2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列专题2.3 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】（举一反三）（苏科版）含解析

2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题2.3线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】 1【题型2线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 2【题型3线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 3【题型4线段垂直平分线的性质的综合运用】 5【题型5线段垂直平分线的判定】 6【题型6线段垂直平分线的作法】 7【题型7线段垂直平分线的判定与性质的综合】 8【知识点1线段垂直平分线的性质】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【题型1线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】【例1】（2022秋•南召县期末）已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝8，AC＝4，则AE＝．【变式1-1】（2022秋•潮安区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．（2）求证：BF＝AC．（3）试说明CE=12【变式1-2】（2022秋•庐阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．【变式1-3】（2022秋•海珠区校级期中）△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB＝60°．（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC＝DB；（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【题型2线段垂直平分线的性质在求角中的应用】【例2】（2022秋•周村区校级期中）如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（）A．168° B．158° C．128° D．118°【变式2-1】（2022秋•龙马潭区校级月考）如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线交于点O，∠A＝α（0°＜α＜90°），（1）求∠BOC；（2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．【变式2-2】（2022秋•西湖区期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（）A．50° B．80° C．90° D．100°【变式2-3】（2022春•金牛区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝．【题型3线段垂直平分线的性质在实际中的应用】【例3】（2022秋•甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（）A．A处 B．B处 C．C处 D．D处【变式3-1】（2022春•浑南区期末）有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（）A．△ABC的三条中线的交点处 B．△ABC三边的垂直平分线的交点处 C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三条高所在直线的交点处【变式3-2】（2022春•武功县期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点【变式3-3】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应该修建在（）A．∠1的平分线和线段AB的交点处 B．∠1的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处 C．∠2的平分线和线段AB的交点处 D．∠2的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处【题型4线段垂直平分线的性质的综合运用】【例4】（2022秋•广陵区校级月考）在△ABC中，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，（1）如图（1），连接AM、AN，求∠MAN的度数；（2）如图（2），如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC．【变式4-1】（2022秋•鄂托克旗期中）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．（1）若∠ABC＝∠C，∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长．【变式4-2】（2022春•市中区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．【变式4-3】（2022秋•红花岗区校级月考）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．（1）若∠A＝60°，∠ABD＝24°，求∠ACF的度数；（2）若EF＝4，BF：FD＝5：3，S△BCF＝10，求点D到AB的距离．【知识点2线段垂直平分线的判定】到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）【题型5线段垂直平分线的判定】【例5】（2022秋•伊川县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【变式5-1】（2022秋•奈曼旗期中）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．【变式5-2】（2022春•市北区期末）如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．求证：（1）OC＝OD，（2）OE是线段CD的垂直平分线．【变式5-3】（2022秋•平邑县期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．【题型6线段垂直平分线的作法】【例6】（2022秋•武城县期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E．（1）作出边AC的垂直平分线DE；（2）当AE＝BC时，求∠A的度数．【变式6-1】（2022秋•祁阳县期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝8，则△ABCA．8 B．10 C．18 D．20【变式6-2】（2022•榆林模拟）如图，在△ABC中，DE⊥BC于点D，交AB于点E．请用尺规作图法，在线段DC上求作一点P，使AP∥ED．（保留作图痕迹，不写作法）【变式6-3】（2022•长安区一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且CD＝2BD，请用尺规作图法，在边AC上找一点P，使得△PAD的面积等于△BAD的面积（保留作图痕迹，不写作法）．【题型7线段垂直平分线的判定与性质的综合】【例7】（2022秋•伊通县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：（1）求BC的长；（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．【变式7-1】（2022•阜宁县校级月考）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周长；（2）设直线DM、EN交于点O．①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数．【变式7-2】（2022•宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于直线BC对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．（1）求证：AB＝CD；（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．【变式7-3】（2022秋•信都区期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，且AD＝CD＝BC．（1）求∠A的大小；（2）如图2，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF交CD于点H．①求证：CD垂直平分EF；②直接写出三条线段AE，DB，BF之间的数量关系．专题2.3线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】 1【题型2线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 6【题型3线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 10【题型4线段垂直平分线的性质的综合运用】 13【题型5线段垂直平分线的判定】 17【题型6线段垂直平分线的作法】 20【题型7线段垂直平分线的判定与性质的综合】 23【知识点1线段垂直平分线的性质】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【题型1线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】【例1】（2022秋•南召县期末）已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝8，AC＝4，则AE＝6．【分析】首先连接PB，PC，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，易得PE＝PF，PB＝PC，继而证得△PBE≌△PCF，AE＝AF，又由AB＝8，AC＝4，即可求得答案．【解答】解：连接PB，PC，∵点P在BC的垂直平分线上，∴PB＝PC，∵AC平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF，∠PEB＝∠PFC＝90°，∴∠APE＝∠APF，∴AE＝AF，在Rt△PBE和Rt△PCF中，PB=PCPE=PF∴Rt△PBE≌Rt△PCF（HL），∴BE＝CF，∵AB＝AE+BE，AF＝AC+CF，∴AB＝AC+CF+BE，∵AB＝8，AC＝4，∴BE＝CF＝2，∴AE＝AC+CF＝6．故答案为：6．【变式1-1】（2022秋•潮安区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．（2）求证：BF＝AC．（3）试说明CE=12【分析】（1）根据已知条件得到∠BCD＝45°，求得BD＝CD，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质和判定即可得到结论；（3）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）△DBC是等腰直角三角形，理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD，∴△DBC是等腰直角三角形；（2）∵BE⊥AC，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵∠BFD＝∠CFE，∴∠DBF＝∠ACD，在△BDF与△CDA中，∠BDC=∠ADC=90°∠DBF=∠DCA∴△BDF≌△CDA，∴BF＝AC；（3）∵BE是AC的垂直平分线，∴CE=12∴CE=12【变式1-2】（2022秋•庐阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．【分析】连接BD，延长BF交DE于点G，根据线段的垂直平分线的性质得到AD＝BD，求出∠CBD＝45°，证明△ECD≌△FCB，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G．∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，∴∠ABC＝67.5°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BC＝DC．在△ECD和△FCB中，CE=CF∠DCE=∠BCF∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．∵∠CFB+∠CBF＝90°，∴∠CED+∠CBF＝90°，∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．【变式1-3】（2022秋•海珠区校级期中）△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB＝60°．（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC＝DB；（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）由D点在AC的垂直平分线上，可得AD＝CD，又由∠ADB＝60°，△ABC是等边三角形，可得△ABD是含30°角的直角三角形，继而证得结论；（2）首先在DB上截取DE＝AD，可证得△ADE是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，易证得△BAE≌△CAD（SAS），继而证得结论．【解答】证明：（1）∵D点在AC的垂直平分线上，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠DAC＝30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BAD＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝30°，∴BD＝2AD＝AD+CD；（2）成立．理由：在DB上截取DE＝AD，∵∠ADB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝AD，∠EAD＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△CAD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∴BD＝DE+BE＝AD+CD．【题型2线段垂直平分线的性质在求角中的应用】【例2】（2022秋•周村区校级期中）如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（）A．168° B．158° C．128° D．118°【分析】连接CE，依据线段AB，DE的垂直平分线交于点C，可得CA＝CB，CE＝CD，判定△ACE≌△BCD，可得∠AEC＝∠BDC，设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，即可得到△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°．【解答】解：如图，连接CE，∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，∴CA＝CB，CE＝CD，∵∠ABC＝∠EDC＝72°＝∠DEC，∴∠ACB＝∠ECD＝36°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，CA=CB∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠AEC＝∠BDC，设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，∴∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，∴△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°，故选：C．【变式2-1】（2022秋•龙马潭区校级月考）如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线交于点O，∠A＝α（0°＜α＜90°），（1）求∠BOC；（2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AO＝BO＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，根据周角定义即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠OBC＝∠OCB，于是得到∠OBC＝90°﹣α，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：（1）连接AO，AB、AC边的中垂线交于点O，∴AO＝BO＝CO，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，∴∠AOB+∠AOC＝（180°﹣∠OAB﹣∠OBA）+（180°﹣∠OAC﹣∠OCA），∴∠AOB+∠AOC＝（180°﹣2∠OAB）+（180°﹣2∠OAC）＝360°﹣2（∠OAB+∠OAC）＝360°﹣2∠A＝360°﹣2α，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝2α；（2）∠ABO+∠ACB为定值，∵BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，∴∠OBC=12（180°﹣2∠BAC）＝90°﹣∵∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠BAC＝180°，∴∠ABO+∠ACB＝180°﹣α﹣（90°﹣α）＝90°．【变式2-2】（2022秋•西湖区期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（）A．50° B．80° C．90° D．100°【分析】连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．【解答】解：连接BO，并延长BO到P，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝40°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×40°＝80°；故选：B．【变式2-3】（2022春•金牛区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝4∠BPC﹣360°．【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BAC＝2∠BPC﹣180°；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝2∠BAC，进而得出∠BOC和∠BPC的数量关系．【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12＝180°-12（∠ABC+∠＝180°-12（180°﹣∠＝90°+12∠即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；如图，连接AO．∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°，故答案为：4∠BPC﹣360°．【题型3线段垂直平分线的性质在实际中的应用】【例3】（2022秋•甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（）A．A处 B．B处 C．C处 D．D处【分析】根据线段垂直平分线的性质得出即可．【解答】解：根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，所以EF上的点到M、N的距离相等，即发射塔应该建在C处，故选：C．【变式3-1】（2022春•浑南区期末）有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（）A．△ABC的三条中线的交点处 B．△ABC三边的垂直平分线的交点处 C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三条高所在直线的交点处【分析】根据线段垂直平分线的性质可得到正确选项．【解答】解：∵线段垂直平分线的点到线段两段点的距离相等，∴△ABC三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等．故选：B．【变式3-2】（2022春•武功县期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点【分析】用线段垂直平分线性质判断即可．【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边垂直平分线的交点．故选：C．【变式3-3】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应该修建在（）A．∠1的平分线和线段AB的交点处 B．∠1的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处 C．∠2的平分线和线段AB的交点处 D．∠2的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处【分析】由线段垂直平分线的性质可知：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，再根据角平分线的性质可知要到两条高速公路m和n的距离相等需要建在∠1的平分线上，即可知发射塔要在两线的交点位置．【解答】解：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，要到两条高速公路m和n的距离相等需要建在∠1的平分线上，∴发射塔应该修建在∠1的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处．故选：B．【题型4线段垂直平分线的性质的综合运用】【例4】（2022秋•广陵区校级月考）在△ABC中，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，（1）如图（1），连接AM、AN，求∠MAN的度数；（2）如图（2），如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC．【分析】（1）由在△ABC中，∠BAC＝130°，可求得∠C+∠B的度数，然后由AB、AC的垂直平分线分别交BC于点M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得BM＝AM，CN＝AN，即可得∠CAN＝∠C，∠BAM＝∠B，继而求得∠CAN+∠BAM的度数，则可求得答案；（2）先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．【解答】（1）解：∵∠BAC＝120°，∴∠B+∠C＝60°，由（1）证得BM＝AM，CN＝AN，∴∠C＝∠CAN，∠B＝∠BAM，∴∠CAN+∠BAM＝∠C+∠B＝60°，∴∠MAN＝120°﹣60°＝60°；（2）证明：∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM＝AM，CN＝AN，∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAM+∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝NC．【变式4-1】（2022秋•鄂托克旗期中）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．（1）若∠ABC＝∠C，∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长．【分析】（1）首先计算出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，进而可得∠ABD＝∠A＝40°，然后可得答案；（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，AE＝BE，然后再计算出AC+BC的长，再利用△ABC的周长为30cm可得AB长，进而可得答案．【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠C，∠A＝40°，∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．∵DE是边AB的垂直平分线，∴AD＝DB，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．（2）∵DE是边AB的垂直平分线，∴AD＝DB，AE＝BE，∵△BCD的周长为18cm，∴AC+BC＝AD+DC+BC＝DB+DC+BC＝18cm．∵△ABC的周长为30cm，∴AB＝30﹣（AC+BC）＝30﹣18＝12cm，∴BE＝12÷2＝6cm．【变式4-2】（2022春•市中区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝CM，BN＝CN，然后求出△CMN的周长＝AB；（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB＝15cm；（2）∵∠MFN＝70°，∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．【变式4-3】（2022秋•红花岗区校级月考）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．（1）若∠A＝60°，∠ABD＝24°，求∠ACF的度数；（2）若EF＝4，BF：FD＝5：3，S△BCF＝10，求点D到AB的距离．【分析】（1）根据角平分线定义求出∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠DBC＝∠ABD＝24°，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线性质求出FC＝FB，求出∠FCB，即可求出答案；（2）过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DG＝DH，利用面积法求出BC，DH即可．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABD＝24°，∴∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠DBC＝∠ABD＝24°，∵∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣48°＝72°，∵FE是BC的中垂线，∴FB＝FC，∴∠FCB＝∠DBC＝24°，∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝72°﹣24°＝48°；（2）过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，∵BD平分∠ABC，∴DG＝DH，∵EF⊥BC，EF＝4，∴S△BCF=12•BC•∴BC＝5，∵BF：DF＝5：3，∴S△BDC=85S△∴12×5×∴DH=32∴DG＝DH=32∴点D到AB的距离=32【知识点2线段垂直平分线的判定】到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）【题型5线段垂直平分线的判定】【例5】（2022秋•伊川县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【分析】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解决问题；（2）只要证明AE＝AC，利用等腰三角形的性质即可证明；【解答】（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=12∠∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．（2）证明：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，AD平分线段EC，即直线AD是线段CE的垂直平分线．【变式5-1】（2022秋•奈曼旗期中）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．【分析】求出DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，根据HL证Rt△AED≌Rt△AFD，推出AE＝AF，根据等腰三角形性质推出即可．【解答】证：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中AD=ADDE=DF∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∵AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分EF．【变式5-2】（2022春•市北区期末）如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．求证：（1）OC＝OD，（2）OE是线段CD的垂直平分线．【分析】（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OC＝OD即可；（2）由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线．【解答】证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴DE＝CE，OE＝OE，在Rt△ODE与Rt△OCE中，OE=OEDE=CE∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），∴OC＝OD；（2）∵△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线．【变式5-3】（2022秋•平邑县期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．【分析】（1）由于D是BC的中点，那么BD＝CD，而BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE＝DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵D是BC的中点∴BD＝CD，又∵BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD平分∠BAC；（2）∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵BE＝CF，∴AB﹣BE＝AC﹣CF，∴AE＝AF，∵DE＝DF，∴AD垂直平分EF．【题型6线段垂直平分线的作法】【例6】（2022秋•武城县期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E．（1）作出边AC的垂直平分线DE；（2）当AE＝BC时，求∠A的度数．【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于12AC长度为半径画弧，两弧在AC两边相交于，然后过这两点作直线DE（2）连接CE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝CE，设∠A＝x，然后根据等边对等角的性质以及等腰三角形两底角相等表示出∠ACB，然后列出方程求解即可．【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求作的边AC的垂直平分线；（2）如图，连接CE，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠A＝∠ACE，∵AE＝BC，∴CE＝BC，∴∠B＝∠CEB，设∠A＝x，则∠CEB＝∠A+∠ACE＝x+x＝2x，在△BCE中，∠BCE＝180°﹣2×2x＝180°﹣4x，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝x+180°﹣4x＝120°，解得x＝20°，即∠A＝20°．【变式6-1】（2022秋•祁阳县期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝8，则△ABCA．8 B．10 C．18 D．20【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，再根据△ADC的周长为10可得AC+BC＝10，又由条件AB＝8可得△ABC的周长．【解答】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD∴MN是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵△ADC的周长为10，∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝10，∵AB＝8，∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝10+8＝18．故选：C．【变式6-2】（2022•榆林模拟）如图，在△ABC中，DE⊥BC于点D，交AB于点E．请用尺规作图法，在线段DC上求作一点P，使AP∥ED．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】过点A作AP⊥BC于点P，即可解决问题．【解答】解：如图，点P即为所求．【变式6-3】（2022•长安区一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且CD＝2BD，请用尺规作图法，在边AC上找一点P，使得△PAD的面积等于△BAD的面积（保留作图痕迹，不写作法）．【分析】作CD的垂直平分线交CD于E，交AC于P，连接DP、AE，由于CD＝2BD，则DE＝BD，所以△ADE的面积等于△ABD的面积，再利用PE∥AD得到△ADP的面积等于△ADE的面积，从而得到△PAD的面积等于△BAD的面积．【解答】解：如图，点P为所作．【题型7线段垂直平分线的判定与性质的综合】【例7】（2022秋•伊通县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：（1）求BC的长；（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DA，同理EA＝EC，于是得到结论；（2）连接AO，BO，CO，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵l1垂直平分AB，∴DB＝DA，同理EA＝EC，∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝10；（2）点O在边BC的垂直平分线上，理由：连接AO，BO，CO，∵l1与l2是AB，AC的垂直平分线，∴AO＝BO，CO＝AO，∴OB＝OC，∴点O在边BC的垂直平分线上．【变式7-1】（2022•阜宁县校级月考）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周长；（2）设直线DM、EN交于点O．①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数．【分析】（1）根据垂直平分线性质得AD＝BD，AE＝EC．所以△ADE周长＝BC；（2）①如图，连接AO，BO，CO，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；②根据四边形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD＝BD，AE＝CE，C△ADE＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10；（2）①如图，点O在BC的垂直平分线上，理由：连接AO，BO，CO，∵DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线，∴AO＝BO，OA＝OC，∴OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上；②∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴∠AMO＝∠ANO＝90°，∵∠BAC＝100°，∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，∴∠BOC＝2∠MON＝160°．【变式7-2】（2022•宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于直线BC对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．（1）求证：AB＝CD；（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由点D与点A关于点E对称易证AC＝CD，再根据角平分线，及垂直得到AC＝AB，可得答案AB＝CD；（2）易证∠CAD＝∠CDA＝∠MPC，∠CMA＝∠BMA＝PMF，可得到∠MCD＝∠F．【解答】（1）证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAB=12∠∵D与A关于E对称，∴E为AD中点，∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC＝CD．在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也可得到AC＝CD）∠CAD+∠ACE＝∠DAB+∠ABE＝90°，∠CAD＝∠DAB，∴∠ACE＝∠ABE，∴AC＝AB（注：证全等也可得到AC＝AB），∴AB＝CD．（2）解：∠F＝∠MCD，理由如下：∵∠BAC＝2∠MPC，又∵∠BAC＝2∠CAD，∴∠MPC＝∠CAD，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∴∠MPC＝∠CDA，∴∠MPF＝∠CDM，∵AC＝AB，AE⊥BC，∴CE＝BE（注：证全等也可得到CE＝BE），∴AM为BC的中垂线，∴CM＝BM．（注：证全等也可得到CM＝BM）∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB（等腰三角形三线合一）．∴∠CME＝∠BME（注：证全等也可得到∠CME＝∠BME．），∵∠BME＝∠PMF，∴∠PMF＝∠CME，∴∠MCD＝∠F．【变式7-3】（2022秋•信都区期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，且AD＝CD＝BC．（1）求∠A的大小；（2）如图2，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF交CD于点H．①求证：CD垂直平分EF；②直接写出三条线段AE，DB，BF之间的数量关系．【分析】（1）设∠A＝x，由等腰三角形的性质得∠ACD＝∠A＝x，∠CBD＝∠CDB＝∠ACD+∠A＝2x，∠ACB＝∠CBD＝2x，再由三角形内角和定理求出x＝36°即可；（2）①证△DEC≌△DFC（AAS），得DE＝DF，∠EDH＝∠FDH，再证△DEH≌△DFH（SAS），得EH＝FH，∠DHE＝∠DHF＝90°，即可得出结论；②在CA上截取CG＝CB，连接DG，由全等三角形的性质得DE＝DF，CE＝CF，再证△DEG≌△DFB（SAS），得DG＝DB，∠DGE＝∠B，然后证AG＝DG，即可得出结论．【解答】（1）解：设∠A＝x，∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝x，∵CD＝BC，∴∠CBD＝∠CDB＝∠ACD+∠A＝2x；∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠CBD＝2x，∴∠DCB＝x，∵x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°；（2）①证明：由（1）得：∠ACD＝∠A＝x，∠DCB＝x，∴∠ACD＝∠DCB，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∵CD＝CD，∴△DEC≌△DFC（AAS），∴DE＝DF，∠EDH＝∠FDH，∵DH＝DH，∴△DEH≌△DFH（SAS），∴EH＝FH，∠DHE＝∠DHF＝90°，∴CD垂直平分EF；②解：三条线段AE，DB，BF之间的数量关系为：AE＝DB+BF，理由如下：在CA上截取CG＝CB，连接DG，如图2所示：由①得：△DEH≌△DFH，∴DE＝DF，CE＝CF，∵CG＝CB，∴CG﹣CE＝CB﹣CF，即GE＝BF，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEG＝∠DFB＝90°，∴△DEG≌△DFB（SAS），∴DG＝DB，∠DGE＝∠B，由（1）得：∠B＝2x，∠A＝x，∴∠DGE＝2∠A，∵∠DGE＝∠A+∠GDA，∴∠A＝∠GDA，∴AG＝DG，∴AE＝AG+GE＝DG+BF＝DB+BF．专题2.4角的平分线的性质【七大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1作已知角的角平分线】 1【题型2角平分线的性质的应用】 3【题型3角平分线的性质与等积法】 4【题型4角平分线的性质与全等】 6【题型5角平分线的判定】 10【题型6角平分线的性质与判定综合】 11【题型7角平分线的实际应用】 13【知识点1角平分线的作法】①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

③画射线OC.即射线OC即为所求.【题型1作已知角的角平分线】【例1】（2022秋•上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P．使点P落在∠AOB的平分线上．（本题有三个结果，三个点分别用字母C、D、E表示）【变式1-1】（2022秋•瑶海区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．无法确定【变式1-2】（2022•辽宁）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPBA．35° B．45° C．55° D．65°【变式1-3】（2022春•西乡县期末）如图，三角形ABC中，点D在AC上．（1）请你过点D作DE平行BC，交AB于E．（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法）（2）如果点E在∠C的平分线上，∠C＝44°，那么∠DEC＝．【知识点2角平分线的性质】角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.【题型2角平分线的性质的应用】【例2】（2022春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54° B．50° C．48° D．46°【变式2-1】（2022秋•蓬江区校级期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为．【变式2-2】（2022秋•武昌区期中）在△ABC中，∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°．（1）求证：点E到AC和BD的距离相等；（2）连接ED，求∠CED的度数．【变式2-3】（2022春•金堂县期末）在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC＝°．【题型3角平分线的性质与等积法】【例3】（2022•增城区期末）△ABC中，AB＝BC＝CA，三内角平分线交于O，OP⊥AB于P，OM⊥BC于M，ON⊥CA于N，AH⊥BC于H．求证OP+OM+ON＝AH．【变式3-1】（2022春•泰和县期末）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．【变式3-2】（2022春•香坊区期末）已知：点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，且PM＝PN．（1）当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时（如图1），求证：BM＝CN；（2）在（1）的条件下，AM+AN＝AC；（3）当点M在线段AB的延长线上时（如图2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四边形ANPM的面积．【变式3-3】（2022秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．【题型4角平分线的性质与全等】【例4】（2022春•通道县期末）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．【变式4-1】（2022秋•金平区校级月考）已知：如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．（1）求证：BC＝CD．（2）若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，如图2，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论．【变式4-2】（2022秋•文昌校级期中）在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B＝60°，∠ACB＝90°，则∠AFC＝120°；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B＝60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．【变式4-3】（2022秋•东区校级月考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）（2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【知识点3角平分线的判定】角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

【题型5角平分线的判定】【例5】（2022秋•滨湖区校级期中）已知：如图，在△ABC中，O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？为什么？【变式5-1】（2022秋•浦北县校级月考）如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．【变式5-2】（2022春•澧县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，其中正确的是．（填序号）【变式5-3】（2022秋•北关区校级月考）如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．【题型6角平分线的性质与判定综合】【例6】（2022秋•费县期末）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．【变式6-1】．（2022秋•台安县期中）如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．【变式6-2】（2022秋•洛龙区校级月考）如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，它们相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上．【变式6-3】（2022秋•铁东区校级期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．【题型7角平分线的实际应用】【例7】某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一亭子供人们休息，而且要使亭子中心到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有处．【变式7-1】（2022春•西乡县期末）已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹）【变式7-2】（2022春•东山县校级期末）如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（2）求出仓库G到铁路的实际距离（比例尺为1：10000，用尺规作图）．【变式7-3】（2022秋•柘城县校级月考）如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．专题2.4角的平分线的性质【七大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1作已知角的角平分线】 1【题型2角平分线的性质的应用】 5【题型3角平分线的性质与等积法】 9【题型4角平分线的性质与全等】 12【题型5角平分线的判定】 18【题型6角平分线的性质与判定综合】 21【题型7角平分线的实际应用】 24【知识点1角平分线的作法】①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

③画射线OC.即射线OC即为所求.【题型1作已知角的角平分线】【例1】（2022秋•上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P．使点P落在∠AOB的平分线上．（本题有三个结果，答对一个得1分；若其中一个标错，本题得0分，三个点分别用字母C、D、E表示）【分析】作出∠AOB的平分线，找出角平分线与正方形的顶点的三个交点即可．【解答】解：如图所示，①以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OB、OA于点D、E；②分别以D、E为圆心，以大于12DE为半径画圆，两圆相交于点F③连接OF，交各小正方形的顶点分别为P1、P2、P3，则此三点即为所求．本题答案不唯一．有三种结果如图中的P1，P2，P3所示．【变式1-1】（2022秋•瑶海区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．无法确定【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD解决问题；【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值为2，故选：A．【变式1-2】（2022•辽宁）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPBA．35° B．45° C．55° D．65°【分析】利用基本作图得到BP平分∠ABN，则可计算出∠PBN＝70°，再利用OG平分∠MON得到∠BOP＝25°，然后根据三角形外角性质计算∠OPB的度数．【解答】解：由作法得BP平分∠ABN，∴∠PBN=12∠ABN∵OG平分∠MON，∴∠BOP=12∠MON∵∠PBN＝∠POB+∠OPB，∴∠OPB＝70°﹣25°＝45°．故选：B．【变式1-3】（2022春•西乡县期末）如图，三角形ABC中，点D在AC上．（1）请你过点D作DE平行BC，交AB于E．（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法）（2）如果点E在∠C的平分线上，∠C＝44°，那么∠DEC＝22°．【分析】（1）作∠ADE＝∠C即可；（2）由平行线的性质和角平分线定义证出∠DEC＝∠DCE，得出DC＝DE，由等腰三角形的性质即可得出答案．【解答】解：（1）如图1所示：作∠ADE＝∠C交AB于E，DE即为所求；（2）如图2所示：∵DE∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵EC平分∠ACB，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠DEC＝∠DCE，∴DC＝DE，∴△DEC是等腰三角形，∴∠DEC＝∠C＝22°；故答案为：22°．【知识点2角平分线的性质】角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.【题型2角平分线的性质的应用】【例2】（2022春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54° B．50° C．48° D．46°【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE＝DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=1【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF＝DE，又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，∴CD平分∠BCF，又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∴DF＝DG，∴DE＝DG，∴BD平分∠CBE，∴∠DBE=12∠∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12故选：D．【变式2-1】（2022秋•蓬江区校级期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为9．【分析】先确定出CD＝9，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．【解答】解：如图，∵CD：BD＝3：4．设CD＝3x，则BD＝4x，∴BC＝CD+BD＝7x，∵BC＝21，∴7x＝21，∴x＝3，∴CD＝9，过点D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝9，∴点D到AB边的距离是9，故答案为：9．【变式2-2】（2022秋•武昌区期中）在△ABC中，∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°．（1）求证：点E到AC和BD的距离相等；（2）连接ED，求∠CED的度数．【分析】（1）延长CB至点M，根据角平分线的性质即可得到结论；（2）根据角平分线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）延长CB至点M．∵∠ABM＝180°﹣110°＝70°，∠ABM＝∠ABD，∴点E到CM和BD得距离相等，又∵CE平分平分∠ACB，∴E点到AC和BC的距离相等，∴点E到AC和BD的距离相等；（2）连接ED．∵点E到AC和BD的距离相等，∴∠EDB＝∠EDA设∠EDB＝∠EDA＝α，∠ACE＝∠BCE＝β，又∵在△BDC中，2α＝2β+40°，∴α﹣β＝20°，在△EDC中，α＝β+∠DEC则∠CED＝α﹣β＝20°．【变式2-3】（2022春•金堂县期末）在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC＝30°．【分析】过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，根据角平分线的性质得到DF＝DM，根据邻补角的定义得到∠DAM＝60°，根据角平分线的定义得到∠BAE＝60°，推出DE平分∠AEB，根据等腰三角形的性质得到∠AEB＝90°，得到∠DEF＝45°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，∵CD平分∠ACB，∴DF＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠DAM＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝60°，∴∠DAM＝∠BAE，∴DM＝DN，∵DF⊥BC，∴DE平分∠AEB，∵AB＝AC，AE平分∠BAC交BC于E，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠B＝∠ACB＝30°，∴∠DCF＝15°，∴∠EDC＝30°，故答案为：30．【题型3角平分线的性质与等积法】【例3】（2022•增城区期末）△ABC中，AB＝BC＝CA，三内角平分线交于O，OP⊥AB于P，OM⊥BC于M，ON⊥CA于N，AH⊥BC于H．求证OP+OM+ON＝AH．【分析】由已知可得S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBC．根据三角形的面积公式和三边相等求证即可．【解答】解：∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBC，∴12AH•BC=12OP•AB+12BC•OM又∵AB＝BC＝CA，∴OP+OM+ON＝AH．【变式3-1】（2022春•泰和县期末）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．【分析】根据角平分线性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵S△ABC＝28，AB＝BC＝8，∴12×8×DE+1∴8DE＝28．∴DE＝3.5．【变式3-2】（2022春•香坊区期末）已知：点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，且PM＝PN．（1）当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时（如图1），求证：BM＝CN；（2）在（1）的条件下，AM+AN＝2AC；（3）当点M在线段AB的延长线上时（如图2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四边形ANPM的面积．【分析】（1）由点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，根据角平分线的性质，可得PB＝PC，又由PM＝PN，利用HL，即可判定Rt△PBM≌Rt△PCN，则可证得结论；（2）由角平分线的性质易证得AB＝AC，又由AM+AN＝AM+CN+AC＝AM+BM+AC＝AB+AC，即可证得结论；（3）由AC：PC＝2：1，PC＝4，即可求得AC的长，又由S四边形ANPM＝S△APN+S△APB+S△PBM＝S△APN+S△APB+S△PCN＝S△APC+S△APB，即可求得四边形ANPM的面积．【解答】解：（1）∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，∴PB＝PC，∠PBM＝∠PCN＝90°，在Rt△PBM和Rt△PCN中，PM=PNPB=PC∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴BM＝CN；（2）∵∠APB＝90°﹣∠PAB，∠APC＝90°﹣∠PAC，∴∠APC＝∠APB，∵PB⊥AE，PC⊥AF，∴PB＝PC，∴AM+AN＝AM+CN+AC＝AM+BM+AC＝AB+AC＝2AC；故答案为：2；（3）∵AC：PC＝2：1，PC＝4，∴AC＝8，∴AB＝AC＝8，PB＝PC＝4，∴S四边形ANPM＝S△APN+S△APB+S△PBM＝S△APN+S△APB+S△PCN＝S△APC+S△APB=12AC•PC+12AB•PB【变式3-3】（2022秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝1：1；（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝9．【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可；（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，∵点D是BC边上的中点，∴BD＝DC，∴SABD：S△ACD＝（12×BD×AE）：（12×故答案为：1：1；（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的角平分线，∴DE＝DF，∵AB＝m，AC＝n，∴SABD：S△ACD＝（12×AB×DE）：（12×AC×DF）＝（3）∵AD＝DE，∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，∵S△BDE＝6，∴S△ABD＝6，∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，∴S△ACD＝3，∴S△ABC＝3+6＝9，故答案为：9．【题型4角平分线的性质与全等】【例4】（2022春•通道县期末）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．【分析】连接BD，CD，由角平分线的性质可得DM＝DN，线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，所以Rt△BMD≌Rt△CND（HL），则BM＝CN．【解答】解：BM＝CN．理由：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BMD与Rt△CND中∵BD=CD∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴BM＝CN．【变式4-1】（2022秋•金平区校级月考）已知：如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．（1）求证：BC＝CD．（2）若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，如图2，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论．【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC＝CD；（2）过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F，根据等角的补角相等求出∠D＝∠CBF，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD＝CF，然后利用“角角边”证明△BCF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】（1）证明：∵∠D＝∠B＝90°，∴CD⊥AD，CB⊥AB，∵AC平分∠BAD，∴BC＝CD；（2）解：一定相等．证明：如图，过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F，∴∠CBF与∠ABC互补．∵∠B和∠D都是直角，互为补角，∴∠D＝∠CBF，又∵AC是∠BAD的平分线，∴CE＝CF，在Rt△BCF与Rt△DCE中，∠D=∠CBF∠DEC=∠CFB∴Rt△BCF≌Rt△DCE（AAS），∴BC＝CD．【变式4-2】（2022秋•文昌校级期中）在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B＝60°，∠ACB＝90°，则∠AFC＝120°；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B＝60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．【分析】（1）①根据角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；②根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再利用三角形内角和定理列式计算即可得解；（2）过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得FG＝FH＝FM，再求出∠EFH＝∠DFG，然后利用“角边角”证明△EFH和△DFG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】解：（1）①∵∠B＝60°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC=12∠BAC=12×30°＝15°，∠FCA∴∠AFC＝180°﹣15°﹣45°＝120°；故答案为：120°．②∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC+∠FCA=12（∠BAC+∠ACB）=1∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°-12（180°﹣∠B）＝90°+1∵∠B＝60°，∴∠AFC＝90°+1（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG＝FH＝FM，∵∠EFH+∠DFH＝120°，∠DFG+∠DFH＝360°﹣90°×2﹣60°＝120°，∴∠EFH＝∠DFG，在△EFH和△DFG中，∠EHF=∠DGF=90°∠EFH=∠DFG∴△EFH≌△DFG