2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题27.9 相似章末题型过关卷（人教版）含解析

2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列第27章相似章末题型过关卷【人教版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022·湖北荆州·中考真题）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．APAB=AB2．（3分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'BA．△ABC∼△A'B'C' B．点C．AO:AA'=1:23．（3分）（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB,CD，则△ABE与△CDE的周长比为（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：14．（3分）（2022·全国·九年级专题练习）P是线段AB上一点（AP>BP），则满足APAB=BPAP，则称点P是线段AB的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB长度为10cm，P为AB的黄金分割点（AP>BP），求叶柄BPA．10-x2=10x B．x2=1010-x 5．（3分）（2022·全国·九年级课时练习）下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中△ABC和△CDE的顶点都在小正方形的顶点上，则△ABC与△CDE一定相似的图形是（

）A． B．C． D．6．（3分）（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（

）A．10+7或5+27 B．15 C．10+77．（3分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（

）A．32 B．2 C．3 8．（3分）（2022·全国·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，中线AD，BE相交于点F．EG∥BC，交AD于点G．GF=1，则BCA．5 B．6 C．10 D．129．（3分）（2022·广西·来宾城南初级中学九年级阶段练习）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG、AE．则下列结论：①OG=12AB；

②四边形ABDE是菱形；③S四边形ODGF=A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．（3分）（2022·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AB//DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（

）A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3则DF＝___．12．（3分）（2022·江苏镇江·中考真题）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若AMAN＝12，则13．（3分）（2022·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）将图1中的矩形和正方形纸片沿图2中的虚线剪成5块，再用这5块拼接成如图3所示矩形，其中阴影部分为空余部分，若AB=2AD，则ba14．（3分）（2022·湖南·宁远县中和镇中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是___；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大32倍，得到矩形A2OC2B，…，按此规律，则矩形A4OC4B15．（3分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB点D，点M是AC一动点（AM＜12AC），将△ADM沿DM折叠得到△EDM，点A的对应点为点E，ED与AC交于点F，则CD的长度是__________；若ME//CD，则AM16．（3分）（2022·江西·九年级专题练习）如图，菱形ABCD的四个顶点位于坐标轴上，对角线AC，BD交于原点O，线段AD的中点E的坐标为-3,1，P是菱形ABCD边上的点，若△PDE是等腰三角形，则点三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之间的等量关系；②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．18．（6分）（2022·上海·九年级专题练习）已知：a:b:c=2:3:5.（1）求代数式3a-b+c2a+3b-c（2）如果3a-b+c=24，求a,b,c的值.19．（8分）（2022·浙江丽水·中考真题）如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．(1)如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；(2)如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；(3)如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．20．（8分）（2022·安徽安庆·九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当CEEB=1（2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=12

21．（8分）（2022·山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室九年级期中）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2；（2）△A1B1C1的面积是平方单位．（3）点P（a，b）为△ABC内一点，则在△A1B1C1内的对应点P’的坐标为．22．（8分）（2022·全国·九年级课时练习）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．（1）A4纸较长边与较短边的比为；（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．23．（8分）（2022·全国·九年级单元测试）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．第27章相似章末题型过关卷【人教版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022·湖北荆州·中考真题）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．APAB=AB【答案】D【详解】解：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C．当APAB又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．2．（3分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'BA．△ABC∼△A'B'C' B．点C．AO:AA'=1:2【答案】C【分析】根据位似图形的性质进行判断即可得．【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A∴△ABC∼△A'B'C'、点∴AO:AA即选项A、B、D说法正确，选项C说法错误，故选：C．【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．3．（3分）（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB,CD，则△ABE与△CDE的周长比为（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【答案】D【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明△ABE∽△CDE，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．【详解】如图：由题意可知，DM=3，BC=3，∴DM=BC，而DM∥∴四边形DCBM为平行四边形，∴AB∥∴∠BAE=∠DCE，∠ABE=∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴C△ABE故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．4．（3分）（2022·全国·九年级专题练习）P是线段AB上一点（AP>BP），则满足APAB=BPAP，则称点P是线段AB的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB长度为10cm，P为AB的黄金分割点（AP>BP），求叶柄BPA．10-x2=10x B．x2=1010-x 【答案】A【分析】根据黄金分割的特点即可求解．【详解】∵AB=10，BP=x，∴AP=10-x，∵P点是黄金分割点，∴APAB∴AP∴(10-x)2故选：A．【点睛】本题主要考查了根据黄金分割点列一元二次方程的知识，依据APAB=BP5．（3分）（2022·全国·九年级课时练习）下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中△ABC和△CDE的顶点都在小正方形的顶点上，则△ABC与△CDE一定相似的图形是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．【详解】解：已知每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成．A：∠ABC=90°+45°=135°，∠CDE=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠CDE，BC=DC=2，∴ABBC=1∴△ABC∽△CDE；B：△ABC为等腰三角形，则△CDE不是等腰三角形，所以不相似；C：△ABC中∠ABC=90°+45°=135°，而△CDE中∠CDE=∠135°，对应角不相等，所以不相似；D：CDCD=1，∴CDCD故选：A．【点睛】此题考查的知识点是相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．6．（3分）（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（

）A．10+7或5+27 B．15 C．10+7【答案】A【分析】判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．【详解】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则m=4若m是斜边，则m=4在第二个直接三角形中，若n是直角边，则n=8若n是斜边，则n=8又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10，m=7和n=27即当m=5，n=27，m+n=5+2当m=7，n=10，m+n=10+故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．7．（3分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（

）A．32 B．2 C．3 【答案】C【分析】过点D作DF∥AE交BC于F，根据平行线分线段成比例定理可得，BEEF=BOOD，EFFC=AD【详解】解：过点D作DF∥AE交BC于∵OE∥∴BEEF∵O是BD的中点，∴BO=OD，∴BE=EF，∵DF∥∴EFFC∴CF=2EF，∴BE:EC=BE:3BE=1:3，∵BE=1，∴EC=3，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．8．（3分）（2022·全国·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，中线AD，BE相交于点F．EG∥BC，交AD于点G．GF=1，则BCA．5 B．6 C．10 D．12【答案】D【分析】首先根据GE∥CD得到△AGF∽△ADC、△FEG∽△FBD，求出AD=6，然后利用直角三角形斜边的中线性质得出结果．【详解】解：∵GE∥CD，∴△AGE∽△ADC，△FEG∽△FBD，∴AGAD∴GEBD又∵BD=CD，∴GFDF∴DF=2GF=2，∴DG=DF+GF=3∴AD=2DG=6，在直角△ABC中，∠BAC=90°，∴BC=2AD=12，故选D．【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定以及直角三角形的性质，根据平行得到相似三角形是解决问题的关键．9．（3分）（2022·广西·来宾城南初级中学九年级阶段练习）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG、AE．则下列结论：①OG=12AB；

②四边形ABDE是菱形；③S四边形ODGF=A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】证明四边形ABDE为平行四边形可得OB=OD，由菱形ABCD可得AG=DG，根据三角形中位线定理可判断①；根据等边三角形的性质和判定可得△ABD为等边三角形AB=BD，从而可判断平行四边形ABDE是菱形，由此判断②；借助相似三角形的性质和判定，三角形中线有关的面积问题可判断③．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD=AD，OA=OC，OB=OD，∵CD=DE，∴AB=DE．又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴BG=EG，AB=DE，AG=DG，又∵OD=OB，∴OG是△BDA是中位线，∴OG=12故①正确；∵∠BAD=60°，AB=AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD=AB，∴▱ABDE是菱形，故②正确；∵OB=OD，AG=DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG=12∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），∴△GOD的面积=14∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，∴S四边形ODGF=S△ABF；故③正确；故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识．判断①的关键是三角形中位线定理的运用，②的关键是利用等边三角形证明BD=AB；③的关键是通过相似得出面积之间的关系．10．（3分）（2022·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AB//DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（

）A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6【答案】A【分析】由题意可得，m的值就是线段OB的长度，过点D作DE⊥AC，过点C作CF⊥OB，根据勾股定理求得DE的长度，再根据三角形相似求得BF，矩形的性质得到OF，即可求解．【详解】解：由题意可得，m的值就是线段OB的长度，过点D作DE⊥AC，过点C作CF⊥OB，如下图：∵CD=AD=5，DE⊥AC∴CE=12由勾股定理得DE=∵AB//DC∴∠DCE=∠BAC，∠ODC=∠BOD=90°又∵AC⊥BC∴∠ACB=∠CED=90°∴△DEC∽△BCA∴DEBC=解得BC=8，AB=10∵CF⊥OB∴∠ACB=∠BFC=90°∴△BCF∽△BAC∴BCAB=解得BF=6.4由题意可知四边形OFCD为矩形，∴OF=CD=5OB=BF+OF=11.4故选A【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3则DF＝___．【答案】7.5【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵直线AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝5，BD＝3，∴ACCE=BDDF，即故答案为：7.5．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．12．（3分）（2022·江苏镇江·中考真题）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若AMAN＝12，则【答案】1【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出DEBC【详解】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝AMAN＝∴SΔADESΔABC＝(DEBC)故答案为：14【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．13．（3分）（2022·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）将图1中的矩形和正方形纸片沿图2中的虚线剪成5块，再用这5块拼接成如图3所示矩形，其中阴影部分为空余部分，若AB=2AD，则ba【答案】15-【分析】如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，首先证明x=3b-2a，利用相似三角形的性质构建关系式，即可解决问题．【详解】解：如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，∵JR=DQ=5a-x，AB=2CD，∴CD=2a-b，∵KQ=PF，∴x+2a-b+5a-x=5a+2b-x，∴x=3b-2a，∵∠EHF=∠P=∠EFT=90°，∴∠HFE+∠PFT=90°，∠PFT+∠FTP=90°，∴∠EFH=∠FTP，∴△EHF∽△FPT，∴EHFP∴4a5a+2b-(3b-2a)整理得，3b2-15ab+14a2=0，∴b=15±576∵4a-2b＞0，∴ba∴ba=15-故答案为：15-57【点睛】本题考查图形拼剪，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．14．（3分）（2022·湖南·宁远县中和镇中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是___；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大32倍，得到矩形A2OC2B，…，按此规律，则矩形A4OC4B【答案】

（﹣1，12），

（﹣8116，【分析】先利用矩形的性质写出B点坐标，则根据线段中点坐标公式可写出矩形AOCB的对称中心的坐标；再利用以原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系分别写出B1、B2、B3、B4的坐标，然后矩形A4OC4B4的对称中心的坐标．【详解】解：∵OA=2．OC=1，∴B（-2，1），∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（-1，12∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形A1OC1B1∴B1（-3，32同理可得B2（-92，94），B3（-274，278），B4（-∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣8116，81故答案为（-1，12），（﹣8116，【点睛】本题考查作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．15．（3分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB点D，点M是AC一动点（AM＜12AC），将△ADM沿DM折叠得到△EDM，点A的对应点为点E，ED与AC交于点F，则CD的长度是__________；若ME//CD，则AM【答案】

5

2.5【分析】（1）根据已知条件可得∠ACD=∠A=∠BCD，所以AD=CD，然后证明△ABC∽△CBD，进而可以解决问题；（2）由翻折可得AM=EM，∠CAD=∠E，，由ME∥CD，可得∠E=∠EDC，DF//BC，且DF=CF，进而得到ΔADF∽ΔABC，求出DF、CF的长，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的长，再证明ΔMEF∽ΔCDF，最后求得AM的长．【详解】（1）∵∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACD=∠CAD，∵∠B=∠B，∴ΔBCD∽ΔBAC，∴BC：AB=BD：BC，即6：9=BD：6，BD=4，∴AD=CD=9-4=5；（2）∵△ADM沿DM折叠得到ΔEDM，∴AM=EM，∠CAD=∠E，∵ME//CD，∴∠E=∠CDE，∵∠BCD=∠ACD=∠CAD，∴∠CDE=∠BCD=∠ACD，∴DF//BC，且DF=CF，∴ΔADF∽ΔABC，∴DF：BC=AD：AB，即DF：6=5：9，解得DF=103∴CF=103∵DF//BC，∴AF：CF=AD：BD，即AF：103解得：AF=256设AM=ME=x，则MF=256-x∵ME//CD，∴ΔMEF∽ΔCDF，∴ME：CD=MF：CF，即x：5=（256-x）：10解得x=2.5；故答案：5；2.5；【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，解决本题的关键是得到CM=DE=5，然后由△ABC∽△CBD解决问题．16．（3分）（2022·江西·九年级专题练习）如图，菱形ABCD的四个顶点位于坐标轴上，对角线AC，BD交于原点O，线段AD的中点E的坐标为-3,1，P是菱形ABCD边上的点，若△PDE是等腰三角形，则点【答案】-3,-1或3【分析】根据线段AD的中点E的坐标为-3,1，易得OE=2，根据菱形的性质与直角三角形的性质，可得菱形的边长4，∠ADO=60°，然后分别从①当PE=DE时，②当DP=DE时，③当【详解】解：①过点E作EM⊥AC于M，延长EM交AB于点P1，连接OE∵点E的坐标为-3∴在Rt△EMO中，EM=1，OM=3∴OE=E∴∠EOM=30°，

∵点E为菱形ABCD的边AD的中点，∴AC⊥BD，AD=2OE=4，AE=DE=2，∴EP1∥BD∴AP∴AM=OM，AP∴点M是线段AO的中点，点P1是线段AB∴BD=2DO=2×2EM=4，BO=DO=2，AO=2MO=23，AO=CO=2∴EP1∴EP∴P1-②过点E作EN⊥BD于N，延长EN交CD于点P3∵点E为菱形ABCD的边AD的中点，AC⊥BD∴EP∴DP∴DN=ON，DP∴点N是线段DO的中点，点P3是线段CD由①知：CO=23，CD=4∴NP3=12∴DE=DP3∴P3③过点O作OG⊥AD于G，延长GO交BC于点P2，连接EP2由①知：EO=EA=ED，∠EOA=30°，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴∠EAO=∠EOA=30°，∠ADO=90°-30°=60°，∴△EDO是等边三角形，∴点G是线段DE的中点，∴OG是DE的垂直平分线，∴P2∵E-3,1∴D0,2，∴G-根据题意，菱形ABCD关于坐标轴和原点对称，∴P2综上所述，点P的坐标是-3,-1或3,1【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，中点坐标等知识点．掌握菱形的性质及分类讨论是解答本题的关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之间的等量关系；②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．【答案】（1）见解析（2）①a=b+1②见解析【分析】（1）作AD的垂直平分线，交AC于F点即可；（2）①根据题意得到a=2c，联立a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1即可求解；②证明△ABE∽△CBA，得到AECA【详解】（1）如图，点F为所求；（2）①∵△ABC是“和谐三角形”∴a=2c又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．联立化简得到a=b+1；②∵E点是BD中点∴BE=1由①得到AB=1∴AB又∠ABE=∠CBA∴△ABE∽△CBA∴AB故△ACE是“和谐三角形”．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的做法．18．（6分）（2022·上海·九年级专题练习）已知：a:b:c=2:3:5.（1）求代数式3a-b+c2a+3b-c（2）如果3a-b+c=24，求a,b,c的值.【答案】（1）1；（2）a=6,b=9,c=15【分析】（1）设a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，代入代数式3a-b+c（2）把a、b、c的值代入，求出即可．【详解】∵a:b:c=2:3:5∴设a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)（1）3a-b+c2a+3b-c（2）∵3a-b+c=24∴6k-3k+5k=24，∴k=3，∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.【点睛】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．19．（8分）（2022·浙江丽水·中考真题）如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．(1)如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；(2)如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；(3)如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)画图见解析【分析】（1）分别确定A，B平移后的对应点C，D，从而可得答案；（2）确定线段AB，AC关于直线BC对称的线段即可；（3）分别计算△ABC的三边长度，再利用相似三角形的对应边成比例确定△DEF的三边长度，再画出△DEF即可．（1）解：如图，线段CD即为所求作的线段，（2）如图，四边形ABDC是所求作的轴对称图形，（3）如图，如图，△DEF即为所求作的三角形，由勾股定理可得：AB=12+同理：DF=22+∴AB∴△ABC∽△DFE.【点睛】本题考查的是平移的作图，轴对称的作图，相似三角形的作图，掌握平移轴对称的性质，相似三角形的判定方法是解本题的关键．20．（8分）（2022·安徽安庆·九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当CEEB=1（2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=12

【答案】（1）S△CEFS【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定定理，得△CEF∽△ADF，可得EFDF=1（2）由AD∥CB，点E是BC的中点，得△EFC∽△DFA．CF：AF=EC：AD，由FG//AB，得CG：BG=CF：AF，进而即可得到结论．【详解】（1）∵CEEB∴CEBC=1∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△CEF∽△ADF，∴EFDF=CE∴EFDF=CEBC=∴S△CEFS△CDF（2）∵AD∥CB，点E是BC的中点，∴△EFC∽△DFA．∴CF：AF=EC：AD=1：2，∵FG⊥BC，∴FG//AB，∴CG：BG=CF：AF=1：2，∴CG=12【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质定理以及平行线分线段成比例定理，掌握相似三角形的对应边成比例，是解题的关键．21．（8分）（2022·山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室九年级期中）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2；（2）△A1B1C1的面积是平方单位．（3）点P（a，b）为△ABC内一点，则在△A1B1C1内的对应点P’的坐标为．【答案】（1）见解析；（2）28；（3）（2a，2b）．【分析】（1）连接OB，延长OB到B1使得OB1=2OB，同法作出A1，C1，连接A1C1，B1C1，A1B1即可．（2）两条分割法求出三角形的面积即可．（3）利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）△A1B1C1即为所求．（2）△A1B1C1的面积＝4S△ABC＝4×（4×5﹣12×3×5﹣12×1×3﹣故答案为：28．（3）点P（a，b）为△ABC内一点，则在△A1B1C1内的对应点P’的坐标为（2a，2b），故答案为：（2a，2b）．【点睛】本题考查作图——位似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（8分）（2022·全国·九年级课时练习）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．（1）A4纸较长边与较短边的比为；（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．【答案】（1）2；（2）相似，理由见解析【分析】（1）根据边的关系得出比例等式解答即可；（2）根据相似图形的判定解答即可．【详解】解：（1）如图1，设AB＝x，由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，∴∠BCF＝∠BDF=90°，又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，∴∠ACB=∠ECF=45°，∴BC=2x，∴BD＝BC＝2x，AD＝AB+BD＝（2+1）x，∴EF＝CE＝AD＝（2+1）x，∵DE＝AC＝AB＝x，∴DF＝DE+EF＝（2+2）x，∴DFAD故答案为：2．（2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（2+1）x，A5纸短边长为（2+22）∴对A5纸，长边：短边=2∴A4纸与A5纸相似．【点睛】此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答．23．（8分）（2022·全国·九年级单元测试）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．【答案】4m【分析】首先根据DO=OE=1m，可得∠DEB=45°，然后证明AB=BE，再证明△ABF∽△COF，可得ABBF【详解】解：延长OD，∵DO⊥BF，∴∠DOE=90°，∵OD=1m，OE=1m，∴∠DEB=45°，∵AB⊥BF，∴∠BAE=45°，∴AB=BE，设AB=EB=xm，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴ABBF∴x解得：x=4．经检验：x=4是原方程的解．答：围墙AB的高度是4m．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，解决问题的关键是求出AB=BE，根据相似三角形的判定方法证明△ABF∽△COF．专题28.1锐角的三角函数【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1锐角的三角函数概念辨析】 1【题型2直接根据定义求锐角的三角函数值】 2【题型3构造直角三角形求锐角的三角函数值】 4【题型4根据锐角的三角函数值求边长】 5【题型5根据特殊角的三角函数值求角的度数】 6【题型6求特殊角的三角函数值】 7【题型7同角的三角函数值的证明或求值】 8【题型8互余两角的三角函数关系的计算】 8【题型9利用增减性判断三角函数的取值范围】 9【题型10三角函数在等腰直角三角形中的应用】 10【知识点1锐角三角函数】在中，，则的三角函数为定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)【知识点2特殊角的三角函数值】三角函数30°45°60°1【题型1锐角的三角函数概念辨析】【例1】（2022·广东·佛山市南海区金石实验中学九年级期中）在△ABC中，∠C＝90°，BCAB=3A．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【变式1-1】（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosBA．CDAC B．BDCB C．CDCB【变式1-2】（2022·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（）A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB【变式1-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、点B和点C在小正方形的顶点上.请在图①、图②中各画一个图形，满足以下要求：(1)在图①中以AB和BC为边画四边形ABCE，点E在小正方形的顶点上，且此四边形有两组对边相等．(2)在图②中以AB为边画△ABD，使tan∠ADB=【题型2直接根据定义求锐角的三角函数值】【例2】（2022·山东·肥城市湖屯镇初级中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为()．A．13 B．45 C．23【变式2-1】（2022·河南南阳·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE＝2，则tanA．12 B．2 C．52 【变式2-2】（2022·广东·惠州一中二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（

A．52 B．53 C．23【变式2-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，点E在AB上，点F在BC上．若AE=2，CF=1，则sin∠1+∠2=（A．12 B．22 C．32【题型3构造直角三角形求锐角的三角函数值】【例3】（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（

）A．3 B．2 C．22 D．3【变式3-1】（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB=3，BC=1，点D在AB上，且BDAD=13A．13 B．1 C．223【变式3-2】（2022·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，将△ABC沿着CE翻折，使点A落在点D处，CD与AB交于点F，恰好有CE＝CF，若DF＝42，AF＝12，则tan∠CEF＝___．【变式3-3】（2022·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝12，则ACBC的值为【题型4根据锐角的三角函数值求边长】【例4】（2022·全国·九年级课时练习）如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD为△ABC的角平分线，若CD=2，则AB的长为（

）A．3 B．22+2 C．4 【变式4-1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（）A．32 B．332 C．【变式4-2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC．点D在△ABC内部，AD⊥CD，且∠ADB【变式4-3】（2022·安徽·九年级专题练习）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接(1)求证：四边形BCED是菱形．(2)已知点F为BC中点，过点F作GF⊥BC交AB于点G，BG=5，cos∠ABC=0.6，请直接写出BE【题型5根据特殊角的三角函数值求角的度数】【例5】（2022·安徽·桐城市第二中学九年级期末）已知△ABC中，点D为BC边上一点，则下列四个说法中，一定正确的有（

）①连接AD，若D为BC中点，且AD平分∠BAC，则AB=AC；②若∠BAC=90°，且BC=2AC，则∠B=30°；③若∠B=30°，且BC=2AC，则∠BAC=90°；④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，则△ABC的重心在AD上．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-1】（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校一模）在△ABC中，若，sinB−12【变式5-2】（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学二模）若菱形的周长为82，高为2，则菱形两邻角的度数比为（

A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1【变式5-3】（2022·山东日照·三模）如图，直线AB=−33x+3与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线段AB上，动点Q在线段OA上，连接OP，且满足∠BOP=∠OQP，则当【题型6求特殊角的三角函数值】【例6】（2022·广东·东莞市东华初级中学九年级阶段练习）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（

）A．13 B．12 C．33【变式6-1】（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）计算：(1)3tan(2)cos2【变式6-2】（2022·江苏·涟水县麻垛中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，则sin∠ABC【变式6-3】（2022·河南·油田十中九年级阶段练习）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正切值是______．

【题型7同角的三角函数值的证明或求值】【例7】（2022·全国·九年级课时练习）下列结论中（其中α，β均为锐角），正确的是___________．（填序号）①sin2α+cos2α=1；②cos2α=2cos【变式7-1】（2022·江苏·镇江市外国语学校一模）已知sinα⋅cosα=18【变式7-2】（2022·福建莆田·一模）求证：若α为锐角，则sin2α+cos2α＝1．要求：①如图，锐角α和线段m用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角的Rt△ABC保留作图痕迹，不写作法）②根据①中所画图形证明该命题．【变式7-3】（2022·全国·九年级课时练习）已知sinα，cosα为方程x2【题型8互余两角的三角函数关系的计算】【例8】（2022·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，则sinB等于(

A．25 B．35 C．45【变式8-1】（2022·全国·九年级单元测试）若α为锐角，且cosα＝1213A．513 B．1213 C．512【变式8-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知α，β都是锐角，且α+β=90°，sinα+cosβ=【变式8-3】（2022·福建·龙海二中九年级阶段练习）李华在作业中得到如下结果：tantantantantan根据以上，李华猜想：对于任意锐角α，均有tan（1）当α=30°时，验证tanα⋅（2）李华的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．（3）小明发现一次函数解析式中的k值（一次项系数的值）其实就是该一次函数图像与x轴所形成的夹角的正切值，已知平面直角坐标系中有两条直线互相垂直，l1：y1=k1x+b1，l2【题型9利用增减性判断三角函数的取值范围】【例9】（2022·福建省泉州实验中学九年级期中）三角函数sin40°、cos16°、A．tan50°>cos16°>C．cos16°>tan50°>【变式9-1】（2022·浙江·九年级专题练习）已知△ABC是锐角三角形，若AB>AC，则（）A．sinA<sinB B．sinB<sinC【变式9-2】（2022·四川·西昌市俊波学校九年级阶段练习）已知32<cosA．30°<A<B B．60°<A<B C．B<A<60° D．B<A<30°【变式9-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，梯子地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（

）A．sinAB．cosAC．梯子的长度决定倾斜程度D．梯子倾斜程度与∠A的函数值无关【题型10三角函数在等腰直角三角形中的应用】【例10】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝102cm，D为AB边上一点，tan∠ACD＝15，点P由C点出发，以2cm/s的速度向终点B运动，连接PD，将PD绕点D逆时针旋转90°，得到线段DQ，连接PQ(1)填空：BC＝，BD＝；(2)点P运动几秒，DQ最短；(3)如图2，当Q点运动到直线AB下方时，连接BQ，若S△BDQ＝8，求tan∠BDQ；(4)在点P运动过程中，若∠BPQ＝15°，请直接写出BP的长．【变式10-1】（2022·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标是(0,−1)，点A1，A2，A3，A4，A5…所在直线与x轴交于点B0(−2,0)，点B1，B2，B3，B4…都在【变式10-2】（2022·广东深圳·九年级期末）如图1，分别以ΔABC的AB、AC为斜边间外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACF，点G是AC的中点，连接DG、BF．（1）求证：ΔADG∽ΔABF；（2）如图2，若∠BAC=90°，AB=22，AC=32，求（3）如图3，以ΔABC的BC边为斜边问外作等腰直角三角形BCE，连接EG，试探究线段DG、EG的关系，并加以证明．【变式10-3】（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）（1）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线MN经过点C，AE⊥MN，垂足为E，BF⊥MN，垂足为F，则AE与CF的数量关系是．（2）【拓展探究】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直线MN经过点C，AE⊥MN，垂足为E，BF⊥MN，垂足为F，试猜想AE与CF的数量关系，并加以证明．（3）【迁移应用】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，E为AC的中点，F为边BC上一点，CE＝CF，P为AB上一点（不与A、B重合），D为射线EF上一点，当△CDP为等腰直角三角形时．①tan∠EFC＝．②求出BP的长度．专题28.1锐角的三角函数【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1锐角的三角函数概念辨析】 2【题型2直接根据定义求锐角的三角函数值】 5【题型3构造直角三角形求锐角的三角函数值】 9【题型4根据锐角的三角函数值求边长】 14【题型5根据特殊角的三角函数值求角的度数】 20【题型6求特殊角的三角函数值】 24【题型7同角的三角函数值的证明或求值】 27【题型8互余两角的三角函数关系的计算】 30【题型9利用增减性判断三角函数的取值范围】 33【题型10三角函数在等腰直角三角形中的应用】 35【知识点1锐角三角函数】在中，，则的三角函数为定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)【知识点2特殊角的三角函数值】三角函数30°45°60°1【题型1锐角的三角函数概念辨析】【例1】（2022·广东·佛山市南海区金石实验中学九年级期中）在△ABC中，∠C＝90°，BCABA．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【答案】D【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可．【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，则cosA＝ACAB＝4a5a=sinB＝BCAB＝4a5a=tanA＝BCAC=3atanB＝ACBC=4k3k＝故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键．【变式1-1】（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosBA．CDAC B．BDCB C．CDCB【答案】C【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可．【详解】A．∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，在Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC∴cosB=CDAC故A不符合题意；B．在Rt△DBC中，cosB=BDCB，故BC．在Rt△DBC中，cos∠BCD=CDCB∵∠A≠45°，∴∠B≠45°，∴∠B≠∠BCD，∴cosB≠CDCB故C符合题意；D．在Rt△ABC中，cosB=CBAB故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键．【变式1-2】（2022·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（）A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB【答案】D【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．【详解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，则sinA＝ac，则a=c·tanA＝ab，则b＝acosB＝ac，则a＝ccosB故选：D．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．【变式1-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、点B和点C在小正方形的顶点上.请在图①、图②中各画一个图形，满足以下要求：(1)在图①中以AB和BC为边画四边形ABCE，点E在小正方形的顶点上，且此四边形有两组对边相等．(2)在图②中以AB为边画△ABD，使tan∠ADB=【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析．【分析】（1）根据该四边形有两组对边相等可知这个四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边互相平行即可作出；（2）根据正切值的定义即可作出△ABD．（1）解：作图如下：根据该四边形有两组对边相等可知这个四边形是平行四边形，再由平行四边形的对边互相平行可知，AD∥BC，由BC平移可以得到AD，∵点B向上平移三个单位，向右平移一个单位，得到点A，∴点C向上平移三个单位，向右平移一个单位，即可得到点D．（2）△ABD如下图，BE=3，DE=4，∠BED=90°，tan∠ADB=【点睛】本题考查在网格中作图，需要熟练掌握平行四边形的对边平行且相等，正切值的定义．【题型2直接根据定义求锐角的三角函数值】【例2】（2022·山东·肥城市湖屯镇初级中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为()．A．13 B．45 C．23【答案】B【分析】根据折叠的性质，得AF=AD=5，EF=DE，由勾股定理得BF=4，进而得CF=1，设CE=x，则DE=EF=3−x，根据勾股定理，列出方程，求出x的值，即可得到答案．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=5，AB=CD=3．∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=5，EF=DE，∵在Rt△ABF中，BF=A∴CF=BC−BF=5−4=1，设CE=x，则DE=EF=3−x，∵在Rt△ECF中，CE∴x2+1∴EF=3−x=5∴sin∠EFC=故选B．【点睛】本题主要考查矩形中折叠的性质以及勾股定理和正弦三角函数的定义，掌握勾股定理，列方程，是解题的关键．【变式2-1】（2022·河南南阳·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE＝2，则tanA．12 B．2 C．52 【答案】B【分析】在直角三角形ADE中，cosA=【详解】设菱形ABCD边长为t．∵BE＝2，∴AE＝t−2．∴cosA=∴35∴t＝5．∴AE＝5−2＝3．∴DE＝AD2−AE∴tan∠DBE＝DEBE故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握边角之间的关系．【变式2-2】（2022·广东·惠州一中二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（

A．52 B．53 C．23【答案】B【分析】如图所示，连接AD，由D为BC中点得出BD=DC=4，AD⊥BC，从而根据勾股定理得出AD=25，然后由∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAD=90°得出∠BDE=∠BAD【详解】如图所示，连接AD，∵AB=AC=6，BC=8，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD=DC=4，∴AD=A∵∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAD=90°，∴∠BDE=∠BAD，∴cos故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及三角函数的定义，解题的关键是通过等量代换得出∠BDE=∠BAD，进而得出答案．【变式2-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，点E在AB上，点F在BC上．若AE=2，CF=1，则sin∠1+∠2=（A．12 B．22 C．32【答案】B【分析】连接EF，求证△DEF是等腰直角三角形，得∠EDF=45°，所以∠1+【详解】解：连接EF，∵四边形ABCD是长方形，∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，BC=AD=3，CD=AB=5，在Rt△ADE中，AD=3，AE=2，∴DE∵AB=5，∴BE=AB-AE=3，∵CF=1，∴BF=BC-CF=2，在在Rt△EBF中，∴EF∴EF=DE在Rt△CDF中，∴DF∵26=13+13，即：DF∴∠DEF=90°，∴∠EDF=∠DFE=45°，∴∠1+∴sin∠1+∠2故选B．【点睛】本题考查长方形的性质、勾股定理及其逆定理、正弦函数，根据勾股定理的逆定理证明出△DEF是等腰直角三角形是解题的关键．【题型3构造直角三角形求锐角的三角函数值】【例3】（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（

）A．3 B．2 C．22 D．3【答案】A【分析】过C作CM∥AB，过D作DN⊥MC于N，从而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理求出CN、DN的值，最后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】：连接CM，DN，由题意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由题意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，∴CN=2∴tan∠DCN＝DNCN＝3∴∠APD的正切值为：3，故选：A．【点睛】本题考查锐角三角函数与勾股定理的综合应用，熟练掌握平行线的性质、勾股定理的应用、正切函数的概念是解题关键．【变式3-1】（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB=3，BC=1，点D在AB上，且BDAD=13A．13 B．1 C．223【答案】C【分析】过点D作DE⊥BC于点E，构造含∠BCD的Rt△CDE，分别算出DE、CE的长，利用正切的定义计算即可．【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴AC∥DE∴∠A=∠EDB∴△ACB∽△DEB（AA）∵BDAD∴BD又∵AB=3，BC=1∴BE=14，CE=∵Rt△BDE∴DE=∵BC=1∴CE=BC−BE=∴tan故选C．【点睛】本题考查了正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，正切值定义的成立条件是在直角三角形中，这点是容易被忽略的易错点．【变式3-2】（2022·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，将△ABC沿着CE翻折，使点A落在点D处，CD与AB交于点F，恰好有CE＝CF，若DF＝42，AF＝12，则tan∠CEF＝___．【答案】7【分析】如图，作CH⊥AB于H．设CF=EC=x．由CF=CE，CH⊥EF，推出FH=EH，设FH=EH=y，根据勾股定理可得x2−y2=(x+42【详解】解：如图，作CH⊥AB于H．设CF=EC=x，∵CF=CE，CH⊥EF，∴FH=EH，设FH=EH=y，则有x整理得2x+3y=14∵∠CFE=∠CEF，∠CFE=∠D+∠FED，∠CEF=∠A+∠ECA，∠A=∠D，∴∠FED=∠ECA，∴△EFD∽△CEA，∴DFAE∴4212−2y=由①②可得x=42，y=2，∴CH=x∴tan∠CEF=故答案为7．【点睛】本题考查翻折变换、求正切、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题【变式3-3】（2022·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝12，则ACBC的值为【答案】3【分析】过点D作DM⊥CM，交CB的延长线于点M，可得∠DMC＝90°，在Rt△DMC中，利用锐角三角函数的定义可设DM＝a，则CM＝2a，然后证明8字模型相似三角形△ACB∽△DMB，从而利用相似三角形的性质可得ABBD＝ACDM＝CBBM＝2，进而可得AC＝2a，CB＝【详解】解：过点D作DM⊥CM，交CB的延长线于点M，∴∠DMC＝90°，在Rt△DMC中，tan∠BCD＝12∴tan∠DCM＝DMCM＝1设DM＝a，则CM＝2a，∵∠ACB＝∠DMC＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ACB∽△DMB，∴ABBD＝ACDM＝CBBM∴AC＝2DM＝2a，∴CB=∴ACBC＝2a4故答案为：32【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【题型4根据锐角的三角函数值求边长】【例4】（2022·全国·九年级课时练习）如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD为△ABC的角平分线，若CD=2，则AB的长为（

）A．3 B．22+2 C．4 【答案】D【分析】过点D作DE⊥BC于点E，设AB=AC=x，则AD=x-2，根据等腰Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，得到∠C=45°，根据BD为△ABC的角平分线，∠A=90°，DE⊥BC，推出DE=AD=x-2，运用∠C的正弦即可求得．【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E，则∠DEB=∠DEC=90°，设AB=AC=x，则AD=x-2，∵等腰Rt△ABC中，，∠A=90°，AB=AC，，∴∠C=（180°-∠A）=45°，∵BD为△ABC的角平分线，∴DE=AD=x-2，∵sinC=∴x−22∴x=2+2，即故选D．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，角平分线，解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正弦的定义和45°的正弦值，是解决问题的关键．【变式4-1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（）A．32 B．332 C．【答案】B【分析】过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝23，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，由直角三角形的性质求出MG＝3，证明△GBM∽△BCE，由相似三角形的性质得出BG【详解】解：过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝23，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC∴∠MGN＝90°，∴四边形GMCN为矩形，∴GM＝CN，在△CDN中，∠D＝60°，CD＝23∴CN＝CD•sin60°＝23∴MG＝3，∵四边形BEFG为矩形，∴∠E＝90°，BG∥EF，∴∠BCE＝∠GBM，又∵∠E＝∠BMG，∴△GBM∽△BCE，∴BGBC∴42∴BE＝32故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．【变式4-2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC．点D在△ABC内部，AD⊥CD，且∠ADB【答案】41【分析】取点H在AD上，使AH=BD，连接CH，根据三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质和勾股定理的运用求解即可解答．【详解】解：取点H在AD上，使AH=BD，连接CH，∵AB=AC，∠ADB=2∠ACB，∴∠BAD+∠ABD=∠BAC，∴∠ABD=∠DAC，在△ABD和△AB=∴△ABD≅△∴∠BAD=∠ACH，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∴∠BAC=∠ACH+∠DAC，又∵∠DHC=∠ACH+∠DAC，∴∠DHC=∠BAC，∴tan∠DHC又∵AD⊥∴DCHD∴HD=∴AD=HC=2+34∵HD∴34解得：DC=4，∴AD=5，∴AC=【点睛】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质和勾股定理的应用，解决本题的关键是正确的作出辅助线．【变式4-3】（2022·安徽·九年级专题练习）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接(1)求证：四边形BCED是菱形．(2)已知点F为BC中点，过点F作GF⊥BC交AB于点G，BG=5，cos∠ABC=0.6，请直接写出BE【答案】(1)见解析(2)7.2【分析】（1）通过三角形全等证明相应角和相应边相等，再根据CE∥BD证明内错角相等，从而得到CE=BD，从而证明四边形（2）先连接CD，再根据锐角三角函数的比值求出BF的长度，从而求出BC的长度，再求出BH的长度，从而求出BE的长度．(1)解：∵△ABC≌△ABD∴∠ABC=∠ABD，CB=BD∵CE∴∠CEB=∠ABD∴∠CEB=∠ABC∴CE=BC∴CE=BD∵CE=BD，CE∴四边形BCED为平行四边形∵CB=BD∴四边形BCED为菱形(2)解：连接CD交AB与点H，如图所示∵四边形BCED为菱形∴BH=EH，BE⊥CD∴∠CHB=90°∵GF⊥BC∴∠GFB=90°∵BG=5，cos∴BF∴BF=3∵点F为BC中点∴BC=6∵cos∴BH=3.6∴EH=3.6∴BE=7.2【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数的运用，熟练掌握全等三角形的性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数的运用是解答本题的关键．【题型5根据特殊角的三角函数值求角的度数】【例5】（2022·安徽·桐城市第二中学九年级期末）已知△ABC中，点D为BC边上一点，则下列四个说法中，一定正确的有（

）①连接AD，若D为BC中点，且AD平分∠BAC，则AB=AC；②若∠BAC=90°，且BC=2AC，则∠B=30°；③若∠B=30°，且BC=2AC，则∠BAC=90°；④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，则△ABC的重心在AD上．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①根据三角形的中线性质，可得S△ABD=S△ACD，再利用角平分线性质得到AB=AC；②因为BC=2AC根据直角三角形特殊三角函数值即可解答；③∠B=30°，且BC=2AC，根据三角形中的特殊角的角边关系即可确定∠BAC=90°；④三角形重心在三角形中线上，根据等腰三角形三线合一可确定【详解】①因为D为BC中点，所以S△ABD=S△ACD,又因为AD平分∠BAC，则点D到线段AB、②若∠BAC=90°，且BC=2AC，则∠B的正弦值为12，则∠B=30°③若∠B=30°，且BC=2AC，过点C作线段AB的垂线段恰好与AC重合，则∠BAC=90°，故③正确；④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，根据三线合一，AD为BC边中线，则△ABC的重心在AD上．故答案选D【点睛】本题考查了三角形的中线性质，角平分线性质，特殊角三角行的角边关系，熟练掌握三角形的角平分线性质，中线性质，灵活运用三角形角边关系是解题的关键．【变式5-1】（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校一模）在△ABC中，若，sinB−12【答案】90【分析】用非负数的性质和特殊角的三角函数值解答．【详解】∵sinB−∴sinB−12sinB=12∠B=30°，∠A=60°，∠C=180-（∠A+∠B）=90°．故答案为90．【点睛】本题考查了非负数性质和特殊角的三角函数，熟练掌握非负数的性质和特殊角的三角函数值，是解决此类问题的关键．【变式5-2】（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学二模）若菱形的周长为82，高为2，则菱形两邻角的度数比为（

A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1【答案】D【分析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH=2，利用菱形的性质得到AB=22，利用正弦的定义得到∠B=45°，则∠C=135°，从而得到∠C:∠B【详解】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH=2，∵菱形的周长为82∴AB=22在RtΔABH中，sinB=∴∠B=45°，∵AB//CD，∴∠C=135°，∴∠C:∠B=3:1．故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．【变式5-3】（2022·山东日照·三模）如图，直线AB=−33x+3与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线段AB上，动点Q在线段OA上，连接OP，且满足∠BOP=∠OQP，则当【答案】

30

2【分析】过点P作PM⊥OA于点M，设P(t,−33t+3)，由三角形相似可得MQ【详解】解：如图，过点P作PM⊥OA于点M，∵动点P在线段AB上，∴设P(t,−3∴PM=−33t+∵∠BOP+∠POM=90°,∠MQP+∠QPM=90°，∠BOP=∠OQP，∴∠POM=∠QPM，∵∠OMP=∠PMQ=90°，∴△OPM∽△PQM，∴PM∴MQ=P设OQ=m，∵OQ=OM+MQ，∴m=t+(−整理得：4t∴Δ整理可得：m2设y=m则其与x轴的两个交点为(−6,0),(2,0)，∵a=1＞∴当y=m2+4m−12≥0时