2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题12.4 全等三角形中的经典模型【六大题型】（人教版）含解析

2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题12.4全等三角形中的经典模型【六大题型】【人教版】TOC\o"1-2"\h\u【题型1平移模型】 1【题型2轴对称模型】 4【题型3旋转模型】 6【题型4一线三等角模型】 9【题型5倍长中线模型】 13【题型6截长补短模型】 16【知识点1平移模型】【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.【常见模型】【题型1平移模型】【例1】（2022•义马市期末）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：△ACF≌△BDE．【变式1-1】（2022•曾都区期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF．老师说：还添加一个条件就可使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言：甲：添加BE＝CF，乙：添加AC∥DF，丙：添加∠A＝∠D．（1）甲、乙、丙三个同学的说法正确的是；（2）请你从正确的说法中，选取一种给予证明．【变式1-2】（2022春•东坡区校级期末）如图，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，点E是BC边的中点，点D在AB边上，现将△DBE沿着BA方向向左平移至△ADF的位置，则四边形DECF的周长为cm．【变式1-3】（2022•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．【知识点2轴对称模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】【题型2轴对称模型】【例2】（2022•安丘市期末）如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上，∠A＝50°，∠F＝40°．（1）求△DBE各内角的度数；（2）若AD＝16，BC＝10，求AB的长．【变式2-1】（2022•陇县一模）如图，在△ABC中，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，∠DCB＝∠EBC．求证：AD＝AE．【变式2-2】（2022•句容市期末）如图，已知△AOD≌△BOC．求证：AC＝BD．【变式2-3】（2022•海珠区校级期中）如图，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP．【知识点3旋转模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.【常见模型】【题型3旋转模型】【例3】（2022•环江县期中）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠1＝70°，∠D＝110°．求证：△ABC≌△EAD．证明：∵∠1＝70°，∴（）．又∵∠D＝110°，∴（）．∵AB∥DE，∴（）．在△ABC和△EAD中，(ㅤㅤㅤㅤ)(ㅤㅤㅤㅤ)∴△ABC≌△EAD（AAS）．【变式3-1】（2022春•济南期末）如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD＝BE；（2）试说明AD平分∠BAE；（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．【变式3-2】（2022•高港区校级月考）已知，如图，AD、BF相交于O点，点E、C在BF上，且BE＝FC，AC＝DE，AB＝DF．求证：（1）AO＝DO；（2）AC∥DE．【变式3-3】（2022•锦州模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1），△ABD不动．（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．【知识点4一线三等角模型】【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【题型4一线三等角模型】【例4】（2022春•香坊区期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为BD＝AE，CE与AD的数量关系为CE＝AD；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【变式4-1】（2022•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．【变式4-2】（2022春•历下区期中）CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠β．（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如图1，则BECF，EF|BE﹣AF|．（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如图2，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．【变式4-3】（2022•余杭区月考）如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．【知识点5倍长中线模型模型】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．【常见模型】【题型5倍长中线模型】【例5】（2022秋•博兴县期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝6，BC＝4，求中线BD的取值范围．【变式5-1】（2022•涪城区校级月考）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于F，求证：∠AEF＝∠EAF．【变式5-2】（2022•浠水县校级模拟）（1）在△ABC中，AD为△ABC的中线，AB＝6，AC＝4，则AD的取值范围是；（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，点E在中线AD上，且BE＝AC，连接并延长BE交AC于点F．求证：AF＝FE．【变式5-3】（2022•丹阳市期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是．（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝BC，求证：AQ＝2AD．【知识点6截长补短模型】【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长，指在长线段中截取一段等于已知线段;补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程【题型6截长补短模型】【例6】（2022秋•西岗区期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．【变式6-1】（2022•蕲春县期中）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，△ABC的角平分线AD、CE交于点O．求证：AC＝AE+CD．【变式6-2】（2022•新抚区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC．（1）求证：CE平分∠BCD；（2）求证：AD+BC＝CD；（3）若AB＝12，CD＝13，求S△CDE．【变式6-3】（2022•黄石期末）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；（2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．专题12.4全等三角形中的经典模型【六大题型】【人教版】TOC\o"1-2"\h\u【题型1平移模型】 1【题型2轴对称模型】 5【题型3旋转模型】 8【题型4一线三等角模型】 14【题型5倍长中线模型】 20【题型6截长补短模型】 26【知识点1平移模型】【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.【常见模型】【题型1平移模型】【例1】（2022•义马市期末）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：△ACF≌△BDE．【分析】根据平行线的性质得到∠CAF＝∠DBE，根据SAS证明△ACF≌△BDE即可．【解答】证明：∵AE＝BF，∴AE+EF＝BF+EF，即AF＝BE；∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE，又∵AC＝BD，在△ACF与△BDE中，AC=BD∠CAF=∠DBE∴△ACF≌△BDE（SAS）．【变式1-1】（2022•曾都区期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF．老师说：还添加一个条件就可使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言：甲：添加BE＝CF，乙：添加AC∥DF，丙：添加∠A＝∠D．（1）甲、乙、丙三个同学的说法正确的是甲、丙；（2）请你从正确的说法中，选取一种给予证明．【分析】（1）加上条件BE＝CF或∠A＝∠D的条件即可证明两个三角形全等，添加AC∥DF不能证明△ABC≌△DEF；（2）添加BE＝CF可得BC＝EF，利用SSS判定△ABC≌△DEF即可,添加∠A＝∠D,可用SAS证明△ABC≌△DEF．【解答】解：（1）说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙；（2）选甲的做法，证明：∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB=DEAC=DF∴△ABC≌△DEF（SSS）．选丙的做法,在△ABC和△DEF中,AB=DE∠A=∠D∴△ABC≌△DEF（SAS）．【变式1-2】（2022春•东坡区校级期末）如图，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，点E是BC边的中点，点D在AB边上，现将△DBE沿着BA方向向左平移至△ADF的位置，则四边形DECF的周长为cm．【分析】连接EF，证明△CEF≌△DFE（ASA），推出DE＝CF，可得结论．【解答】解：连接EF．由平移的性质可知，AF＝DE．EF＝AD，AF∥DE，EF∥AD，DF∥BC，∴∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，在△CEF和△DFE中，∠CEF=∠EFDEF=FE∴△CEF≌△DFE（ASA），∴DE＝CF，∴AF＝CF＝DE＝3cm∵E是BC的中点，∴EC＝EB＝DF＝5.5cm，∴四边形DECF的周长＝2（3+5.5）＝17cm．故答案为：17．【变式1-3】（2022•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．【分析】可以根据已知利用SAS判定△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图（2）、（3）时，其余条件不变，结论仍然成立．可以利用全等三角形的常用的判定方法进行验证．【解答】解：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD．∵DE∥AF，∴∠A＝∠D．在△AFC和△DEB中，AF=DE∠A=∠D∴△AFC≌△DEB（SAS）．在（2），（3）中结论依然成立．如在（3）中，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝BD，∵AF∥DE，∴∠A＝∠D．在△ACF和△DEB中，AF=DE∠A=∠D∴△ACF≌△DEB（SAS）．【知识点2轴对称模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】【题型2轴对称模型】【例2】（2022•安丘市期末）如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上，∠A＝50°，∠F＝40°．（1）求△DBE各内角的度数；（2）若AD＝16，BC＝10，求AB的长．【分析】（1）根据全等三角形的性质求出∠D、∠E，根据三角形内角和定理求出∠EBD即可；（2）根据全等三角形的性质得出AC＝BD，求出AB＝CD，即可求出答案．【解答】解：（1）∵△ACF≌△DBE，∠A＝50°，∠F＝40°，∴∠D＝∠A＝50°，∠E＝∠F＝40°，∴∠EBD＝180°﹣∠D﹣∠E＝90°；（2）∵△ACF≌△DBE，∴AC＝BD，∴AC﹣BC＝DB﹣BC，∴AB＝CD，∵AD＝16，BC＝10，∴AB＝CD=12（AD﹣【变式2-1】（2022•陇县一模）如图，在△ABC中，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，∠DCB＝∠EBC．求证：AD＝AE．【分析】由“AAS”可证△ADC≌△AEB，可得AD＝AE．【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∠DCB＝∠EBC，∴∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC，在△ADC和△AEB中，∠A=∠A∠ADC=∠AEB=90°∴△ADC≌△AEB（AAS），∴AD＝AE．【变式2-2】（2022•句容市期末）如图，已知△AOD≌△BOC．求证：AC＝BD．【分析】根据全等三角形的性质和等式的性质解答即可．【解答】证明：∵△AOD≌△BOC，∴AO＝BO，CO＝DO，∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD﹣∠COD＝∠BOC﹣∠COD，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD．【变式2-3】（2022•海珠区校级期中）如图，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP．【分析】求出∠ABP＝∠ACP＝90°，根据HL推出Rt△ABP≌Rt△ACP，根据全等三角形的性质得出∠BPD＝∠CPD，根据SAS推出△BPD≌△CPD，即可得出答案．【解答】证明：∵PB⊥AB，PC⊥AC，∴∠ABP＝∠ACP＝90°，∴在Rt△ABP和Rt△ACP中AP=APPB=PC∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL），∴∠BPD＝∠CPD，在△BPD和△CPD中PB=PC∠BPD=∠CPD∴△BPD≌△CPD，∴∠BDP＝∠CDP．【知识点3旋转模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.【常见模型】【题型3旋转模型】【例3】（2022•环江县期中）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠1＝70°，∠D＝110°．求证：△ABC≌△EAD．证明：∵∠1＝70°，∴∠2＝110°（邻补角的性质）．又∵∠D＝110°，∴∠2＝∠D（等量代换）．∵AB∥DE，∴∠3＝∠E（两直线平行，内错角相等）．在△ABC和△EAD中，(ㅤㅤㅤㅤ)(ㅤㅤㅤㅤ)∴△ABC≌△EAD（AAS）．【分析】由邻补角的性质求出∠2＝110°，由平行线的性质得出∠3＝∠E，根据AAS可证△ABC≌△EAD．【解答】证明：∵∠1＝70°，∴∠2＝110°（邻补角的性质），又∵∠D＝110°，∴∠2＝∠D（等量代换），∵AB∥DE，∴∠3＝∠E（两直线平行，内错角相等），在△ABC和△EAD中，∠2=∠D∠3=∠E∴△ABC≌△EAD（AAS）．故答案为：∠2＝110°；邻补角的性质；∠2＝∠D；等量代换；∠3＝∠E；两直线平行，内错角相等；∠2＝∠D；∠3＝∠E．【变式3-1】（2022春•济南期末）如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD＝BE；（2）试说明AD平分∠BAE；（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD＝BE．（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由∠BDP＝∠ADC，得到∠BPD＝∠DCA＝90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE；（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP＝∠AFC，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF＝∠ACF＝90°，即AD⊥BE．【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，∴∠CBA＝∠CAB，∴BC＝CA，在△BCE和△ACD中，BC=AC∠BCE=∠ACD=90°∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠BDP＝∠ADC，∴∠BPD＝∠DCA＝90°，∵AB＝AE，∴AD平分∠BAE．（3）AD⊥BE不发生变化．如图2，∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠BFP＝∠AFC，∴∠BPF＝∠ACF＝90°，∴AD⊥BE．【变式3-2】（2022•高港区校级月考）已知，如图，AD、BF相交于O点，点E、C在BF上，且BE＝FC，AC＝DE，AB＝DF．求证：（1）AO＝DO；（2）AC∥DE．【分析】（1）易证△ABC≌△DFE，可得∠B＝∠F，可证△ABO≌△DFO，可得AO＝DO；（2）易证△ABC≌△DFE，可得∠DEF＝∠ACB，可得AC∥DE．【解答】解：（1）∵BE＝CF，∴BC＝FE，在△ABC和△DFE中，AB=DFAC=DE∴△ABC≌△DFE（SSS），∴∠B＝∠F，∵在△ABO和△DFO中，∠DOF=∠AOB∠B=∠F∴△ABO≌△DFO（AAS），∴AO＝DO；（2）∵△ABC≌△DFE，∴∠DEF＝∠ACB，∴AC∥DE．【变式3-3】（2022•锦州模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1），△ABD不动．（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD＝AE，AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD＝∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD＝BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC＝∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM＝∠BAD，然后求出∠MBC＝∠BCM，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB＝∠MEF，∠MBD＝∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB＝MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【解答】证明：（1）如图2，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，∵MD＝ME，∴∠MAD＝∠MAE，∴∠MAD﹣∠BAD＝∠MAE﹣∠CAE，即∠BAM＝∠CAM，在△ABM和△ACM中，AB=AC∠BAM=∠CAM∴△ABM≌△ACM（SAS），∴MB＝MC；（2）MB＝MC．理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，∴BD＝BE′，CE＝CF，∵M是ED的中点，B是DE′的中点，∴MB∥AE′，∴∠MBC＝∠CAE，同理：MC∥AD，∴∠BCM＝∠BAD，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠MBC＝∠BCM，∴MB＝MC；解法二：如图3中，延长CM交BD于点T．∵EC∥DT，∴∠CEM＝∠TDM，在△ECM和△DTM中，∠CEM=∠TDMEM=DM∴△ECM≌△DTM（ASA），∴CM＝MT，∵∠CBT＝90°，∴BM＝CM＝MT．（3）MB＝MC还成立．如图4，延长BM交CE于F，∵CE∥BD，∴∠MDB＝∠MEF，∠MBD＝∠MFE，又∵M是DE的中点，∴MD＝ME，在△MDB和△MEF中，∠MDB=∠MEF∠MBD=∠MFE∴△MDB≌△MEF（AAS），∴MB＝MF，∵∠ACE＝90°，∴∠BCF＝90°，∴MB＝MC．【知识点4一线三等角模型】【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【题型4一线三等角模型】【例4】（2022春•香坊区期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为BD＝AE，CE与AD的数量关系为CE＝AD；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE＝∠ABD，再利用AAS证明△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD；（2）由（1）同理可得△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD，可得答案；（3）分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案为：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，当△DAB≌△ECA时，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此时x＝2；当△DAB≌△EAC时，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t=AD2=94综上：t＝1，x＝2或t=94，x【变式4-1】（2022•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．【分析】由∠AEC＝∠BAC＝α，推出∠ECA＝∠BAD，再根据AAS证明△BAD≌△ACE得CE＝AD，AE＝BD＝3，即可得出结果．【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD与△ACE中，∠BDA=∠AEC∠BAD=∠ACE∴△BAD≌△ACE（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD＝3，∵DE＝AD+AE＝10，∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．∴CE＝7．【变式4-2】（2022春•历下区期中）CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠β．（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如图1，则BECF，EF|BE﹣AF|．（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如图2，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．【分析】（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；②求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；（2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可．【解答】解：（1）①如图1，E点在F点的左侧，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°，∴∠BEC＝∠AFC＝90°，∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，∠EBC=∠ACF∠BEC=∠AFC∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，当E在F的右侧时，同理可证EF＝AF﹣BE，∴EF＝|BE﹣AF|；故答案为＝，＝．②：①中两个结论仍然成立；证明：如图2，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠α+∠ACB＝180°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，∠EBC=∠ACF∠BEC=∠AFC∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，当E在F的右侧时，如图3，同理可证EF＝AF﹣BE，∴EF＝|BE﹣AF|；（2）EF＝BE+AF．理由是：如图4，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA，又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°，∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF，∴∠EBC＝∠ACF，在△BEC和△CFA中，∠EBC=∠ACF∠BEC=∠AFC∴△BEC≌△CFA（AAS），∴AF＝CE，BE＝CF，∵EF＝CE+CF，∴EF＝BE+AF．【变式4-3】（2022•余杭区月考）如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．【分析】（1）由“ASA”可证△ABE≌△CAF；（2）由“ASA”可证△ABE≌△CAF，由全等三角形的性质可得S△ABE＝S△CAF，由三角形的面积关系可求解．【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（ASA）（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（ASA）∴S△ABE＝S△CAF，∵CD＝2BD，△ABC的面积为15，∴S△ACD＝10＝S△ABE+S△CDF．【知识点5倍长中线模型模型】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．【常见模型】【题型5倍长中线模型】【例5】（2022秋•博兴县期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝6，BC＝4，求中线BD的取值范围．【分析】延长BD到E，使DE＝BD，证明两边之和大于BE＝2BD，两边之差小于BE＝2BD，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得1＜BD＜5．【解答】解：如图所示，延长BD到E，使DE＝BD，连接AE，∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，在△ADE和△CDB中，AD=CD∠ADE=∠CDB∴△ADE≌△CDB（SAS），∴AE＝BC，在△ABE中，有AB﹣AE＜BE＜AB+AE，即2＜2BD＜10，∴1＜BD＜5．【变式5-1】（2022•涪城区校级月考）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于F，求证：∠AEF＝∠EAF．【分析】延长AD到G使DG＝AD，连接BG，通过△ACD≌△GBD，根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠G，AC＝BG，等量代换得到BE＝BG，由等腰三角形的性质得到∠G＝∠BEG，即可得到结论．【解答】解：如图，延长AD到G使DG＝AD，连接BG，在△ACD与△GBD中，CD=BD∠ADC=∠BDG∴△ACD≌△GBD，∴∠CAD＝∠G，AC＝BG，∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠G＝∠BEG，∵∠BEG＝∠AEF，∴∠AEF＝∠EAF．【变式5-2】（2022•浠水县校级模拟）（1）在△ABC中，AD为△ABC的中线，AB＝6，AC＝4，则AD的取值范围是1＜AD＜5；（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，点E在中线AD上，且BE＝AC，连接并延长BE交AC于点F．求证：AF＝FE．【分析】（1）延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，利用“边角边”证明△ACD和△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝AC，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后求解即可．（2）延长AD到点G，使DG＝DE，连接CG．证明△BDE≌△CDG（SAS）．由全等三角形的性质可得出BE＝CG，∠BED＝∠G．得出∠G＝∠GAC，∠AEF＝∠GAC，则可得出结论．【解答】（1）解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，DE=AD∠ADC=∠EDB∴△ACD≌△EBD（SAS），∴BE＝AC，由三角形三边关系得，6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5．（2）证明，延长AD到点G，使DG＝DE，连接CG．∵AD是中线，∴BD＝DC．在△BDE和△CDG中，BD=CD∠BDE=∠CDG∴△BDE≌△CDG（SAS）．∴BE＝CG，∠BED＝∠G．∵∠AEF＝∠BFD，∴∠AEF＝∠G．∵BE＝AC，∴AC＝CG，∴∠G＝∠GAC，∴∠AFE＝∠GAC，∴AE＝EF．【变式5-3】（2022•丹阳市期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是．（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝BC，求证：AQ＝2AD．【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ，根据全等三角形的性质得到FQ＝DE＝3，根据三角形的三边关系即可得到结论；（3）延长AD到M，使MD＝AD，连接BM，于是得到AM＝2AD由已知条件得到BD＝CD，根据全等三角形的性质得到BM＝CA，∠M＝∠CAD，于是得到∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，推出△ACQ≌△MBA，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在△ADC与△EDB中，AD=DE∠ADC=∠BDE∴△ADC≌△EDB；故答案为：△ADC≌△EDB；（2）解：如图2，延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ，在△PDE与△PQF中，PE=PQ∠EPD=∠QPF∴△PEP≌△QFP，∴FQ＝DE＝3，在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，即5﹣3＜2x＜5+3，∴x的取值范围是1＜x＜4；故答案为：1＜x＜4；（3）证明：如图3，延长AD到M，使MD＝AD，连接BM，∴AM＝2AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BMD与△CAD中，MD=AD∠BDA=∠CDA∴△BMD≌△CAD，∴BM＝CA，∠M＝∠CAD，∴∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，∵∠ACB＝∠Q+∠CAQ，AB＝BC，∵∠ACQ＝180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA＝180°﹣（∠BAM+∠M），∴∠ACQ＝∠MBA，∵QC＝BC，∴QC＝AB，在△ACQ与△MBA中，BM=CA∠ACQ=∠MBA∴△ACQ≌△MBA，∴AQ＝AM＝2AD．【知识点6截长补短模型】【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长，指在长线段中截取一段等于已知线段;补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程【题型6截长补短模型】【例6】（2022秋•西岗区期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据全等三角形的判定求出△ABD≌△AED，根据全等三角形的性质得出BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，求出ED＝EC，BD＝EC，即可得出答案；（2）在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，求出∠AEB＝∠CDE，根据全等三角形的判定得出△AEF≌△EDC，根据全等三角形的性质得出EC＝AF∠AFE＝∠C＝2∠B，求出∠ABF＝∠BAF，推出BF＝AF，即可得出答案．【解答】（1）证明：方法一：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△BAD和△EAD中AD=AD∠BAD=∠EAD∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴BD＝EC，∴AC＝AB+BD；（2）DC、CE、BE之间的数量关系是BE＝DC+CE，证明：在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴2∠DAE＝180°﹣∠AED，∵∠DAE+∠B＝90°，∴2∠DAE+2∠B＝180°，∴∠AED＝2∠B＝∠C，∵∠BED＝∠CDE+∠DAE，∴∠AEB＝∠CDE，在△AEF和△EDC中EF=DC∠AEF=∠EDC∴△AEF≌△EDC（SAS），∴EC＝AF∠AFE＝∠C＝2∠B，∵∠AFE＝∠B+∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF，∴BF＝AF，∴BF＝CE，∴BE＝DC+CE．【变式6-1】（2022•蕲春县期中）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，△ABC的角平分线AD、CE交于点O．求证：AC＝AE+CD．【分析】在AC上取AF＝AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE＝∠AOF；再证得∠COF＝∠COD，则根据全等三角形的判定方法ASA即可证△FOC≌△DOC，可得DC＝FC，即可得结论．【解答】证明：在AC上取AF＝AE，连接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO＝∠FAO，在△AEO与△AFO中，AE=AF∠EAO=∠FAO∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE＝∠AOF；∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=12∠ACB+12∠BAC=12（∠ACB+∠则∠AOC＝180°﹣∠ECA﹣∠DAC＝120°；∴∠AOC＝∠DOE＝120°，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，则∠COF＝60°，∴∠COD＝∠COF，∴在△FOC与△DOC中，∠COD=∠COFCO=CO∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC＝FC，∵AC＝AF+FC，∴AC＝AE+CD．【变式6-2】（2022•新抚区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC．（1）求证：CE平分∠BCD；（2）求证：AD+BC＝CD；（3）若AB＝12，CD＝13，求S△CDE．【分析】（1）作EM⊥CD垂足为M，根据角平分线的性质定理以及判定定理即可证明．（2）只要证明△DEA≌△DEM得AD＝DM，同理可证CB＝CM．（3）根据S△EDC=12•DC•【解答】（1）证明：作EM⊥CD垂足为M，∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD，∴AE＝EM，∵AE＝EB，∴EM＝EB，∵EB⊥BC，EM⊥CD，∴EC平分∠BCD．（2）证明：由（1）可知：AE＝EM＝EB，在RT△DEA和RT△DEM中，DE=DEAE=EM∴△DEA≌△DEM，∴DA＝DM，同理可证：CB＝CM∴CD＝DM+MC＝AD+BC．（3）解：由（1）可知：EM＝AE＝EB=12∵EM⊥CD，CD＝13，∴S△EDC=12•DC•EM【变式6-3】（2022•黄石期末）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；（2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．【分析】（1）由∠BAC＝∠EDF＝60°，推出△ABC、△DEF为等边三角形，于是得到∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，推出△BCE≌△ACD（SAS），根据全等三角形的性质得到AD＝BE，即可得到结论；（2）在FA上截取FM＝AE，连接DM，推出△AED≌△MFD（SAS），根据全等三角形的性质得到DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，证得∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，推出△ABC≌△DAM（SAS），根据全等三角形的性质得到AM＝BC，即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，∴△ABC、△DEF为等边三角形，∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，在△BCE和△ACD中BC=AC∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，∴AE+AD＝AE+BE＝AB＝AF；（2）在FA上截取FM＝AE，连接DM，∵∠BAC＝∠EDF，∴∠AED＝∠MFD，在△AED和△MFD中AE=MF∠AED=∠MFD∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，在△ABC和△DAM中，AB=DA∠BAC=∠ADM∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF．即AF＝AE+BC．专题12.5全等三角形的证明及计算大题专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对全等三角形工具的应用及构造全等三角形！一．解答题（共30小题）1．（2022•黄州区校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．2．（2022秋•忠县期末）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．3．（2022秋•路北区期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，会出现△DEG与△BFG全等的情况．4．（2022春•北碚区校级期末）如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED．（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：CE平分∠BCD；（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD=23AB＝4．求点E到5．（2022秋•宜兴市期中）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．6．（2022秋•淅川县期末）如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP．（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是、．（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是、．（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．7．（2022秋•渝中区校级期中）如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足a-4+|4﹣b（1）求A、B两点的坐标；（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证：∠BDO＝∠EDA；（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB＝PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．8．（2022春•崇川区校级期末）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．（1）求证：AC＝BC；（2）在（1）中点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，如图2，求BC+EC的长；（3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．9．（2022秋•莆田期中）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．10．（2022秋•南岗区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD，点F在BD上，∠BEF＝45°（1）如图1，求证：BF＝CE；（2）如图2，作EM⊥BE，交BC的延长线于点M，连接AM，交BE的延长线于点N，若∠BAC＝30°，请探究线段EF与MN的数量关系，并加以证明．11．（2022春•运城期末）综合与探究如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．12．（2022秋•松桃县期末）如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH．（1）求证：△AEF≌△BGH；（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长．13．（2022秋•两江新区期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．14．（2022春•济南期末）如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD＝BE；（2）试说明AD平分∠BAE；（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．15．（2022春•渭滨区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．16．（2022秋•宁津县期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．17．（2022秋•富县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于点F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于点H．（1）求∠DHF的度数；（2）若EB平分∠DEC，则BE平分∠ABC吗？请说明理由．18．（2022秋•台安县月考）如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB．（1）探究PA与AQ之间的关系；（2）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．19．（2022春•浦东新区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．20．（2022春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．21．（2022秋•立山区期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，BC＝6cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在边BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在边CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，经过t秒后，△BPD与△CQP全等，求此时点Q的运动速度与运动时间t．（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过秒后，点P与点Q第一次在△ABC的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）22．（2022秋•太康县期末）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD、BE．（1）请你找出图中其他的全等三角形；（2）试证明CF＝EF．23．（2022秋•潮安区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．已知AD＝2cm，BC＝5cm．（1）求证：FC＝AD；（2）求AB的长．24．（2022秋•黄石期末）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；（2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．25．（2022春•济南期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）26．（2022春•城关区校级期末）如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．27．（2022秋•长寿区期末）如图，△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD平分线上一点，EB＝EC过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．（1）请你在不添加辅助线的情况下找出一对你认为全等的三角形，并加以证明；（2）若AB＝3，AC＝5，求AF的长．28．（2022秋•呼和浩特期中）如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．29．（2022秋•句容市校级月考）把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．说明：AF⊥BE．30．（2022春•雅安期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．专题12.5全等三角形的证明及计算大题专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对全等三角形工具的应用及构造全等三角形！一．解答题（共30小题）1．（2022•黄州区校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB=AD∠BAC=∠DAE∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，BF=GF∠AFB=∠AFG∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDA∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．2．（2022秋•忠县期末）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．【分析】（1）在BC上截取BM＝BD，连接FM，证明△BFD≌△BFM，△ECF≌△MCF，进而可以解决问题；（2）根据已知条件证明△BDF≌△CDA，进而可以解决问题．【解答】证明：（1）如图，在BC上截取BM＝BD，连接FM，∵∠A＝60，∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°，∴∠BFD＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，在△BFD和△BFM中，BD=BM∠1=∠2∴△BFD≌△BFM（SAS），∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF，∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°，∵∠CFE＝∠BFD＝60°，∴∠CFM＝∠CFE，∵CD平分∠ACB，∴∠3＝∠4，又CF＝CF，在△ECF和△MCF中，∠CFE=∠CFMFC=FC∴△ECF≌△MCF（ASA），∴EF＝MF，∴DF＝EF；（2）∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CDA＝90°，∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE，∴∠1＝∠3，∵BD＝CD，在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠CDABD=CD∴△BDF≌△CDA（ASA），∴DF＝DA，∵∠ADF＝90°，∴∠6＝45°，∵∠G＝∠6，∴∠5＝45°∴∠G＝∠5，∴GD＝DA，∴GD＝DF．3．（2022秋•路北区期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，会出现△DEG与△BFG全等的情况．【分析】（1）由AD＝BC＝4，AB＝CD，BD为公共边，所以可证得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB＝∠CBD，所以AD∥BC；（2）设运动时间为t，点G的运动速度为v，根据全等三角形的性质进行解答即可．【解答】（1）证明：在△ABD和△CDB中，AD=BCAB=CD∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC；（2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v，当0＜t≤4若△DEG≌△BGF，则DE=BFDG=BG∴t=4-3t6-BG=BG∴t=1BG=3∴v＝3；若△DEG≌△BGF，则DE=BGDG=BF∴t=BG6-BG=4-3t∴t=-1BG=-1当43若△DEG≌△BFG，则DE=BFDG=BG∴t=3t-46-BG=BG∴t=2BG=3∴v=3若△DEG≌△BGF，则DE=BGDG=BF∴t=BG6-BG=3t-4∴t=5∴v＝1．综上，当点G的速度为3或1.5或1时．会出现△DEG与△BFG全等的情况．4．（2022春•北碚区校级期末）如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED．（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：CE平分∠BCD；（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD=23AB＝4．求点E到【分析】（1）延长CD到T，使得DT＝BA，连接ET．证明△EAB≌△EDT（SAS），△ECB≌△ECT（SSS），可得结论．（2）延长CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，过点E作EH⊥BC于H．证明△AEB≌△DEQ（ASA），△ECB≌△ECQ（SAS），由题意S五边形ABCDE＝S四边形EBCQ＝2S△EBC＝30，推出S△EBC＝15，再利用三角形面积公式求出EH即可．【解答】（1）证明：延长CD到T，使得DT＝BA，连接ET．∵∠CDE＝120°，∴∠EDT＝180°﹣120°＝60°，∵∠A＝60°，∴∠A＝∠EDT，在△EAB和△EDT中，AE=DE∠A=∠EDT∴△EAB≌△EDT（SAS），∴EB＝ET，∴CB＝CD+BA＝CD+DT＝CT，在△ECB和△ECT中，EC=ECEB=ET∴△ECB≌△ECT（SSS），∴∠ECB＝∠ECD，∴CE平分∠BCD．（2）解：延长CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，过点E作EH⊥BC于H．∵∠A+∠CDE＝180°，∠CDE+∠EDQ＝180°，∴∠A＝∠EDQ，在△AEB和△DEQ中，∠AEB=∠DEQEA=ED∴△AEB≌△DEQ（ASA），∴EB＝EQ，∵∠AED＝2∠BEC，∴∠AEB+∠CED＝∠BEC，∴∠CED+∠DEQ＝∠BEC，∴∠CEB＝∠CEQ，在△CEB和△CEQ中，EB=EQ∠BEC=∠CEQ∴△ECB≌△ECQ（SAS），∵S五边形ABCDE＝S四边形EBCQ＝2S△EBC＝30，∴S△EBC＝15，∵CD=23∴AB＝6，CD＝4，∴BC＝CD+QD＝CD+AB＝10，∴12×10×∴EH＝3，∴点E到BC的距离为3．5．（2022秋•宜兴市期中）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据两角夹边相等的两个三角形全等即可证明．（2）结论：NE﹣ME＝CM．作DF⊥MN于点F，由（1）△DBN≌△DCM可得DM＝DN，由△DEF≌△CEM，推出ME＝EF，CM＝DF，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠ABC＝∠DCB＝45°，∴BD＝DC，∵∠BDC＝∠MDN＝90°，∴∠BDN＝∠CDM，∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM＝90°﹣∠A＝∠ACD，在△DBN和△DCM中，∠BDN=∠CDMBD=DC∴△DBN≌△DCM．（2）结论：NE﹣ME＝CM．证明：由（1）△DBN≌△DCM可得DM＝DN．作DF⊥MN于点F，又ND⊥MD，∴DF＝FN，在△DEF和△CEM中，∠DEF=∠CEM∠DFE=∠CME∴△DEF≌△CEM，∴ME＝EF，CM＝DF，∴CM＝DF＝FN＝NE﹣FE＝NE﹣ME．6．（2022秋•淅川县期末）如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且