；④若，则的最大值为2.A．1 B．2 C．3 D．05．如图，平面与平面相交于，，，点，点，则下列叙述错误的是（）A．直线与异面B．过只有唯一平面与平行C．过点只能作唯一平面与垂直D．过一定能作一平面与垂直6．将函数图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于直线对称，则函数在上的值域是（）A． B． C． D．7．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形为朱方，正方形为青方”，则在五边形内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（）A． B． C． D．8．若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（）A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为89．在等腰直角三角形中，，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为（）.A． B． C． D．10．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度11．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等边三角形的边长为1．,点、分别为线段、上的动点,则取值的集合为__________．14．已知公差大于零的等差数列中，、、依次成等比数列，则的值是__________．15．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．16．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，椭圆的长轴长为，点、、为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，过中心，且，．（1）求椭圆的标准方程；（2）设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点（异于、），且满足，试讨论直线与直线斜率之间的关系，并求证直线的斜率为定值.18．（12分）已知函数().（1）讨论的单调性；（2）若对，恒成立，求的取值范围.19．（12分）设复数满足（为虚数单位），则的模为______.20．（12分）已知a>0，b>0，a+b=2.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）证明：21．（12分）我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜（FAST）是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.（1）在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？（2）根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值.22．（10分）如图，三棱柱中，与均为等腰直角三角形，，侧面是菱形.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

列出每一次循环，直到计数变量满足退出循环.【详解】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，退出循环，输出的为.故选：B.【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.2、C【解析】

根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【详解】A：当时，，显然符合是等差数列，但是此时不成立，故本说法不正确；B：当时，，显然符合是等比数列，但是此时不成立，故本说法不正确；C：当时，因此有常数，因此是等差数列，因此当不是等差数列时，一定有，故本说法正确；D：当时，若时，显然数列是等比数列，故本说法不正确.故选：C【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.3、B【解析】

利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得再根据此范围求的最小值．【详解】数列是公比为的正项等比数列，、满足，由等比数列的通项公式得，即，，可得，且、都是正整数，求的最小值即求在，且、都是正整数范围下求最小值和的最小值，讨论、取值.当且时，的最小值为.故选：B．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题．4、B【解析】

根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；【详解】解：①已知函数是一次函数，若数列的通项公式为，可得为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则与可以相交或平行，故②错误；③在中，，而余弦函数在区间上单调递减，故“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要条件，故③错误；④若，则，所以，当且仅当时取等号，故④正确；综上可得正确的有①④共2个；故选：B【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．5、D【解析】

根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线与共面，则A，D，B，C共面，则AB，CD共面，与，矛盾，故正确.B.根据异面直线的性质知，过只有唯一平面与平行，故正确.C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.D.根据异面直线的性质知，过不一定能作一平面与垂直，故错误.故选：D【点睛】本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.6、D【解析】

由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果.【详解】解：把函数图象向右平移个单位长度后，可得的图象；再根据得到函数的图象关于直线对称，，，，函数.在上，，，故，即的值域是，故选：D.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题．7、C【解析】

首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解.【详解】因为正方形为朱方，其面积为9，五边形的面积为，所以此点取自朱方的概率为.故选：C【点睛】本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.8、D【解析】

由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.【详解】样本的平均数是10，方差为2，所以样本的平均数为,方差为.故选:D.【点睛】样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为.9、D【解析】

如图，将四面体放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径.【详解】中，易知，翻折后,，，设外接圆的半径为，，，如图：易得平面，将四面体放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为，，四面体的外接球的表面积为.故选：D【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.10、D【解析】

通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.【详解】根据题意，故只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.11、C【解析】

化简复数为、的形式，可以确定对应的点位于的象限．【详解】解：复数故复数对应的坐标为位于第三象限故选：．【点睛】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题．12、A【解析】

依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求出边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，，，，因为点在线段的延长线上，设，解得，所在直线的方程为因为点在边所在直线上，故设当时故选：【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标,依题意求出,,,的表达式,再进行数量积的运算,最后求和即可得出结果.【详解】解:以的中点为坐标原点,所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,则,,,,则,,,设,,,即点的坐标为,则,,,所以故答案为:【点睛】本题考查平面向量的坐标表示和线性运算,以及平面向量基本定理和数量积的运算,是中档题.14、【解析】

利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质，化简求出公差与的关系，然后转化求解的值.【详解】设等差数列的公差为，则，由于、、依次成等比数列，则，即，，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用，考查计算能力，属于基础题.15、【解析】

由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．16、【解析】由图可知，当直线y＝kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）利用题中条件先得出的值，然后利用条件，结合椭圆的对称性得到点的坐标，然后将点的坐标代入椭圆方程求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件得到直线与的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线的方程为，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，注意到直线与的斜率之间的关系得到点的坐标，最后再用斜率公式证明直线的斜率为定值.（1），，又是等腰三角形，所以，把点代入椭圆方程，求得，所以椭圆方程为；（2）由题易得直线、斜率均存在，又，所以，设直线代入椭圆方程，化简得，其一解为，另一解为，可求，用代入得，，为定值.考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.两点间连线的斜率18、（1）①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，在上单调递增；（2）.【解析】

（1）求出函数的定义域和导函数，，对讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一:由得，分别运用导函数得出函数()，的单调性，和其函数的最值，可得，可得的范围;法二:由得，化为令()，研究函数的单调性，可得的取值范围.【详解】（1）的定义域为，，①当时，由得，得，在上单调递减，在上单调递增；②当时，恒成立,在上单调递增；（2）法一:由得，令()，则，在上单调递减，，，即，令，则，在上单调递增，，在上单调递减，所以，即，(*)当时，，(*)式恒成立，即恒成立，满足题意法二:由得，，令()，则，在上单调递减，，，即，当时，由(Ⅰ)知在上单调递增，恒成立，满足题意当时，令，则，所以在上单调递减，又，当时，，，使得，当时，，即，又，，，不满足题意，综上所述，的取值范围是【点睛】本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.19、1【解析】

整理已知利用复数的除法运算方式计算，再由求模公式得答案.【详解】因为，即所以的模为1故答案为：1【点睛】本题考查复数的除法运算与求模，属于基础题.20、（Ⅰ）最小值为；（Ⅱ）见解析【解析】

（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果；（2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.【详解】（Ⅰ）则当且仅当，即，时，所以的最小值为．（Ⅱ）要证明：，只需证：，即证明：，由，也即证