江西省部分高中学校2023-2024学年高一下学期联考数学试卷

江西省部分高中学校2023—2024学年高一下学期联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册，必修第二册第一章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列与角终边相同的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据终边相同的角的定义即可求解.【详解】由题意知，，所以与角终边相同的角为.故选：C2.下列函数的最小正周期为π的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出各选项函数的最小正周期即得.【详解】对于A，函数的最小正周期是，A不是；对于B，函数的最小正周期是，B是；对于C，函数的最小正周期是，C不是；对于D，函数的最小正周期是，D不是.故选：B3.2023年度江西省大学生电子商务创新创业挑战赛启动以来，该比赛受到了全省各高校和广大师生的高度重视并得到积极响应，真实场景的竞赛内容与形式极大地激发了大学生的创新创业热情．已知参加该比赛的高校共63所，其中本科院校有30所，高职院校有33所．若采用分层随机抽样的方法从所有本次参赛的院校中，随机抽取21所高校的比赛风采照片进行展示，则被抽取到的本科院校有（）A.9所 B.10所 C.11所 D.12所【答案】B【解析】【分析】由分层抽样定义，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可知，被抽取到的本科院校有所.故选：B4.为了得到函数的图象，可以将函数图象上所有的点（）A.向右平移2个长度单位 B.向右平移1个长度单位C.向左平移2个长度单位 D.向左平移1个长度单位【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用三角函数图象变换求解即得.【详解】显然，因此函数的图象可由的图象向左平移1个长度单位而得，D正确，ABC错误.故选：D5.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】观察给定函数图象，求出及周期，进而求出，再利用最大值点求出即得.【详解】观察图象知，，函数的周期，则，由，得，而，于，所以.故选：A6.若正数a，b满足，则的最小值为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.【详解】正数a，b满足，则，当且仅当时取等号，所以汉时，取得最小值8.故选：C7.世界青年羽毛球锦标赛将于2024年10月在南昌举办，这是南昌历史上举办的规格最高的国际级赛事．小王和小李为了准备羽毛球锦标赛，计划每日绕着半径为200米（为了计算方便，跑道的宽度忽略不计）的圆形跑道逆时针匀速跑步，以提高身体素质．圆形跑道示意图如图所示，O为圆形跑道的圆心．已知小王以290米/分钟的速度从A点出发，小李以300米/分钟的速度从B点出发，两人同时出发．若，则当小王与小李相遇时，小李跑的总路程可能为（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】D【解析】【分析】根据弧长公式求出，结合路程问题求出两人相遇的时间，进而即可求解.【详解】由题意知，米，设两人经过分钟后相遇，则解得，所以小李跑的总路程为当时，小李跑的总路程为米.故选：D8.若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由对数函数的单调性即可判断，再由换底公式代入计算，即可判断，从而得到结果.【详解】因为，，，所以，又，，由可得，所以，所以，则，所以，又，所以，所以，且，所以，则，所以.

故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知是角α终边上的一点，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求出，再利用诱导公式化简各选项判断即得.【详解】角终边上点，则，（为坐标原点），于是，对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD10.下列区间内，函数有零点的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意，分别画出函数与的图像，即可得到有两个零点，然后由零点存在定理代入计算，即可得到结果.【详解】因为的定义域为，分别画出函数与的图像，结合图像可知两函数的图像交点有2个，且，，所以，所以在内有零点，又因为，，所以，所以在内有零点.故选：AC11.已知函数在上恰好有3个不同的，使得，且在上单调递增，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】由给定区间上的最值点的个数及单调增区间列出不等式求出范围，判断即得.【详解】由，得，依题意，，解得，由，得，于是，解得，因此取值范围是，而，所以的值可能为，.故选：CD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数则的值为______．【答案】1【解析】【分析】由函数解析式可得，代入计算即可求解.【详解】由题意知，.故答案为：113.扇形拼盘是一种可以在宴会或聚会中展示美食的独特器具，它不仅可以为食物增添美观的视觉效果，还可以使每个人轻松地享用到不同的食物．已知某不锈钢扇形拼盘如图所示，其示意图可以看成是由中间的一个直径为24cm的圆，四周是8个相同的扇环形组成的，寓意“八方进宝”．若每个扇环形的周长为32+10πcm，则每个扇环形的面积为______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用弧长公式、扇形面积公式列式求解即得.【详解】设扇环形所在圆的半径为，依题意，扇环形所在扇形的圆心角为，于是，解得，所以每个扇环形的面积为（）.故答案为：14.定义：对于非常数函数，若，，，则称是“米函数”．已知函数是“米函数”，则ω的最小值为______．【答案】【解析】【分析】由函数新定义可得，即（令），结合三角函数的性质分类讨论、、、不符合题意，故或.再结合三角函数的性质分类讨论、的情况，求出对应的即可.【详解】由题意知，，使得，又，所以，令，则.若，取，则，所以，与矛盾；若，取，则，所以，与矛盾；若，取，则，所以，与矛盾；若，取，则，所以，与矛盾；综上，或.当时，，即，得，解得，又，所以；当时，，即，得，解得，又，所以；综上，的最小值为.故答案为：【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是三角函数的性质.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）；（3）以这100个家庭的旅游支出数据各组的频率代替各组的概率，在全国范围内随机抽取2个春节期间出游的家庭，每个家庭的旅游支出情况互相不受影响，求恰有1个家庭的旅游支出在内的概率．【答案】（1）8.3千元；（2）9.7；（3）0.18.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图估计平均数.（2）利用频率分布直方图求出第70百分位数.（3）利用频率估计概率，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解即得.【小问1详解】估计这100个家庭的旅游支出的平均值为：（千元）.【小问2详解】由频率分布直方图知，旅游支出在的频率为，在的频率为，则这100个家庭的旅游支出的第70百分位数，则，解得，所以估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数为9.7.【小问3详解】以频率估计概率，得每个家庭的旅游支出在内的概率为，所以抽取2个家庭，恰有1个家庭的旅游支出在内的概率为.16.已知函数的图象关于点对称．（1）求φ的值；（2）求的单调递增区间；（3）将图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据给定的对称点，结合正弦函数图象性质求解即得.（2）由（1）求出的解析式，再利用正弦函数的性质求出单调增区间.（3）由（2）求出的解析式，再利用正弦函数的性质求出值域.【小问1详解】依题意，，则，解得，而，则，所以.【小问2详解】由（1）得，令，解得，所以的单调递增区间为.【小问3详解】由（2）得.由，得，根据正弦函数图象性质可得，当时，取得最小值，当时，取得最大值.故在上的值域为.17.已知函数，其中，．（1）若函数的值域为R，求t的取值范围；（2）若不等式在上恒成立，求t的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数的值域与定义域的对应关系，结合指数函数值域求解.（2）利用对数函数的单调性变形不等式，分离参数，借助二次函数求出最小值即得.【小问1详解】依题意，，设函数的值域为，由的值域为，得，而，则，因此，解得，所以的取值范围为.【小问2详解】依题意，在上恒成立，由，得函数在定义域内单调递减，则，于是对恒成立，而，则当，即时，，因此，此时满足，所以的取值范围为.18.已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为4．（1）求的定义域；（2）若是定义在上的函数，求关于x的不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】1）由题意，结合图形，根据割补法可知阴影部分的面积等价于矩形的面积，进而求出，结合正切函数的概念即可求解；（2）由（1）知，由，作出函数的图象，结合图形即可求解.【小问1详解】如图，阴影部分的面积等价于矩形的面积，对于函数，定义域为，所以过点C垂直于x轴的直线为，又，则，解得，所以，由，得，即函数的定义域为；【小问2详解】由（1）知，所以，，则，设，，在同一个平面直角坐标系中作出函数的图象，如图，当时，，所以当时，，即不等式的解集为.19.已知函数，函数为偶函数．（1）证明：为定值．（2）若函数在内存在零点，且零点为，记，请写出X的所有可能取值．【答案】（1）证明见解析；（2）的所有可能取值为.【解析】【分析】（1）根据给定条件，借助正弦型函数是偶函数的特性求出，求出解析式即可计算得证.（2）由（1）求出，换元并构造函数，探讨函数单调性，结合图象求出的所有可能取值.【小问1详解】依题意，，由为偶函数，得，解得，而，则，又，所以，为定值.【小问2详解】由（