安徽省芜湖市2023-2024学年高二年级上册期中联考数学试题（解析版）

安徽省芜湖市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.在空间直角坐标系中，已知(,(,则的模为()

A.1B.73C.711D.3

【答案】B

【解析】A(l,-2,3),5(0,-1,2),

则AB=(-1,1,-1)

所以网二^(-1)2+12+(-1)2=V3

故选：B.

2.如图，空间四边形Q43c中，。4=。，OB=b，OC=c，点/在线段OC上，且

0M=2MC,点、N为AB中煎,贝U跖V=()

11,1.

B.—a+—b----c

222

12,12.1,1-

C.-u—bH—CD.——a+—b+—c

232322

【答案】A

【解析】因空间四边形Q46c中，OA=a>OB=b，OC=c，点”在线段OC上，

且0M=2MC,点N为A5中点,

所以=+

22

所以M2V=ON—OM=ON+MO=La+^b—2c.

223

故选：A

3.若过点尸(3,2附和点。(一加,2)的直线与过点M(2,-l)和点M—3,4)的直线平行，则m的值

是()

11

A.-B.——C.2D.-2

33

【答案】B

,,2m-24-(-1)1

【解析】由kpQ=kMN,即——1=0二，得〃2=一彳.

3-(-m)-3-23

经检验知，机=-1符合题意

3

故选：B.

4.已知直线2x+佻y—l=。与直线3x-2y+〃=0垂直，垂足为(2,°),则。+加+〃的值

为()

A.-6B.6C.4D.10

【答案】A

［解析］因为直线2x+阳—1=0与直线3x_2y+〃=0垂直，所以2X3+(_2)/M=0,解得

［4+3^-1=0

机=3,又垂足为(2,。),代入两条直线方程可得/八,解得夕=一1,〃=-8,

6-2p+n=Q

则p+m+n=-1+3+(-8)=-6.

故选A

5.已知圆E:九2+丁2一。九一2y—2=0关于直线/：%—y=。对称，贝|］。=()

A.0B.2C.4D.6

【答案】B

【解析】因为圆Ed+V—奴一2y-2=0的圆心为

又因为圆石关于直线/：%—y=0对称，即？—1=0,所以。=2

2

故选：B

6.若尸(3,1)为圆炉+;/一2%—24=0的弦A3的中点，则直线A3的方程是()

A.x+2y-5=0B.x-y-2=0

C.2x-y-5=0D.2x+y-7=0

【答案】D

【解析】设圆f+y2—2x—24=0的圆心为O,坐标为(1,0),根据圆的垂径定理可知:

0-11

OP±AB,因为左O?=-----=一,所以上AB=-2,

1—32

因此直线A5方程为y—l=—2(%—3)=2%+y—7=0,故本题选D.

X、广

7.已知方程;------+」_=1表示焦点在y轴上的椭圆，则根的取值范围是（）

\m\-l2-m

…3

A.m<—1或l<m<—B.l<m<2

2

C.m<—1或1<加<2D.m<2

【答案】A

3

m<—

2-m>|\m\|-l2

x2y2

【解析】+二1表示焦点在y轴上的椭圆，则v2-m>0m<2

\m\-l2-m

|m|-l>0m>1或机<-1

取交集：m<—l或l<m<—.

2

故选：A.

r2V23

8.已知椭圆、■+看=1,耳,工为两个焦点,O为原点，尸为椭圆上一点，cos/片尸片二y,

则|P0=（）

2J303J35

A.-B.C.-D.

5252

【答案】B

22__

【解析】由题意椭圆三+乙=1,耳，吊为两个焦点，可得。=31=#,c=百，

96一

则归E|+|P闾=2a=6①，即归片「+归月「+2归用俨闾=36,

由余弦定理得闺阊2立

=\PF}f+\PF2f-2\PFT\\PF2\COSZF}PF2=(26

33

cos/耳。巴=丁故（|P娟+归阊）2-2归第P£|（l+?=12,②

联立①②，解得：|「周|尸阊=弓,.」「耳:+」阊2=21,

而尸O=；(PK+P^),所以归0|=|「0/；］咫+「闾，

即P。国阀+叫=■图「+2P耳•PR+P疔=121+2x?xg=T，

乙乙*乙乙J乙

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线/：x-s/3y+l=0,则下列结论正确的是()

A.直线/的倾斜角是:

B.若直线加：j3x-y+l=0,贝小

C.点倒,6)到直线/的距离是1

D.过点(1,73)与直线/平行的直线方程是x-j3y+2=Q

【答案】ACD

【解析】对于A,直线/的斜率为且，故倾斜角是四，故A正确，

36

对于B,直线〃z的斜率为由，两直线斜率乘积为1,不垂直，故B错误，

对于C,由点到直线的距离公式得d」—3+"=1,故C正确，

2

对于D,过点(1,班)与直线/平行的直线方程为y-6=f(x-1),得x-百y+2=0,

故D正确，

故选：ACD

10.已知圆。：必+丫2+2%—4y+l=0,下列说法正确的是()

A.圆心为(1,2)

B.半径为2

C.圆C与直线3x+4y+5=0相离

D.圆C被直线x=0所截弦长为2相

【答案】BD

【解析】将圆C：f+丁+2%—4y+1=0化为标准方程得(x+Ip+(y—2)2=4,

可知圆心。(—1,2),半径尺=2,故A错误，B正确；

由圆心c(—1,2)到直线3x+4y+5=0的距离d=13+[2+5]=?,

即H=d,直线与圆相切，故C错误；

圆心。(―1,2)到直线％=0的距离为4=1,

由圆的弦长公式，可得2河—d；=2物—俨=26,所以D正确.

故选：BD.

22

11.已知椭圆。：|^+々=1,耳，区分别为它的左右焦点，点尸是椭圆上的一个动点，下列

结论中正确的有()

A.点P到右焦点的距离的最大值为9

B.焦距为10

C.若/耳P鸟=90,则△耳尸耳的面积为9

D.△耳尸鸟的周长为20

【答案】AC

22

【解析】由椭圆。：二+乙=1的方程得：

259

a=53=3,c=4,4(—5,0),6(5,0),耳(Y,0),乙(4,0).

对A当点P为椭圆的左顶点时，点尸到右焦点的距离的最大，且为9,故A正确；

对B.焦距为2c=8,B错误；

对C.由题意得：闺闾2=俨团2+忸阊2,①由椭圆定义得：归团+归阊=2a=10,

即|P片「+伊闾2+2忸片卜忸闾=]0o,②

②-①得：忸/|。闾=18,6的面积为3归耳卜|尸闾=3><18=9,故C正确

对D,△耳尸鸟的周长为2a+2c=18,故D错误；

故选：AC

12.如图，在正方体ABC。-A4GR中，点尸在线段与C上运动，则下列结论正确的是

()

A.直线BD}_L平面\CXD

B.三棱锥P-4G。的体积为定值

7171

c.异面直线AP与A。所成角的取值范围是

[42_

D.直线GP与平面4G。所成角的正弦值的最大值为逅

3

【答案】ABD

【解析】在选项A中，：AC工BR,AG1BB],42cBB[=用,

且u平面BBQ,

AC_L平面BBR,BD]u平面BB01,

：.4G±BD[,

同理，DC,±BD,,

•.•4£门。£=£,且4G，r>Gu平面AG。，

二.直线32，平面AG。，故A正确；

在选项B中，

v\DIIBXC,A。u平面AGO,与C<z平面AG。，

与。//平面AGO,

:点尸在线段用。上运动，

.•.p到平面AG。的距离为定值，又4G。的面积是定值，

.•・三棱锥P-4G。的体积为定值，故B正确；

在选项c中，

AXD/IB{C,

：.异面直线AP与A。所成角为直线AP与直线瓦C的夹角.

易知va4c等边三角形，

当p为耳。的中点时，AP1BXC；

7?

当尸与点耳或。重合时，直线AP与直线用。的夹角为

7171

故异面直线AP与所成角的取值范围是,故C错误；

32

在选项D中,

以。为原点，zu为x轴，。。为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图,

设正方体的棱长为1，

则p(a,l,a),G(0,1,1),5(1,1,0),R(0,0,1),

所以GP=(a,0,a—1),'8=(1,

由A选项正确：可知=是平面4G。的一个法向量,

•••直线GP与平面4G。所成角的正弦值为:

\QP\-\D.B

:.当a=」时，直线GP与平面4CQ所成角的正弦值的最大值为逅，故D正确.

23

故选：ABD

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.过直线2x—y+4=0与x—y+5=0的交点，且垂直于直线x—2y=0的直线的斜越才

方程为.

【答案】y=—2x+8

2%-y+4=0x=l

【解析】由方程组解得

x-y+5=0y=6

即直线2x—y+4=0与x—y+5=0的交点为(1,6),

因为所求直线垂直于直线x-2y=0,所以其斜率为左=—2,

则直线方程为丁—6=—2(x—1),

所以直线的斜截式方程为y=-2x+8.

故答案为：y=—2x+8

14.两圆/+产一4尤+2y+1=0与(x+2)2+(y-2)2=9的公切线有条.

【答案】3

【解析】圆Y+y2_4x+2y+l=0整理可得：(x-2)2+(y+1)2=4,可得圆心C1的坐标为：

(2,-1),半径6=2；

(x+2)2+(y-2)2=9的圆心。2坐标(一2,2),半径2=3；

所以圆心距|CjC,|="(2+2)2+(2+iy=5=4+2，

所以可得两个圆外切，所以公切线有3条，

故答案为：3.

15.如图，在正三棱柱ABC-A4G中，AA=3,AB=2,则异面直线Af与8c所成

角的余弦值为.

7

【答案】百

【解析】以A为原点，在平面ABC内过点A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，A4为z

轴，建立空间直角坐标系，

在正三棱柱ABC-4与。］中，AA{=3,A5=2,

则4(0,0,0),A(o,0,3),5(百,L0),4(后,1,3),。(0,2,0)

故\B=(73,1,-3),BXC=(-73,1,-3),

jr

设异面直线AB]与B}C所成角为a。e(0,-],

|4片•旦C|_1—3+1+917

所以cos。=-

IAB}||BXC|V13-V1313

7

・,・异面直线A耳与耳。所成角的余弦值为二,

7

故答案为:

13

16.已知椭圆C：土+匕=1的左、右焦点分别为片，F2,M为椭圆C上任意一点，N为

43

圆日（无一3丫+（,一2『=1上任意一点，贝U|W|—|町|的最小值为.

【答案】272-5

22

【解析】由题意椭圆C：—+^-=1,M为椭圆C上任意一，

43

N为圆氏（x—3）?+（y—2）2=1上任意一点，

^\MFl\+\MF2\=4,\MN|>|ME\-1,当且仅当M,N,E共线时等号成立，

i^\MN\-\MFl\^MN\-（4-\MF2\）=\MN\+\MF2\^-\

>|A/E|+1AfF,|-5>|EF2\-5,

当且仅当M,N,E,F2共线时等号成立，

而F2（1,0）,£（3,2）,故|%|=—+（2—0『=2四，

即\MN\-\MF,|的最小值为2夜-5，

故答案为：2&-5

四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在四棱锥P—A6CD中，底面A3CD为菱形，△板）和为正三角形，E为PC

的中点.

（1）证明：PA//平面BDE.

（2）若AB=2,PC=3,求平面迅。与平面50E夹角的余弦值.

解：（1）连接AC,交BD于点O,连接OE.

因为ABCD为菱形，所以。为AC的中点.

因为E为PC的中点，所以0E为△?，4c的中位线，所以OE//K4.

因为K4a平面3QE,OEu平面应)E,所以B4//平面3DE.

(2)在正△依。中，连接PO,AB=BD=2,则20=行.

因AO=OC=6,PC=3,

PC?CiC1—PC21

所以cosZPOC=——=所以ZPOC=120°.

2POOC2

因为5。LAC,3D，PO,ACPO=O,AC,POu平面B4C,所以工平面24c.

所以u平面ABCD，所以平面PAC±平面ABCD，平面PAC1平面ABCD=AC,

过点尸作PHLAC于点4,PHu平面B4C,则PH,平面ABCD

AO=OC=PO=5所以PA,尸C,

又PC=3,AC=2石，则PA=5PH=PAPC=OH=—.

AC2022

如图，以。为坐标原点，。4。8的方向分别为苍丁轴的正方向建立空间直角坐标系,

则A（60,0）,3（0,1,0）,4-后0,0）,。（0,-1,0）,尸尺E

设平面？AD的法向量为加=(%，X，zJ,因为A£)二卜石,一1,。)，AP=-一；，°，；

I22J

m-AD=-石%-=0,

令4=1,得冽=（6,一3,1）.

所以《3

m•AP=———xl+—z1=0,

设平面BDE的法向量为n=(x2,y2,z2),

f_73

因为DB=（0,2,0）,BE=

4

ri-DB=2y2=0,

所以3

n-BE=-—尤2_%+丁2=0,

4

令Z2=l,得〃=（8,0,1）.

4__2713

因为cos(九ri)

A/13X2-13

所以平面PAD与平面3DE夹角的余弦值为二一.

13

18.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，ZACB=90°,\AC\=\BC\=\CC\=2.

---代'、、\

（1）求证：ABX1BQ.

(2)求点8到平面AgG的距离.

解：(1)建立直角坐标系，其中C为坐标原点.

，"七、、\

依题意得A(2,0,0),3(0,2,0),4(0,2,2),G(0,0,2),

因为做•5G=(-2,2,2)-(0,—2,2)=0,所以4与，3G.

(2)设％=(%,%,zj是平面A4G的法向量，

由勺-ABl=0,Wj-ACt=0得

-x.+y,+z,=0[y,=0

\'所以<,令4=1,则々=(1,0,1),

[F+Z]=0E=Z]

一，河H|-2|

因为AB=(-2,2,0),所以3到平面ABC1的距离为d=1।,1=-F===

闻Vi2+i2

19.已知一ABC的三个顶点分别为A(3,T),8(6,0),C(-5,2).

(1)求边AC上的高5。所在直线的方程；

(2)求边AC上的中线座所在直线的方程.

-4-234

解：(1)由题意得、Ac=a<且左B»MAC=T，所以左加=彳.

J—(一”43

4

则边AC上的高所在直线的方程为y=1(x—6),化简得4x—3y—24=0.

(2)由题知AC的中点£(—L—1),所以&E=g，

则边AC上的中线助所在直线的方程为y=-(x-6),化简得x—7y-6=0.

20.已知圆C：f+3；2-2；(：-6=0和定点4(-4,0),直线/：y=m(x+6)—8(meR).

(1)当m=1时，求直线/被圆C所截得的弦长；

(2)若直线/上存在点过点M作圆C的切线，切点为2,满足|M4卜求加

的取值范围.

解：(1)圆C(%—I7+,2=7,圆心。。,0),半径厂=4，

当m=1时，直线/的方程为x—y—2=0,

所以圆心c到直线I的距离d="二三=也,

V22

故弦长为W/—蕾=2力一=-J26-

（2）设V（x,y）,则=’Me?-尸=旧+/_2尤_6,

由4(—4,0),=^(x+4)2+y2=2(X2+/-2X-6).

化简得(x—6p+y2=64,

所以点M的轨迹是以。(6,。)为圆心，8为半径的圆.

又因为点M在直线/：,a―y+6/w—8=0上，所以/与圆。有公共点，

6m+6m-8|

所以J~7'<8,

Vm2+1