2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题27.5 相似三角形的应用【七大题型】（举一反三）（人教版）

2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题27.5相似三角形的应用【七大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1相似三角形的应用（九章算术）】 1【题型2相似三角形的应用（影长问题）】 3【题型3相似三角形的应用（杠杆问题）】 4【题型4相似三角形的应用（建筑物问题）】 6【题型5相似三角形的应用（树高问题）】 8【题型6相似三角形的应用（河宽问题）】 9【题型7相似三角形的应用（内接矩形问题）】 11【知识点相似三角形的应用】在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模型。【题型1相似三角形的应用（九章算术）】【例1】（2021·北京大兴·九年级期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．【变式1-1】（2022·湖南株洲·九年级期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD为（

）米．A．5 B．4 C．3 D．2【变式1-2】（2022·河北·二模）《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”大意是：如图，四边形EFGH是一座正方形小城，北门A位于FG的中点，南门B位于EH的中点．从北门出去正北方向20步远的C处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C处的树木，则正方形小城的边长为（

）A．105步 B．200步 C．250步 D．305步【变式1-3】（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》，所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远，因首题测算海岛的高、远得名《海岛算经》，亦为地图学提供了数学基础．《海岛算经》中的第4道“望谷”的题目为：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．从勺端望谷底，入下股九尺一寸．又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勺端望谷底，入上股八尺五寸．问谷深几何？大致意思是：望一个如图所示的深谷，深谷的底部为线段MN，在山谷边缘处放置一个直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一条直线上，CN⊥MN，从点A处望山谷底部M处时，视线经过BC上的点E处，测得EC长为9尺1寸；将三角尺沿着射线CA方向向上平移3丈得到△A'B'C'，从A'处望山谷底部M处时，视线经过B【题型2相似三角形的应用（影长问题）】【例2】（2022·浙江金华·九年级期末）如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（

）A．10m B．8m C．6m D．4m【变式2-1】（2022·江苏徐州·中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN=30∘．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180【变式2-2】（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小明在点D处，自己的影长DF=4m，沿BD方向到达点F处再测自己的影长FG=5m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆【变式2-3】（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期末）如图,小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时,发现她身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部,当她向前再步行12m到Q点时，发现她身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部.已知小萌的身高是1.6m，两路灯的高度都是9.6m，且AP=QB=xm.(1)求两路灯之间的距离.(2)当小萌在A，B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子的长的和变吗?请说明理由.【题型3相似三角形的应用（杠杆问题）】【例3】（2022·山东临沂·二模）如图，EF是一个杠杆，可绕支点O自由转动，若动力F动和阻力F阻的施力方向都始终保持竖直向下，当阻力F阻不变时，则杠杆向下运动时FA．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定【变式3-1】（2019·全国·九年级专题练习）如图，是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动，现有一块石头，要使其滚动，杠杆B端必须向上翘10cm，已知杠杆上的AC与BC长度之比为5:1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压多少厘米？【变式3-2】一根均匀的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O为支点，竖直向上将木棒的另一端A缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为F，若点B为OA的中点，AC，BD分别垂直地面于点C，D，则根据杠杆平衡原理得拉力F的大小为（

）A．5N B．10N C．15N D．20N【变式3-3】（2021·甘肃白银·九年级期末）如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．在下列结论中：①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•FA．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【题型4相似三角形的应用（建筑物问题）】【例4】（2019·四川·成都市双流区立格实验学校九年级阶段练习）刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最杰出的数学家之一．《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产．《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高3丈的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD＝1000步，点D、B、H成一线，从B处退行123步到点F处，人的眼睛贴着地面观察点A，点A、C、F也成一线，从DE退行127步到点G处，从G观察A点，A，E，G三点也成一线，试计算山峰的高度AH及BH的长（这里古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步，结果用步来表示）．【变式4-1】（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室一模）千佛铁塔位于陕西省咸阳市之北杜镇，用纯铁铸成，中空有梯可攀登，四角柱铸成金刚力士像，顶立层楼，各层环周铸铁佛多尊，故名“千佛塔”，此塔为中国现存铁塔中最高的一座．某数学兴趣小组本着用数学知识解决实际问题的想法，欲测量该塔的高度．如图，在点C处有一建筑物，小丽同学站在建筑物上，眼睛位于点D处，她手拿一支长0.5米的竹竿EF，边观察边移动竹竿（竹竿EF始终与地面垂直），当移动到如图所示的位置时，眼睛D与竹竿、塔的顶端E、A共线，同时眼睛D与它们的底端F、B也恰好共线，此时测得∠BDC=63°，小丽的眼睛距竹竿的距离为0.5米，小丽的眼睛距地面的高度CD=17米，已知AB⊥BC，DC⊥BC．请你根据以上测量结果计算该塔的高度AB．【参考数据：tan63°≈2【变式4-2】（2022·陕西·模拟预测）延安宝塔，是历史名城延安的标志，是革命圣地的象征，坐落在陕西省延安市主城东南的宝塔山景区内．周末，数学实践小组的同学带着测量工具测量延安宝塔的高度．测量方案如下：首先，在A处竖立一根高4m的标杆AB，发现地面上的点D、标杆顶端B与宝塔顶端M在一条直线上，测得AD=4.3m；然后，移开标杆，在A处放置测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪高AC为1m时，恰好测得点M的仰角为45°已知MN⊥ND，AB⊥ND，点D、A、N在一条直线上，点A，C、B在一条直线上，求延安宝塔的高MN．【变式4-3】（2022·陕西西安·一模）“揽月阁”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的标志性建筑，阳光明媚的一天，某校九年级一班的兴趣小组去测量揽月阁的高度．揽月阁前面有个高1米的平台，身高1.8米的小强在台上走动，当小强走到点C处，小红蹲在台下点N处，其视线通过边缘点M和小强头顶点D正好看到塔顶A点，测得CM=0.9米，然后小强从正前方跳下后，往前走到点E处，此时发现小强头顶F在太阳下的影子恰好和塔顶A在地面上的影子重合于点P处，测得NE=5米，EP=1米．请你根据以上数据帮助兴趣小组求出揽月阁的高度．【题型5相似三角形的应用（树高问题）】【例5】（2011·辽宁大连·中考真题）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树(AB)8.7m的点E处，然后观测考沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7m，观测者目高CD＝1.6m，则树高AB约是____．（精确到0.1m）【变式5-1】（2021·全国·九年级专题练习）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”大意如下：如图，今有山AB位于树CD的西面.山高AB为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺，人站在离树3里的F处，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺，问山AB的高约为多少丈？(1丈=10尺，结果精确到个位)【变式5-2】（2022·全国·九年级单元测试）小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在D点，人在G点正好看到树尖A．已知小明的眼睛距离地面1.70m，量得CD＝12m，CF＝1.8m，DH＝3.8m．请你求出松树的高．【变式5-3】（2021·陕西宝鸡·一模）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，小华激动地说：妈妈，我可以通过测量您的影长，测得妈妈的影长DF＝1.6m．妈妈沿BD的方向到达点F处，此时小华测得妈妈的影长FG＝2m．已知妈妈的身高为1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG，求这棵大树的高度．【题型6相似三角形的应用（河宽问题）】【例6】（2021·河北·石家庄市第四十一中学九年级期中）为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，CE⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示测得BD=120m，DC=40m，EC=30m，那么这条河的大致宽度是（

）A．60m B．90m C．100m D．120m【变式6-1】（2019·全国·九年级单元测试）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC．如果BC＝24m，BD＝12m，DE＝40m，则河的宽度AB约为(

)A．20m B．18m C．28m D．30m【变式6-2】（2022·贵州毕节·二模）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5m有一棵树，小华站在离南岸20m的点P处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内），已知龙舟的长为18.5m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与河岸平行，则河宽为_______m．【变式6-3】（2022·陕西·西安工业大学附中九年级期中）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．【题型7相似三角形的应用（内接矩形问题）】【例7】（2020·江苏无锡·九年级期中）一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1cm，面积为1cm2，甲、乙两人分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面，则①、②中正方形的面积较大的是(A．① B．② C．一样大 D．无法判断【变式7-1】（2021·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）如图有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．67 B．3037 C．127【变式7-2】（2019·浙江宁波·九年级期末）如图，已知在RtΔABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12，在RtΔABC内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则第二层最多能叠放___个正方形小纸片.【变式7-3】（2021·浙江台州·九年级期末）一块材料的形状是等腰△ABC，底边BC=120cm，高AD=120cm．(1)若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上（如图1），则这个正方形的边长为多少？(2)若把这块材料加工成正方体零件（如图2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的表面积为多少？专题27.6图形的位似变换【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1位似图形的相关概念辨析】 1【题型2判断位似中心】 2【题型3求位似图形的相似比】 3【题型4求位似图形的长度】 4【题型5求位似图形的面积】 5【题型6求位似图形的周长】 6【题型7求位似图形的坐标】 8【题型8格点中作位似图形】 9【知识点1位似图形】1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；=3\*GB3③描出新图形（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为【题型1位似图形的相关概念辨析】【例1】（2022·全国·九年级专题练习）下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方：②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在△ABC与△A'B'C'中，ABA'B'=ACAA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2022·江苏·九年级专题练习）下列语句中，不正确的是（

）A．位似的图形都是相似的图形B．相似的图形都是位似的图形C．位似图形的位似比等于相似比D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部【变式1-2】（2022·四川达州·九年级期末）下列说法中正确的有（

）①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比是2:3，则周长比为4:9；④若一个矩形的四边形分别比另一个矩形的四边形长2，那么这两个矩形一定相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（2022·山东青岛·九年级单元测试）关于对位似图形的4个表述中：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．正确的个数()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型2判断位似中心】【例2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点D2，2，点GA．(-2，0) B．(-1，0) C．【变式2-1】（2022·北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点P B．点O C．点M D．点N【变式2-2】（2022·全国·九年级单元测试）下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（）A．点E B．点F C．点G D．点D【题型3求位似图形的相似比】【例3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC与△DEF是位似图形，则△ABC与△DEF的相似比为（

）．A．12 B．13 C．2【变式3-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC的面积与△DEF面积之比为16：9，则CO:OF的值为（

）A．3：4 B．4：7 C．4：3 D．7：4【变式3-2】．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，把△AOB缩小后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比为______．【变式3-3】（2022·全国·九年级单元测试）△ABC三个顶点A(3, 6)、B(6, 2)、C(2, -1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A'B'C'三个顶点分别为A'(1, 2)，B'(2, 23)，C(23【题型4求位似图形的长度】【例4】（2022·重庆·一模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB:OF=3:2，若线段AC=9，则线段DE的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【变式4-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且OAOA'=12，若点A（﹣1，0），点C（1【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知A(6, 3)、B(6, 0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为13，把线段AB缩小后得到线段A'B'【变式4-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，则点C、F之间的距离为_________．【题型5求位似图形的面积】【例5】（2022·河北·石家庄外国语教育集团九年级阶段练习）如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（

）A．1:2 B．1:3 C．1:9 D．1:16【变式5-1】（2022·重庆市巴川中学校八年级期末）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点O，OA'=2AA'，△ABC的面积为9，则△A'B'C'面积为（

）A．4 B．6 C．92 D．【变式5-2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知▱ABCD的面积为24，以B为位似中心，作▱ABCD的位似图形▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为23，连接AG、DG．则△ADG【变式5-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB【题型6求位似图形的周长】【例6】（2022·浙江温州·二模）如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，若OA＝2OD，则△ABC与△DEF的周长之比是（

）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．6：1【变式6-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA∶OE＝1∶3，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（

）A．12 B．16 C．20 D．24【变式6-2】（2022·重庆南岸·九年级期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．18【变式6-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心．若OA:AD=2:3，△DEF与△ABC的周长差为12cm，则△ABC的周长为（

A．6cm B．8cm C．10cm【题型7求位似图形的坐标】【例7】（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-2，-2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，△A1OB1与△AOB的位似比为12，则点A的对应点A1【变式7-1】（2022·甘肃·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△AOB缩小为原来的12，得到△COD，若点A的坐标为（4，2），则AC的中点E【变式7-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是-1,0．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B'的横坐标是A．-12m+3 B．-12m+1【变式7-3】（2022·山东·胶州市初级实验中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是_____．【题型8格点中作位似图形】【例8】（2022·辽宁抚顺·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，2），B（﹣6，4），C（﹣4，8）．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以坐标原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'位于位似中心两侧，请在平面直角坐标系中画出△A'B'C'(3)设△ABC与△△A'B'C'的周长分别为l1、l2，则l1【变式8-1】（2022·河南南阳·九年级期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C(2)证明△A'B【变式8-2】（2022·浙江宁波·九年级专题练习）如图，9×9的方格都是由边长为1的小正方形组成．▱ABCD的顶点都在格点上，请按以下要求在图1，图2中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．(1)画出▱ABCD绕点A旋转得到的▱AB'C'D(2)请以A为位似中心，作与▱ABCD的面积比为14的位似图形▱AEFG【变式8-3】（2022·山西吕梁·九年级期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．(1)在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC相似的△DEF；(2)在图③中，以O为位似中心，画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2：1．专题27.6图形的位似变换【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1位似图形的相关概念辨析】 1【题型2判断位似中心】 4【题型3求位似图形的相似比】 7【题型4求位似图形的长度】 10【题型5求位似图形的面积】 12【题型6求位似图形的周长】 15【题型7求位似图形的坐标】 17【题型8格点中作位似图形】 21【知识点1位似图形】1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；=3\*GB3③描出新图形（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为【题型1位似图形的相关概念辨析】【例1】（2022·全国·九年级专题练习）下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方：②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在△ABC与△A'B'C'中，ABA'B'=ACAA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据相似三角形的性质及位似比的概念解答即可．【详解】①正确，两个相似多边形面积之比等于相似比的平方；②正确，两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③正确，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：在△ABC与△A′B′C′中，ABA④错误，因为已知△ABC及位似中心O，能够作两个三角形与△ABC位似，且位似比为2．故选：C．【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及到相似三角形的性质和位似比的有关概念，熟记性质概念是解题的关键．【变式1-1】（2022·江苏·九年级专题练习）下列语句中，不正确的是（

）A．位似的图形都是相似的图形B．相似的图形都是位似的图形C．位似图形的位似比等于相似比D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部【答案】B【分析】利用位似图形的性质分别判断得出即可．【详解】A、位似的图形都是相似的图形，正确，不合题意；B、相似的图形不一定是位似的图形，错误，符合题意；C、位似图形的位似比等于相似比，正确，不合题意；D、位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部，正确，不合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的相关性质是解题关键．【变式1-2】（2022·四川达州·九年级期末）下列说法中正确的有（

）①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比是2:3，则周长比为4:9；④若一个矩形的四边形分别比另一个矩形的四边形长2，那么这两个矩形一定相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据位似变换的概念、相似多边形的判定定理和性质定理判断．【详解】解：①位似图形都相似，本选项说法正确；②两个等腰三角形不一定相似，本选项说法错误；③两个相似多边形的面积比是2：3，则周长比为2:④若一个矩形的四边分别比另一个矩形的四边长2，那么这两个矩形对应边的比不一定相等，两个矩形不一定一定相似，本选项说法错误；∴正确的只有①；故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换、相似多边形的判定和性质，掌握位似变换的概念、相似多边形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式1-3】（2022·山东青岛·九年级单元测试）关于对位似图形的4个表述中：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．正确的个数()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可．【详解】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误；位似图形一定有位似中心，②正确；根据位似的定义，除上述条件还需有对应边平行，或位于同一条直线上，③错误；反例如下图,△ABC∽△A1B1C1，并且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点B1，但是这两个三角形不是位似图形.

位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误．故选A．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．【题型2判断位似中心】【例2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点D2，2，点GA．(-2，0) B．(-1，0) C．【答案】A【分析】根据两个位似图形对应顶点所在的直线相交于一点，交点就是位似中心，可得连接DG并延长，其与x轴交点即为位似中心，用待定系数法求出直线DG解析式，即可求解．【详解】解；连接DG并延长交x轴于M，∵点D与点G是一对对应点，则可知两个位似图形在位似中心的同旁，位似中心就是点M，设直线DG解析式为；y=kx+b，将D2，22k+b=2b=1解得：k=1∴直线DG解析式为y=1令y=0，可得：x=-2，∴M(-2，即位似中心的坐标是(-2，故选A．【点睛】考题考查了判断位似中心和求解位似中心，待定系数法求一次函数，熟练掌握位似中心的定义是解题的关键．【变式2-1】（2022·北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点P B．点O C．点M D．点N【答案】A【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．【详解】点P在对应点M和点N所在直线上，∴两个三角形的位似中心是：点P．故选A．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．【变式2-2】（2022·全国·九年级单元测试）下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（）A．点E B．点F C．点G D．点D【答案】D【分析】利用位似图形的对应点的连线都经过同一点进行判断．【详解】四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是点D．故选D．【点睛】本题考查了位似变换：两位似图形的对应点的连线都经过同一点；对应边平行．【变式2-3】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4）【答案】B【分析】如图，连接BF交y轴于P，根据位似图形的定义可得点P为位似中心，根据点B、F坐标可得点C、G坐标，可得CG的长，根据相似三角形的性质可求出GP的长，即可求出点P的坐标．【详解】如图，连接BF交y轴于P，∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，点B、F为对应点，∴点P为位似中心，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），BC=4，GF=2，OG=1，∴CG＝3，∵BC∥GF，∴△BCP∽△FGP，∴GPPC＝GFBC＝12，PC=CG解得：GP＝1，∴OP=OG+GP=2，∴点P的坐标为（0，2），故选：B．【点睛】本题考查位似图形的定义、相似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义、熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．【题型3求位似图形的相似比】【例3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC与△DEF是位似图形，则△ABC与△DEF的相似比为（

）．A．12 B．13 C．2【答案】D【分析】△ABC与△DEF是位似图形，所以△ABC∽△DEF，根据勾股定理求出AB和DE即可解答．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，由图可知AB=22+22=2∴AB∴△ABC与△DEF的相似比为2，故选：D．【点睛】本题考查位似图形的性质．【变式3-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC的面积与△DEF面积之比为16：9，则CO:OF的值为（

）A．3：4 B．4：7 C．4：3 D．7：4【答案】C【分析】根据位似图形的概念得到AC∥DF，进而证明△AOC∽△DOF，根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，∵△ABC的面积与△DEF面积之比为16：9，∴ACDF∴△AOC∽△DOF，∴OCOF故选：C．【点睛】本题考查的是位似图形、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【变式3-2】．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，把△AOB缩小后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比为______．【答案】5:2【分析】根据位似变换的性质，三角形的相似比等于OBOD【详解】解：如图所示，D2,0∵把△AOB缩小后得到△COD，∴位似比为OBOD=52，则△AOB与故答案为：5:2．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k是解题的关键．【变式3-3】（2022·全国·九年级单元测试）△ABC三个顶点A(3, 6)、B(6, 2)、C(2, -1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A'B'C'三个顶点分别为A'(1, 2)，B'(2, 23)，C(23【答案】1:3【分析】由△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，23），C（23，﹣13），根据位似图形的性质，即可求得△A′B′C【详解】解：∵△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，23），C（23，﹣13），∴△A′B′C故答案为1：3．【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．【题型4求位似图形的长度】【例4】（2022·重庆·一模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB:OF=3:2，若线段AC=9，则线段DE的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】利用位似图形的概念得到AB∥DF，△ABC∽△DFE，进而求出ABDF【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴AB∥DF，△ABC∽△DFE，∴ABDF=OB∵AC=9，∴9DE=3故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，相似三角形的性质，根据位似图形概念得到AB∥DF，△ABC∽△DFE，是解题的关键．【变式4-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且OAOA'=12，若点A（﹣1，0），点C（1【答案】13【分析】根据位似图形的性质和已知求出A′、C′的坐标，根据两点间的距离公式求出A′C′即可．【详解】∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且OAOA'=12，点A（﹣1，0），点C（12，1），∴A′（﹣2，0），C′（1，2），∴A′C′=(-2-1)2故答案为13．【点睛】本题考查了位似变换、坐标与图形性质、两点间的距离公式等知识点，求出点A′和C′的坐标是解答此题的关键．【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知A(6, 3)、B(6, 0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为13，把线段AB缩小后得到线段A'B'【答案】1【分析】已知A（6，3）、B（6，0）两点则AB=3，以坐标原点O为位似中心，相似比为13，则A′B′：AB=1：3．即可得出A′B【详解】∵A（6，3）、B（6，0），∴AB=3．又∵相似比为13，∴A′B′：AB=1：3，∴A′B【点睛】本题主要考查位似的性质，位似比就是相似比．【变式4-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，则点C、F之间的距离为_________．【答案】5【分析】连接AC，先由勾股定理求得AC=4，再根据矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，得AFAC=34，即可求出AF长，然后由CF=【详解】解：如图，连接AC，∵矩形ABCD，∴∠B=90°∴AC=AB∵矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，∴点F在AC上，∴AFAC=3∴AF=35，∴CF=AC-AF=45-35=5，故答案为：5．【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．【题型5求位似图形的面积】【例5】（2022·河北·石家庄外国语教育集团九年级阶段练习）如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（

）A．1:2 B．1:3 C．1:9 D．1:16【答案】C【分析】根据三角形面积比与位似比的关系求解．【详解】解：由题意得△ADE与△ABC的位似比为1：3，∴△ADE与△ABC面积之比为13故选C．【点睛】本题考查位似三角形的应用，熟练掌握位似三角形的面积比等于位似比的平方是解题关键．【变式5-1】（2022·重庆市巴川中学校八年级期末）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点O，OA'=2AA'，△ABC的面积为9，则△A'B'C'面积为（

）A．4 B．6 C．92 D．【答案】A【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A'B'C'，AB∥A'B'，可得△OAB∽△OA'B'，根据相似三角形的性质得到ABA【详解】解：∵△ABC与△A'B'C'位似，∴△ABC∽△A'B'C'，AB∥A'B'，∴△OAB∽△OA'B'，∴ABA∴△ABC的面积：△A'B'C'的面积＝9：4，∵△ABC的面积为9，∴△A'B'C'的面积为：4，故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【变式5-2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知▱ABCD的面积为24，以B为位似中心，作▱ABCD的位似图形▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为23，连接AG、DG．则△ADG【答案】4【分析】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为8，从而可得△ADG的面积．【详解】延长EG交CD于点H，如图，∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，∴AD∥EG，∴四边形AEHD是平行四边形，∴S△ADG∵位似图形与原图形的位似比为23∴BE=2即AE=1∴S▱AEHD∴S△ADG故答案为：4．【点睛】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键．【变式5-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB【答案】2【分析】根据位似图形的概念求出OA2，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：∵正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为12∴A1∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴A1B1∥A2B2，∴OA1B1∽△OA2B2，∴OA∵OA1=1，∴OA2=2，∴A1A2=1，∴正方形A1B1C1A2的面积=1=40，∵OA1=A1A2=A1B1=1，∴∠B1OA1=45°，∴OA2=A2B2=2，∴正方形A2B2C2A3的面积=2×2=41，∵A3B3⊥x轴，∴OA3=A3B3=4，∴正方形A3B3C3A4的面积=4×4=16=42，……则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为42021-1=42020=24040，故答案为：24040．【点睛】本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，掌握位似图形的性质、相似多边形的性质是解题的关键．【题型6求位似图形的周长】【例6】（2022·浙江温州·二模）如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，若OA＝2OD，则△ABC与△DEF的周长之比是（

）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．6：1【答案】A【分析】根据位似图形的概念得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质求出AB：DE，根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴AB∴△ABC与△DEF的周长之比是2：1．故选A．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质．【变式6-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA∶OE＝1∶3，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【分析】根据位似的性质，可知两个四边形的周长之比也为1∶3，即可得解．【详解】解：由题知：OA∶OE＝1∶3∴3C故选A．【点睛】本题考查了位似图形的性质，知道位似图形周长比等于相似比是解题的关键．【变式6-2】（2022·重庆南岸·九年级期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．18【答案】B【分析】由△ABC与△DEF是位似图形，且OA:OD=1:3知△ABC与△DEF的位似比是1:3，从而得出△ABC周长：△DEF周长=1:3，由此即可解答．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，且OA:OD=1:3，∴△ABC与△DEF的位似比是1:3．则△ABC周长：△DEF周长=1:3，∵△ABC的周长为2，∴△DEF周长=2×3=6故选：B．【点睛】本题考查了位似变换：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比．【变式6-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心．若OA:AD=2:3，△DEF与△ABC的周长差为12cm，则△ABC的周长为（

A．6cm B．8cm C．10cm【答案】B【分析】根据：位似图形高、周长的比都等于相似比即可解答．求出△DEF与△ABC的相似比为5:2即可．【详解】∵OA:AD=2:3∴OA:OD=2:5∴△DEF与△ABC的周长比为5:2∵△DEF与△ABC的周长差为12∴△ABC的周长=12×2故选：B【点睛】本题主要考查了位似比，熟练的掌握位似图形高、周长的比都等于相似比是解题的关键．【题型7求位似图形的坐标】【例7】（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-2，-2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，△A1OB1与△AOB的位似比为12，则点A的对应点A1【答案】（-2，1）或（2，-1）【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，如果相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k计算，得到答案．【详解】解∶∵以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，△∴点A1的对应点的横纵坐标与点A的横纵坐标的比值为12或∵A（-4，2），∴A1的坐标为(-4×12故答案为∶(-2，1)或(2，-1)．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，如果相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k是解题的关键．【变式7-1】（2022·甘肃·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△AOB缩小为原来的12，得到△COD，若点A的坐标为（4，2），则AC的中点E【答案】（1，12【分析】根据位似变换的性质求出点C的坐标，根据线段中点的性质计算，求出点E的坐标．【详解】∵以原点O为位似中心，将△AOB缩小为原来的12，得到△COD，点A∴点C的坐标为（4×（-12），2×（-1∴AC的中点E的坐标是（1，12故答案为：（1，12【点睛】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.【变式7-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是-1,0．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'