反比例函数核心分类突破-中考数学复习题练习（教师版）

专题18反比例函数核心考点分类突破(解析版)

第一部分算由利析

考点一分比例函数的图像和性质

类型1比较函数值的大小

典例1(2022春•上蔡县期中)已知双曲线)，=5(⅛<0),过点(1,yι),(3,”)，(-2,”)，则下列结论

正确的是()

A.yι<y2<y?B.y3<yι<y2C.y2<j3<γιD.y3<y2<y1

思路引领：根据4的符号确定反比例函数图象所在的象限，根据反比例函数的性质即可得出答案.

解：FV0,

.∙.反比例函数)=[(*<0)的图象在第二、四象限，

；反比例函数的图象过点(1,yi)、(3,”)、(-2,”)，

；•点(L”)、(3,”)在第四象限，(-2,ʃɜ)在第二象限，

ΛJI<>,2<0,”>0,

Λy1<y2<y3∙

故选：A.

总结提升：本题考查了反比例函数的图象和性质的应用，注意：当/<0时，反比例函数y=1(MVO)

的图象在第二、四象限，在每个象限内y随X的增大而增大.

典例2(2022秋•惠城区校级期末)已知点A(3,yι),3(-6,”)，C(-5,>3)都在反比例函数y=g的

图象上，则()

A.jι<>,2<y3B.y3<γ2<yιC.y3Vy∣Vy2D.y2<γ1<γ3

思路引领：根据反比例函数的性质得出反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，)，随X的

增大而减小，再根据点的坐标特点得出即可.

解：反比例函数y中，Z=4>0,

.∙.反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随X的增大而减小，

：点A(3,yι),B(-6,*),C(-5,>-3)都在反比例函数y=(的图象上，

：.B、C在第三象限内，A在第一象限内,

Λjι>O,y3<>2<O

Λj3<J2<Jl,

故选：B.

总结提升：本题考查了反比例函数图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键.

类型2与反比例函数有关的多结论选择题

典例3（2021秋•蓬莱市期末）一次函数y=fcr+b（原0）中变量X与y的部分对应值如下表

X-10123...

y...86420...

下列结论：

①y随X的增大而减小；②点（6,-6）一定在函数y=fcv+6的图象上；

③当x>3时，y>0i④当χV2时，（k-l）x+6<0.其中正确的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

思路引领：根据待定系数法求得解析式，然后根据一次函数的特点进行选择即可.

解：由题意得，当x=l时，y=4,当X=O时，y=6,

解得：仁=7，

3=6

函数解析式为：y=-2x+6,

①L=-2<0,

；.），随X的增大而减小，正确；

②当x=6时;y=-2×6+6=-6,

.∙.点（6,-6）一定在函数），=自+匕的图象上，正确;

③由表格得出当尤>3时，y<0,故错误；

④由表格得出当x<2f⅛,kx+b>x,

：.（⅛-l）x+b>0,故错误：

故选：C.

总结提升：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点

的理解和掌握，能求出一次函数的解析式是解此题的关键.

类型3由性质逆推函数解析式

典例4（2022•泰州）已知点（-3,yi）>（-1,”）、（1,）3）在下列某一函数图象上，且"<yι<y2,那么

这个函数是（）

A.y=3xB.y=3x2C.y=D.y—~~

思路引领：根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断*,V，”之间的关系，再

判断即可.

解：A.y=3x,因为3>0,所以），随X的增大而增大，所以yι<"<y3,不符合题意；

B.y=3x2,当X=I和X=-I时，y相等，即*="，故不符合题意；

C.v=p当x<0时，），随X的增大而减小，x>0时，y随X的增大而减小，所以不符合题

意；

D.y=-p当XVO时，y随X的增大而增大，x>0时，y随X的增大而增大，所以"符合题

意：

故选：D.

总结提升：本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质

是解题关键，也可直接代入各个选项中的函数解析中，再判断y的大小.

考点二反比例函数图像上点的坐标的特征

类型1求比例系数k的值

典例5（2022•南通）平面直角坐标系XOy中，已知点A（w,6m）,B（3m,2n）,C（-3w,-2n）是函数

y=5（原0）图象上的三点.若SAABC=2,则火的值为.

思路引领：连接Q4,作ADrr轴于O,BEJ_x轴于E,由8、C点的坐标可知B、C关于原点对称，则

BO=COf即可求得SRAOB=1,根据反比例函数系数k的几何意义得出SLAOB=S梯形AOEB+SAAOD-SLBOE

11Q

=S梯形ADEB，即可得出5∣6"+2吁∣3"Lml=1,求得〃P=*由于％=6机2,即可求得A=不

解：如图，连接OA,作A。LC轴于。，BEJ_x轴于E,

b

Y点A（m，6/72）♦BOn?,2/7）,C（-3"?,-2〃）是函数y=-（Λ≠0）图象上的三点.

:∙k=6m1=6nm,

.∙.“=7∏,

:∙B(3团,2m),C(-3mf-2∕π),

B。关于原点对称，

.BO=CO.

,S^ABC=2,

•SXAOB=1，

・SxAOB=S梯形AQE8+S^AOQ^S^BOE~S梯形AQEB,

1

∣6∕7Z+2∏2∣∙∣3Π∕-m∖-∖1

21

・〃?=*

・7.1

k=6×6，

O

总结提升：本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，求得AAOB

的面积为1是解题的关键.

典例6（2022•郸州区校级一模）如图，点A、8在反比例函数y=[（Λ>0）的图象上，延长AB交X轴于C

点，若AAOC的面积是24,且点B是AC的中点，则k的值为（）

4020

B.16C.8D.

3

思路引领：先根据B是AC的中点，表示出A80C的面积，再利用Z的几何意义表示出AAOH和ABOG

的面积，即可得出AAHC和ABGC的面积，易证AAHCs∕∖BGC,根据面积的比等于相似比的平方，列

方程即可求出Z的值.

解：连接。8,过点4作4H_Lx轴于点”，过点8作GBLt轴于点G,如图所示：

OlHGCx

是AC的中点，

.11

,∙SABOC=2SAAOC=×24=I2»

根据k的几何意义，

1

StAOH=SbBOG二/，

∙"∙S^AHC—S^AOC~SAAoH=24—ak，

SbBGC=SbBOC-SABOG=I2-gk,

":ZAHC=ZBGC=90o,

ZACH=ZBCG,

.MAHCsdBGC,

是AC的中点，

,相似比为1：2,

面积的比为1：4,

BPSaBGC:SAAHC=I:4,

(12-±k)：(24-±k)=I:4,

解得2=16.

故选:B.

总结提升：本题考查了反比例函数的几何意义，运用三角形中线的性质以及相似三角形的性质是解决本

题的关键.

类型2判断变化趋势

典例7（2022•丹东一模）如图，在平面直角坐标系中，点4是双曲线），=弓（x>0）上的一个动点，过点A

作X轴的垂线，交X轴于点8,点A运动过程中AAOB的面积将会（）

B.逐渐减小

C.先增大后减小D.不变

思路引领：比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以

及坐标原点所构成的三角形的面积是5昨且保持不变，所以点A运动过程中AAOB的面积将会不变，都

是:X3=1.5,据此解答即可.

解：根据反比例函数系数/的几何意义，可得

点A运动过程中AAOB的面积将会不变，

1

AAo8的面积为：-X3=1.5.

2

故选：D.

总结提升：此题主要考查了反比例函数系数4的几何意义的应用，解答此题的关键是要明确：在反比例

函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是且保

持不变.

类型3求几何图形的面积

典例8（2022•如皋市模拟）如图，点A为函数），=g（x>0）图象上一点，连接。A,交函数y=:（x>0）

的图象于点8,点C是X轴上一点，JLAO=AC,则AABC的面积为.

思路引领：根据题意可以分别设点A、点8的坐标，根据点。、A、B在同一条直线上可以得到A、B的

坐标之间的关系，由A。=AC可知点C的横坐标是点A横坐标的两倍，从而可以得到AABC的面积

解：

4,1

设点A的坐标为(a,一)，点8的坐标为(b,-)

ab

・；点C是X轴上一点，且AO=AC

二点C的坐标为(2α,0)

4

设过点。、点A的解析式为y=Ax,则一=ka

二直线OA的解析式为：y=-^χ

又•••点8在直线OA上,

14

,∙Γ=±2(负值不合题意，舍去)

故答案为：2

总结提升：此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征.通过一次函数，三角形面积的计算，突出考

查的目的.

类型4求点的坐标或字母的值

典例9(2022春•宝应县期末)如图，点A和点E(2,1)是反比例函数y=](Λ>0)图象上的两点，点B

在反比例函数y=?(x<0)的图象上，分别过点A、8作y较的垂线，垂足分别为点C、D,AC=BD,

连接AB交y轴于点F.

(1)求攵；

(2)设点A的横坐标为。，点F的纵坐标为m,求证：Gn=-2.

(3)连接C£、DE,当NCa)=90。时，求A的坐标.

思路引领：(1)将点E的坐标代入反比例函数y=[(x>0),即可得出答案；

(2)首先表示出A,B的坐标，再利用ASA证明AACF丝Z∖BOF,得CF=DF,从而得出尸的纵坐标；

82

(3)根据/C£D=90。，得CZ)=2EF,则一=2G+(1—m)2,由(2)知，-=-m,代入解关于，”的

aa

方程即可.

(1)解：∙.∙点E(2,1)是反比例函数(x>0)图象上的点，

JZ=1x2=2；

(2)证明：•・・点A的横坐标为小

J点A的纵坐标为2,

a

VAC=BD,

B(ICi,——

：・a

AC//BDf

：.NCAF=/DBF,/ACF=NBDF,

9：AC=BD,

ΛΔACF^ΛBDF(ΛSA),

：.CF=DFy

.2

../77=---a-,

.φ.am=-2：

(3)解：VZCED=90o,CF=DF,

：.CD=IfEF.

8

β22

.."=2λ∕2÷(1—rri)f

L2

由(2)知，一二—团，

a

22

-4ιn=2yj2÷(1—m)f

解得m=∖或一全

当w=l时，Cl=-2(舍去)，

当"?=-•1时,a=

65

∙∖A(一,~).

53

总结提升：本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判

定与性质，直角三角形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键.

典例10(2022春•新吴区期末)如图，点A、。分别在函数y=-[,y='的图象上，点8、C在X轴上，若

四边形ABC。为正方形，点A在第二象限，则4的坐标为.

思路引领：设点B(b,0),点C(a,0)利用反比例函数图象上点的坐标特征表示A3、BC、CD,再根

据正方形的性质求出b的值即可.

解：设点8(⅛,0),点C(α,0),

；点A在反比例函数)，=一；的图象上，

点A",-i),BPOB=-b,AB=-ɪ,

：点C在反比例函数y=I的图象上，

37

・•・点。(小-),即。C=4,CD=-,

aQ

又∙.F8CO是正方形，

IAB=BC=CD,

12

—a-b—，

EP--bFa—

解得。=2，b=-ɪ,

1

，点4（—2,2）,

故答案为：（―2）.

总结提升：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，理解反比例函数图象上点的坐

标特征以及正方形的性质是正确解答的前提，设出点8,点C坐标，分别表示出正方形的边长是解决问

题的关键..

考点3反比例系数的几何意义

类型1求反比例系数

典例11（2021•宝应县一模）如图，ELABCo的顶点4、B在X轴上，顶点。在y轴上，顶点C在第一象限，

反比例函数），=§（x>0）的分支过点C,若日ABCD的面积为3,则&=

JX-----

思路引领：过C作CELAB,通过说明AθO4gzλCE8,可得矩形ODCE的面积等于平行四边形ABCD

的面积，设出点C的坐标，用坐标表示出线段CE,OE,结论可求.

解：如图，过点C作CELA3于E,连接。C,

∙.∙EL48C。的面积为3,

."8∙CE=3.

：四边形ABCD是平行四边形,

.AD=BC9AD//BC.

,NDAO=NCBA.

∖'DO±AO,CELAB,

：.NDoA=NCEB=90。.

:ADOA9/XCEB(AAS).

∙'∙SXoDA=SACEB∙

:∙S拒形DOEC=Sr行四边形48CQ=3∙

Λ0E∙CE=3.

设C(m⅛),

・・・c在第一象限，

.∙.4>0,h>0.

:∙OE=a,CE=b.

：.0E∙CE=cιb=3.

•∙k~~cιh~~3.

故答案为：3.

总结提升：本题主要考查了反比例函数的系数Z的几何意义，反比例函数的图象上的点的坐标的特征，

平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质.用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键.

典例12如图，在平面直角坐标系中，过原点的一条直线分别与反比例函数)，=-](x<0)和反比例函数

思路引领：过点4作AC，X轴于点C,过点B作BD_LX轴于点。，则可证出AA0CS4B0O,根据相似

三角形的性质结合反比例函数系数k的几何意义即可求出人值，再根据反比例函数)，=[(x>0)的图象

在第四象限，可确定Z值，此题得解.

解：过点A作AC_Lx轴于点C,过点B作3£>_LX轴于点£),如图所示.

・・SCJ_x轴，W)J_x轴,

.∙.ZACO=ZBDO=90o.

XVZAOC=ZBOD,

.∆AOC^∆BOD,

SABoD_BOlk∣

(——)92=4,即π一=4,

SAAOCAO1

.Λ=÷4.

・反比例函数y=[(x>0)的图象在第四象限,

∙k=-4.

相似三角形的判定与性质以及反比例函数系

数k的几何意义，根据相似三角形的性质结合反比例函数系数k的几何意义求出k值是解题的关键.

类型2求几何图形的面积

典例13(2022春•雨花区校级月考)如图，正比例函数y^kx与函数y=如勺图象交于A,B两点,BC∕∕x

思路引领：先设A点坐标，根据反比例函数正比例函数的中心对称性再确定B点坐标，于是可得到C点

坐标，然后根据三角形面积公式进行计算.

44

解：设A点坐标为(加，一),则8点坐标为(-“，一三)，

mm

，C点坐标为(m,-ʌ),

O

：.AC=-,BC=2m,

m

I18

.∙.∆ΛSC的面积=τAC∙BC=弓∙2"-=8.

乙izm

故答案为：8.

总结提升：本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，根据函数的性质得出A、8、C的坐标是解题的

关键.

考点4反比例函数综合题

类型1反比例函数与一次函数的综合

典例14(2021•武汉模拟)将双曲线句右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲

线与直线y=kχ-2-k(k>O)相交于两点，其中一个点的横坐标为a,另一个点的纵坐标为b,则(α

-1)(⅛+2)的值为()

A.-4B.-3C.4D.9

思路引领：由于一次函数y=心:-2-2过定点P(1,-2),P(1,-2)恰好是原点(0,0)向右平移1

个单位长度，再向下平移平移2个单位长度得到的，双曲线y=I向右平移1个单位长度，再向下平移2

个单位长度，得到的新双曲线与直线y=fcv-2-&(%>0)相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，

表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案.

解：Y一次函数y="-2-ka>0),

.∙.当x=l时，y=-2,

二一次函数的图象过定点P(1,-2),

'：P(1,-2)恰好是原点(0,0)向右平移1个单位长度，再向下平移平移2个单位长度得到的，

.∙.将双曲线)=1向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y=匕-2-

k(⅛>0)相交于两点，

33

•••在平移前是关于原点对称的，平移前，这两个点的坐标分别为(fl-1,-(--1⅛+2),

α-lb+2

.I3

-∙a~l=~b+2,

：.Ca-1)32)=-3,

故选：B.

总结提升：本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点

对称是解决问题的关键.

典例15(2022春•海安市期中)平面直角坐标系XOy中，直线y=2x与双曲线y=号(k>2)相交于A,B两

点，其中点A在第一象限.设M(W,1)为双曲线y=^(∕c>2)上一点，直线AM,分别交y轴于C,

。两点，则OC-OQ的值为.

思路引领：设A(m2a)f则B(-m-2a)f分别待定系数法求出AM和BM的解析式，进一步求出C

和。点坐标，即可求OC-Oo的值.

解：根据题意，设A(4,2a)f则8(-m-24),

VM(77?,1),

设AM的解析式为y=Air+Z?(n≠0),

代入A,M点坐标，得｛鼠；］］?；

n=^zl

解得a-m

,a-2am'

a-m

.∙.AM的解析式为)=铝+嘿F

a-2am

：.C(0,----------),

a-m

.“a-2am

..OC=----------

a-m

设的解析式为y=cx+d(c≠0),

代入8,M点坐标，得｛肃++二=］口

l+20

解得m+a

a-2amf

d=

TΠ+Q

l+2αa-2am

.∙.8M的解析式为y

τn+α

a-2am

：.D(O,----------),

?n+a

・C八a-2am

・・OD=-----：—

m+a

「A,M都在反比例函数图象上,

∙∖a∙2a=m∙∖,

∙.m=2cr,

a—2ama—2am_2F_4Q2

：.OC-OD=7Π=2,

a—m—m+,αCα2-τn2

故答案为：2.

总结提升：本题考查了反比例函数图象上的点坐标特征，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键.

类型2反比例与三角形综合

典例16（2022∙宿迁）如图，点A在反比例函数y=（（x>O）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形

OAB,其中NoAB=90。，AO=AB,则线段08长的最小值是（）

C.2√2D.4

思路引领：根据三角形OAB是等腰直角三角形，当08最小时，最小，再根据两点间的距离公式解

答即可.

解：：三角形0A8是等腰直角三角形,

当OB最小时，04最小,

2

设4点坐标为（/一）,

a

9

∙∙∙(α-/>o,

即：α2+ɪ-4>0,

C4

∙'∙ɑ2H—224,

∙∙∙(α-∣)2≥0,

两边同时开平方得：〃一（=0,

ɔ

，当〃=制，OA有最小值，

解得αι=J∑,a2=-y[2(舍去),

ΛA点坐标为（√2,√2）,

：.0A=2,

；三角形OAB是等腰直角三角形，为斜边,

：.0B=√2OΛ=2√2.

故选：C.

总结提升：本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.

类型3反比例与四边形综合

17.（2021•鼓楼区校级模拟）如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数），=［的图象在第一象限

的分支交AB于点P,交BC于点E,直线PE交y轴于点。，交X轴于点F,连接AC.则下列结论：

①四边形ADEe为平行四边形；©Snaι^ACFP=Ik-,③若SACEF=1,SAPBE=4,则k=6；④若34P=8P,

则4DA=DO.

其中正确的是

Zzk

思路引领：设点8的坐标为",«）,得到P（丁〃），E⑵利用待定系数法求出直线PE的解析

式为产哈+/〃，再求出/6+从。），尸百a）,从而证出AP=S所以四边形OABC是矩形'

证得四边形4C尸尸是平行四边形，所以S四边形ACFp=CF∙OA=:∙α=k,故②错误；由AC〃。凡OA////

∕c2

BC,可证得四边形AoEC是平行四边形，故①正确；先由SACM=1,判断出一=2,再由S“BE=%

abς

1ZzLrλ

得出3（/?--）•（。-五）=4,可求出k=6,判断出③正确；由3AP=BP,判断出αb=4A,再求出点D

坐标，即可判断出④错误；即可得出结论.

解：设点B的坐标为（b,α）,

；四边形ABCO为矩形，

ΛA（0,α）,C（b,0）,

：点凡E在反比例函数图形上，

kk

:∙P（一,α）,EQb,一），

ab

・・・直线PE的解析式为y=-拉+1+〃，

令y=0,代入得，x=：+/?,

k

/.F（一+⅛,0）,

a

.CF=-+b-b=~,

∖aa

k

VP（一，a）,

a

AP=­,

∙∖a

：.AP=CF9

・・・四边形OABC是矩形，

：.OA//BC,AB//OC.

：.四边形ACFP是平行四边形，

：・S四边形AC。=CROA=，=k,故②错误;

•・・四边形ACFP是平行四边形，

J.AC∕∕DF9

∖9OA∕∕∕∕BC,

・・・四边形ADEC是平行四边形，故①正确；

'.'SMJEF=I,

Ikk

Λ-X—X—=1,

2ab

k2

­=2,

SAPBE=A,

1k、kX

∙*∙-（b—）•（。-工）=4,

2ab

fc2

Λab-k-k+蔬=8,

k2

Λ--2⅛-6=0,

2

∙'∙k=-2（舍）或&=6,故③正确,

若3AP=8P,

AP1

则一=一,

BP3

AP1

ι•=一，

AB4

'B（⅛,〃）,

.AB=b,

k

,P（一，〃）,

a

.AP=

a

k

aɪ

•=一，

b4

∙ab=4k,

•直线PE的解析式为y=—拉+1+〃,

k

•D（0,一+α）,

b

,Λ（O,a）,

Ank、k

∙AD=石-∖-a-a=/

k

ADkk1

=F故④错误;

kι

DO石+ɑk+ab∕c+4∕c

,正确的有①

故答案为：①③.

总结提升：本题是反比例函数的综合题，主要考查了矩形的性质，三角形和平行四边形的面积，平行四边

形的判定和性质，待定系数法，判断出四边形APFC是平行四边形是解本题的关键

第二部分专题理忧别珠

选择题（共7小题）

1.（2020春•江岸区校级月考）如图尸为双曲线y=（上到原点的线段的长度最短的一个点，若NAP8=45。,

交;x、y轴于A、B点，贝IJA4O8的面积为（）

A.2kB.√2⅛

C.kD.与《无关的一个确定值

思路引领：由尸为双曲线y=［上到原点的线段的长度最短的一个点,可得点P在第一象限的角平分线上,

于是OP=yfik.通过说明“P0s∕iP40,得出比例式，三角形面积可求.

解：连接OP,则。尸=¢〃.如图，

∙.∙NAPB=45°,

ZAPO+ΛBPO=45o.

VOP为第一象限的角平分线，

,N尸Oy=45。.

.∙.NPBO+NOPB=45°∙

，ZAPO=ZPBO.

,.∙NAoP=N尸OB=900+45°=135°,

/.∕∖APOS4PBO.

.OAOP

"OP~OB'

：.OP1=OA-OB.

111

,12

..SΔΛOB=2OA×OB=2OP=2×2⅛=k.

故选：C.

总结提升：本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形相

似的判定与性质，依据点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键.

2.（2016•本溪）如图，点A、C为反比例函数y=*（x<D）图象上的点，过点A、C分别作ABJ轴，COJ.

X轴，垂足分别为以D,连接OA、AC、OC,线段OC交AB于点E,点E恰好为OC的中点，¾∆AEC

ZzɪZzɪ2Zc

思路引领：设点C的坐标为（m,-）,则点E（-/H,—A（-∕π,—根据三角形的面积公式可得

m22m2m

出SAAEC=—g⅛=由此即可求出攵值.

kIk12k

解：设点C的坐标为（加，一），则点E（一m，----）,A（一一）»

m22m2m

1112kk33

'.'SΔ,AEC=^BD∙AE=ɔ（-〃？-m）∙（——---）=-Wk=ɔ,

222m2m82

：.k=-4.

故选：C.

总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点C的坐标，利用点。的横

坐标表示出4、E点的坐标.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上

点的坐标特征表示出点的坐标是关键.

3.（2021秋•渭滨区期末）如图，反比例函数y=1的图象经过A（-1,-2）,则以下说法错误的是（）

A.k=2B.x>0,y随X的增大而减小

C.图象也经过点8(2,1)D.当x<-1时，yV-2

思路引领：把A(-1,-2)代入反比例函数的解析式能求出k,把A的坐标代入一次函数的解析式得

出关于火的方程，求出方程的解即可.

解：把4(-1,-2)代入反比例函数的解析式得：k=xy=2,故A正确；

F=2>0,

Λ>'随X的增大而减小，

.∙.x>O,y随X的增大而减小，故8正确；

；反比例函数的解析式为尸：

把x=2代入求得y=l,

二图象也经过点8(2,1),故C正确；

由图象可知x<-l时.，则y>-2,故。错误；

故选：D.

总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要考查反比例函数的性质，题目较好，难度

适中.

4.(2021春•南开区校级月考)若点A(xι,-3),B(x2,1),C(孙3)在反比例函数y=-卷的图象上,

则无1,X2f工3的大小关系是()

A.Xl<X2<X3B.X3<X1<Λ2C.X1<X3<X2D.X2<X3<X1

思路引领：根据反比例函数的性质可以判断出刘，X2,X3的大小关系，本题得以解决.

解：VJl=-9,

反比例函数y=-g的图象在二四象限，且在每个象限)，随X是增大而增大，

・・・在第二象限内的点对应的纵坐标都大于零，在第四象限内点对应的纵坐标都小于零，

丁点A(xι,-3),B(X2,1),C(X3,3)在反比例函数y=-2的图象上，

JX

<JQ<X3<XI,

故选：D.

总结提升：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的

性质解答.

5.（2017秋•槐荫区期末）某一次函数的图象经过点（1,2）,且y随X的增大而减小，则这个函数的表达

式可能是（）

A.y=2x+4B.y=-2x+4C.y=3x+lD.-y=3x-I

思路引领：设一次函数关系式为y=fcr+'y随X增大而减小，则kVO；图象经过点（1,2）,可得鼠h

之间的关系式.综合二者取值即可.

解：设一次函数关系式为y=Ax+b,

；图象经过点（I,2）,

"+b=2;

,.>随X增大而减小，

.,.k<0.

即A取负数，满足k+h=2的&、的取值都可以.

故选：B.

总结提升：本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，为开放性试题，答案不唯一.只

要满足条件即可.

6.（2021•北硝区校级模拟）如图，一次函数）=见+〃（m≠0）的图象与反比例函数y=-孚的图象相交于

ɪ

A、B两点，延长BO交反比例函数图象的另一支于点C,连接4C交X轴于点。，若大=-，则AABC

AC4

面积为（）

L28√3L32√3

A.8√3B.-------C.10√3D.-------

33

思路引领：根据8、C的对称性，只要求得ZVlOB的面积，即可求得AABC的面积.

解：如图：作AE_LX轴于E,CF_Lx轴于凡AGJ_X轴于G,

.∖AE∕∕CF,

：.AAEDsNFD,

.AEAD

••—,

CFCD

^AD_1

•=1

AC4

AEAD1

•(——='-,

CFCD3

设则CF=3〃,

4√34√3

ΛA(-------,a),C(-----，-34),

a3a

根据对称性可得点8（-甯，3”）.

VS∆AOB=S∆BOG+S梯形ABGE-SAAOE=S梯形ABGE，

.C1ZɪʌXZ4√5,4√‰16√3

・・∖(〃

>AOB=2ɔ34a+3)a(y-d3-)=~Q―,

.c_32√3

•∙SAABC-2OΔAOB一ɜ,

总结提升：本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例

函数的性质，三角形相似的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键.

7.（2022∙临沐县二模）如图，在平面直角坐标系中，将直线y=-3x向上平移3个单位，与y轴、X轴分别

交于点A、B,以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC若反比例函数y=[（x>0）的

图象经过点C,则人的值为()

A.2B.3C.4D.6

思路引领：过点C作CE,X轴于点E,作CZMy轴于点凡根据等腰直角三角形的性质可证出AACFg

∕∖BCE(,AAS),SOECF=Sny1)tiOBCA=S^AOB+S^ABC>根据直线AB的表达式利用一次函数图

象上点的坐标特征可得出点A、8的坐标，结合勾股定理可得出45的长度，再根据三角形的面积结合反

比例函数系数k的几何意义，即可求出左值，此题得解.

解：过点C作CE,X轴于点E,作CFJ_.y轴于点凡如图所示.

：将直线y=-3x向上平移3个单位可得出直线A8,

直线AB的表达式为y--3x+3,

.∙.点A(0,3),点8(1,0),

：.AB=y∕0A2+0B2=√10,

:△ABC为等腰直角三角形，

."C=BC=√5,

：.SOECF=S^ΛOB+S^ABC=B×1×3+1×V5×√5=4.

ICELx轴，CFLy轴，

NECF=90。.

「△ABC为等腰直角三角形，

NACF+NFCB=NFC8+NBCE=90°,AC=BC,

：.ZACF=ZBCE.

在AACF和ABCE中，

24FC=乙BEC=90°

∆ACF=4BCE，

AC=BC

：.ΛACF^ΛBCE(AAS),

ISAACF=SABCE,

∙'∙SOECF=S四边形OBCA=S∆AOβ+S^ABC■

；反比例函数y=[（x>0）的图象经过点C,

<'∙k-S用KOECF-4,

故选：C.

总结提升：本题考查了反比例函数系数k的儿何意义、全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的

坐标特征、一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形以及三角形的面积，根据等腰直角三角形的性质

结合角的计算，证出“CF丝4BCE（AAS）是解题的关键.

二.填空题（共8小题）

8.（2020∙江夏区模拟）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为（1,3）,则另一

个交点坐标是.

思路引领：反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.

解：∙；反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，

.∙.另一个交点的坐标与点（1,3）关于原点对称，

二该点的坐标为（-1,-3）.

故答案为：（-I,-3）.

总结提升：本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个

点的坐标的横、纵坐标都互为相反数.

9.（2021秋•三明期末）如图，点A,8为反比例函数），=[（x>0）图象上的两点，过点A作X轴的垂线,

垂足为C,AC与OB交于点D,OD=^OB.若AoCD的面积为2,则k的值为.

33

思路引领：先设点力坐标为（α,b）,得出点B的坐标为（&“，-⅛）,再根据AOCO的面积为2,列出关

系式求得Z的值.

解：作BELr轴于£

YACLLx轴于C9

.∖AC∕∕BE,

.BEOEOB

^CD~OC~OD

设点D坐标为（m〃），

2

∖,OD=

33

LBE=WCD,OE=^OC9

33

，点3的坐标为（-«,

9

-

4

:△0Cz）的面积为2,

1

:Lab=2,

2

；・ab=4,

9

Λk—∙^ab=9.

故答案为：9.

总结提升：本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，

根据ACOO的面积为2列出关系式是解题的关键.

10.（2020秋•乳山市期末）反比例函数产I和尸拉第一象限的图象如图所示.点A,B分别在y=∣⅛y=ɪ

的图象上，A轴，点C是y轴上的一个动点，贝IJA4BC的面积为.

思路引领：连