2023-2024学年七年级数学上册举一反三系列专题4.2 几何体的展开图【九大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题4.2几何体的展开图【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断正方体展开图的相对面或相邻面】 1【题型2展开图折叠成正方体】 2【题型3正方体的平面展开图】 4【题型4视图与小正方体的个数问题】 5【题型5根据视图确定组成几何体的正方体的个数】 6【题型6根据视图确定正方体最多或最少的个数】 7【题型7棱柱的展开与折叠】 8【题型8圆柱的展开与折叠】 9【题型9圆锥、棱锥的展开与折叠】 10【题型1判断正方体展开图的相对面或相邻面】【例1】（2022•盐城）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（）A．强 B．富 C．美 D．高【变式1-1】（2022•佛山校级三模）如图为正方体的展开图，将标在①②③④的任意一面上，使得还原后的正方体中与是相邻面，则不能标在（）A．① B．② C．③ D．④【变式1-2】（2022•南京期末）如图，在一个正方形盒子的六面上写有“祝、母、校、更、美、丽”六个汉字，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上，则这个盒子的展开图（不考虑文字方向）不可能的是（）A． B． C． D．【变式1-3】（2022•揭阳月考）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．（1）共有种弥补方法；（2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；（3）在你帮忙设计成功的图中，要把﹣6，8，10，﹣10，﹣8，6这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上）【题型2展开图折叠成正方体】【例2】（2022•简阳市期末）正方体是由六个平面图形围成的立体图形，设想沿着正方体的一些棱将它剪开，就可以把正方体剪成一个平面图形，但同一个正方体，按不同的方式展开所得的平面展开图是不一样的，下面的图形是由6个大小一样的正方形，拼接而成的，请问这些图形中哪些可以折成正方体？试试看．【变式2-1】（2022•秦都区期中）如图所示，用标有数字1、2、3、4的四块正方形，以及标有字母A、B、C、D、E、F、H的七块正方形中任意一块，用这5块连在一起的正方形折叠成一个无盖的正方体盒子，一共有几种不同的方法？写出这些方法所用到正方形所标有的数字和字母．【变式2-2】（2022•张家口一模）如图，是一个正方体的展开图，这个正方体可能是（）A． B． C． D．【变式2-3】（2022•宁波模拟）请你插上想象的翅膀：如图是下列六个正方体中哪个的侧面展开图？你的选择是。【题型3正方体的平面展开图】【例3】（2022•岳阳模拟）下面四个图形中，经过折叠能围成如图只有三个面上印有图案的正方体纸盒的是（）A． B． C． D．【变式3-1】（2022•南关区校级二模）将一个小正方体按图中所示方式展开．则在展开图中表示棱a的线段是（）A．AB B．CD C．DE D．CF【变式3-2】图①中，A为正方体的顶点，在另一顶点B处有一昆虫．图②、图③是正方体的两个不同展开图，根据A、B位置的特点，请你在图②、图③中分别标出昆虫B的位置．【变式3-3】（2022•舞钢市期末）如图是一个正方体线段AB，BC，CA是它的三个面的对角线下列图形中，是该正方体的表面展开图的是（）A． B． C． D．【题型4视图与小正方体的个数问题】【例4】（2022•金水区校级期末）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形上的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体从左面看到的图形是（）A． B． C． D．【变式4-1】（2022•泰山区期中）如图，是从上面看到的由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体从左面看到的形状图是（）A． B． C． D．【变式4-2】（2022•东港市期中）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图．【变式4-3】（2022•市南区模拟）如图，是由几个边长为1的小立方体所组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的表面积为．【题型5根据视图确定组成几何体的正方体的个数】【例5】（2022•揭西县期末）如图所示是由一些大小相同的小正方体构成的三种视图，那么构成这个立体图的小正方体的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【变式5-1】（2022•沈阳期末）一个几何体由多个完全相同的小正方体组成，从它的正面、左面上面看这个几何体的形状图如图所示，那么组成这个几何体的小正方体的个数为．【变式5-2】（2022•越秀区一模）如图所示是若干个大小相同的小正方体搭成的几何体从三个不同方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是7．【变式5-3】（2022•秦都区期末）如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体从上面看得到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数．（1）请在方格中画出从正面看、从左面看得到的几何体的形状图；（2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从上面看得到的图形不变，那么最多可以再添加个小正方体．【题型6根据视图确定正方体最多或最少的个数】【例6】（2022•皇姑区校级期中）下列图是由小正方体组成的几何体从左面和上面看得到的形状图，则组成该几何体最少需要、最多需要小正方体的个数分别为（）A．5，6 B．5，7 C．5，8 D．6，7【变式6-1】（2022•南川区期末）由m个相同的正方体组成一个立体图形，下面的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，则m的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【变式6-2】（20222•莱芜区期末）如图所示是若干个大小相同的小正方体搭成的几何体从不同方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是．【变式6-3】（2022•清镇市期中）一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状图是．搭这样的立体图形，最少需要个小正方体，最多可以有个正方体．【题型7棱柱的展开与折叠】【例7】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是三棱柱的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-1】（2022·全国·九年级专题练习）某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（

）A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱【变式7-2】（2022·山东菏泽·七年级期末）下图中经过折叠能围成棱柱的是（

）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④【变式7-3】（2022·福建·厦门市逸夫中学七年级期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了条棱．（直接写出答案）（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）据小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是88cm，求这个长方体纸盒的体积．【题型8圆柱的展开与折叠】【例8】（2022·浙江·九年级专题练习）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（

）A． B．C． D．【变式8-1】（2022·重庆潼南·七年级期末）圆柱侧面展开后，可以得到（

）A．平行四边形 B．三角形C．梯形 D．扇形【变式8-2】（2022·黑龙江鸡西·期末）下面各图是圆柱的展开图的是（

）A． B． C． D．【变式8-3】（2022·吉林长春·八年级期末）如图，已知线段BC是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高AB=12，在圆柱的侧面上，过点A、C两点嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．A．

B．

C．

D．(2)求该金属丝的长．【题型9圆锥、棱锥的展开与折叠】【例9】（2022·黑龙江大庆·期中）如图，4个三角形均为等边三角形，将图形沿中间三角形的三边折叠，得到的立体图形是（）A．三棱锥 B．圆锥 C．四棱锥 D．三棱柱【变式9-1】（2022·福建省厦门第六中学二模）如图是某个几何体的侧面展开图，这个几何体可能是（

）.A．圆柱 B．圆锥 C．三棱锥 D．三棱柱【变式9-2】（2022·全国·七年级专题练习）下面的图形是圆锥展开的形状的是（）A． B．C． D．【变式9-3】（2022·北京市广渠门中学九年级阶段练习）下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是（

）A． B．C．D．专题4.2几何体的展开图【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断正方体展开图的相对面或相邻面】 1【题型2展开图折叠成正方体】 4【题型3正方体的平面展开图】 6【题型4视图与小正方体的个数问题】 8【题型5根据视图确定组成几何体的正方体的个数】 10【题型6根据视图确定正方体最多或最少的个数】 12【题型7棱柱的展开与折叠】 14【题型8圆柱的展开与折叠】 17【题型9圆锥、棱锥的展开与折叠】 19【题型1判断正方体展开图的相对面或相邻面】【例1】（2022•盐城）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（）A．强 B．富 C．美 D．高【分析】正方体的表面展开图相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点进行作答．【解答】解：正方体的表面展开图相对的面之间一定相隔一个正方形，“盐”与“高”是相对面，“城”与“富”是相对面，“强”与“美”是相对面，故选：D．【变式1-1】（2022•佛山校级三模）如图为正方体的展开图，将标在①②③④的任意一面上，使得还原后的正方体中与是相邻面，则不能标在（）A．① B．② C．③ D．④【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：因为正方体中与是相邻面，与③是对面，所以不能标在③．故选：C．【变式1-2】（2022•南京期末）如图，在一个正方形盒子的六面上写有“祝、母、校、更、美、丽”六个汉字，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上，则这个盒子的展开图（不考虑文字方向）不可能的是（）A． B． C． D．【分析】根据立方体的平面展开图规律解决问题即可．【解答】解：由图可得，“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上，则这个盒子的展开图可能是A，B，C选项，而D选项中，“更”与“祝”的位置互换后则符合题意．故选：D．【变式1-3】（2022•揭阳月考）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．（1）共有4种弥补方法；（2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；（3）在你帮忙设计成功的图中，要把﹣6，8，10，﹣10，﹣8，6这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上）【分析】（1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法；（2）利用（1）的分析画出图形即可；（3）想象出折叠后的立方体，把数字填上即可，注意答案不唯一．【解答】解：（1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以共有4种弥补方法，故答案为：4；（2）如图所示：；（3）如图所示：．【题型2展开图折叠成正方体】【例2】（2022•简阳市期末）正方体是由六个平面图形围成的立体图形，设想沿着正方体的一些棱将它剪开，就可以把正方体剪成一个平面图形，但同一个正方体，按不同的方式展开所得的平面展开图是不一样的，下面的图形是由6个大小一样的正方形，拼接而成的，请问这些图形中哪些可以折成正方体？试试看．【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．【解答】解：由图示可知：图1，图2，图3，图4，图6，图10，图11，图12均可以折成正方体．【变式2-1】（2022•秦都区期中）如图所示，用标有数字1、2、3、4的四块正方形，以及标有字母A、B、C、D、E、F、H的七块正方形中任意一块，用这5块连在一起的正方形折叠成一个无盖的正方体盒子，一共有几种不同的方法？写出这些方法所用到正方形所标有的数字和字母．【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．本题注意要用5块（其中四块必须用到数字1234，余下的一块用字母）连在一起的正方形折成一个无盖方盒的限定条件．【解答】解：将4个数字和1个字母括起来的不同的方法有：（1、2、3、4、A），（1、2、3、4、B），（1、2、3、4、C），（1、2、3、4、D），（1、2、3、4、E）．故一共有5种不同的方法．【变式2-2】（2022•张家口一模）如图，是一个正方体的展开图，这个正方体可能是（）A． B． C． D．【分析】结合正方体的展开图中圆点所在面的位置，把展开图折叠再观察其位置，即可得到这个正方体．【解答】解：把展开图折叠后，只有B选项符合图形，故选：B．【变式2-3】（2022•宁波模拟）请你插上想象的翅膀：如图是下列六个正方体中哪个的侧面展开图？你的选择是AE。【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，然后结合图中五个特殊表面的相对相邻关系对六个正方体分析即可解答。【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，有两个相对阴影三角形的面与正方形对角线的阴影直角三角形的面是对面，有一个阴影三角形和三个空白三角形的面与空白面的三角形是对面，有对角线的两个三角形的面是对面，纵观六个正方体，A可以；B右面的两个阴影不对，应是前后两个，不可以；C的右面在展开图中没有，不可以；C可以；D的上面阴影三角形不对，应是另一条对角线的一个阴影直角三角形，不可以；E可以；F的上面对角线不对，应画另一条对角线，不可以。所以此图是正方体A、E的侧面展开图。故答案为：AE。【题型3正方体的平面展开图】【例3】（2022•岳阳模拟）下面四个图形中，经过折叠能围成如图只有三个面上印有图案的正方体纸盒的是（）A． B． C． D．【分析】四个选项中的图都是正方体展开图的“1﹣4﹣1”结构．由正方体可以看出，有图案的三个面两两相邻．A、C、D折成正方体后有图案的面有两个相对，不符合题意；B折成正方体后，有图案的三个面两两相邻．【解答】解：的展开图是．故选：B．【变式3-1】（2022•南关区校级二模）将一个小正方体按图中所示方式展开．则在展开图中表示棱a的线段是（）A．AB B．CD C．DE D．CF【分析】将原图复原找出对应边．【解答】解：三角形对应的面为DCFE，a对应的边为DE．故选：C．【变式3-2】图①中，A为正方体的顶点，在另一顶点B处有一昆虫．图②、图③是正方体的两个不同展开图，根据A、B位置的特点，请你在图②、图③中分别标出昆虫B的位置．【分析】结合正方体的平面展开图，根据平面展开图的特征解题．【解答】解：【变式3-3】（2022•舞钢市期末）如图是一个正方体线段AB，BC，CA是它的三个面的对角线下列图形中，是该正方体的表面展开图的是（）A． B． C． D．【分析】根据线段AB，BC，CA所在三个面交于一点，依此即可求解．【解答】解：根据正方体展开图的特点分析，选项C是它的展开图．故选：C．【题型4视图与小正方体的个数问题】【例4】（2022•金水区校级期末）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形上的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体从左面看到的图形是（）A． B． C． D．【分析】根据左视图的定义判断即可．【解答】解：该几何体的左视图为：故选：A．【变式4-1】（2022•泰山区期中）如图，是从上面看到的由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体从左面看到的形状图是（）A． B． C． D．【分析】根据左视图的定义解答可得．【解答】解：由俯视图知，该几何体共3行2列，第1行有1个、第2行有2个、第3行有2个正方体，其左视图如下所示，故选：B．【变式4-2】（2022•东港市期中）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图．【分析】由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为1，2，3；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为2，3，1．据此可画出图形．【解答】解：如图所示：【变式4-3】（2022•市南区模拟）如图，是由几个边长为1的小立方体所组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的表面积为46．【分析】根据俯视图得出主视图、左视图的正方形的数目，表面积为三种视图的面积和的2倍．【解答】解：这个几何体的主视图有三列，从左到右分别是3，4，1，左视图有三列，从左到右分别是3，4，2，表面积为：（8+9+6）×2＝46，故答案为：46．【题型5根据视图确定组成几何体的正方体的个数】【例5】（2022•揭西县期末）如图所示是由一些大小相同的小正方体构成的三种视图，那么构成这个立体图的小正方体的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】从上面看的视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从正面和侧面看的视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．【解答】解：从上面看的视图中可以看出最底层小正方体的个数为6，从正面看的视图可以看出小正方体的层数为1、2、1层，从左面看的视图可以看出小正方体的层数为1、2、1层，所以该几何体的正中间是两个小正方体．所以构成这个立体图形的小正方体的个数为6+1＝7（个）故选：B．【变式5-1】（2022秋•沈阳期末）一个几何体由多个完全相同的小正方体组成，从它的正面、左面上面看这个几何体的形状图如图所示，那么组成这个几何体的小正方体的个数为5．【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从左视图可看出每一行小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．【解答】解：由俯视图易得最底层小正方体的个数为3，由其他视图可知第二次的两侧各有一个正方体，那么共有3+2＝5个正方体．故答案为：5．【变式5-2】（2022•越秀区一模）如图所示是若干个大小相同的小正方体搭成的几何体从三个不同方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是7．【分析】在俯视图上摆小立方体，确定每个位置上摆小立方体的个数，得出答案．【解答】解：在俯视图标出相应位置摆放小立方体的个数，如图所示：因此需要小立方体的个数为7，故答案为：7．【变式5-3】（2022•秦都区期末）如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体从上面看得到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数．（1）请在方格中画出从正面看、从左面看得到的几何体的形状图；（2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从上面看得到的图形不变，那么最多可以再添加3个小正方体．【分析】（1）观察图形可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，3，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，12．据此可画出图形；（2）根据俯视图的各个位置所摆放的小立方体的个数，在保持主视图，俯视图不变的情况下，添加小立方体，直至最多．【解答】解：（1）从正面看、从左面看得到的几何体的形状图如图所示：（2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从上面看得到的图形不变，那么最多可以再添加1+2＝3个小正方体．故答案为：3．【题型6根据视图确定正方体最多或最少的个数】【例6】（2022•皇姑区校级期中）下列图是由小正方体组成的几何体从左面和上面看得到的形状图，则组成该几何体最少需要、最多需要小正方体的个数分别为（）A．5，6 B．5，7 C．5，8 D．6，7【分析】利用俯视图，写出最少，最多的情形，可得结论．【解答】解：如图，最少的情形有：2+1+1+1＝5个，最多的情形有：2+2+2+1＝7个．故选：B．【变式6-1】（2022•南川区期末）由m个相同的正方体组成一个立体图形，下面的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，则m的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．【解答】解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，也可能两行都是两层．所以图中的小正方体最少4块，最多5块．故选：C．【变式6-2】（2022•莱芜区期末）如图所示是若干个大小相同的小正方体搭成的几何体从不同方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是8．【分析】利用俯视图，写出几何体中的小正方体最多时，小正方体的个数即可．【解答】解：这个几何体小正方体的个数最多是3+3+1+1＝8（个）．故答案为：8．【变式6-3】（2022•清镇市期中）一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状图是．搭这样的立体图形，最少需要4个小正方体，最多可以有7个正方体．【分析】利用俯视图，分别写出最少，最多时，正方形的个数，可得结论．【解答】解：最少的情形见俯视图，有0+2+0+1+10+1＝4（个），最多的情形见俯视图，有1+2+1+1+1+1＝7（个），故答案为：4，7．【题型7棱柱的展开与折叠】【例7】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是三棱柱的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据已知图形和多面体的特点分析各图案的能围成的几何体，熟记三棱锥、三棱柱的定义与区别解答．【详解】从图中左边第一个是三棱锥；第二个是三棱柱；第三个是四棱锥；第四个是三棱柱，故选B．【点睛】熟记常见立体图形的展开图的特征，是解决此类问题的关键．【变式7-1】（2022·全国·九年级专题练习）某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（

）A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱【答案】C【分析】根据常见立体图形的底面和侧面即可得出答案．【详解】解：A选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意；B选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；C选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意；D选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握n棱柱的底面是n边形是解题的关键．【变式7-2】（2022·山东菏泽·七年级期末）下图中经过折叠能围成棱柱的是（

）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④【答案】C【分析】根据展开图的特点逐项分析即可．【详解】①②③能围成棱柱，④围成棱柱时，有两个面重合，故选C【点睛】本题考查了棱柱的展开图，掌握棱柱的特点及展开图的特点是解题的关键．【变式7-3】（2022·福建·厦门市逸夫中学七年级期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了条棱．（直接写出答案）（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）据小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是88cm，求这个长方体纸盒的体积．【答案】（1）8；（2）图见详解；（3）长方体纸盒的体积为200立方厘米．【分析】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数；（2）根据长方体的展开图的特征可分情况画出图形即可；（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，然后根据题意列出方程求解即可．【详解】解：（1）由题意可知小明共剪开了8条棱；故答案为8；（2）如图，共四种情况：（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，∵长方体纸盒所有棱长的和是88cm，∴4（a+5a+5a）=88，解得：a=2cm，∴这个长方体纸盒的体积为2×10×10=200（立方厘米）；答：长方体纸盒的体积为200立方厘米．【点睛】本题主要考查几何体的展开图及一元一次方程的应用，熟练掌握长方体的展开图及一元一次方程的应用是解题的关键．【题型8圆柱的展开与折叠】【例8】（2022·浙江·九年级专题练习）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；【详解】解：∵AB为底面直径，∴将圆柱侧面沿AC“剪开”后，B点在长方形上面那条边的中间，∵两点之间线段最短，故选：C．【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．【变式8-1】（2022·重庆潼南·七年级期末）圆柱侧面展开后，可以得到（

）A．平行四边形 B．三角形C．梯形 D．扇形【答案】A【分析】根据圆柱的特征,将圆柱分别沿高展开,沿除高外的任何直线展开都可得到展开图是平行四边形．【详解】解：将圆柱侧面沿高展开，得到一个长方形，而长方形是特殊的平行四边形，沿除高之外的任何一条不同于高的直线展开都会得到平行四边形，所以圆柱的侧面展开后可以得到平行四边形．故选：A．【点睛】本题考查圆柱的侧面展开图与圆柱的关系，熟记常见几何体的侧面展开图是关键．【变式8-2】（2022·黑龙江鸡西·期末）下面各图是圆柱的展开图的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图形可知圆柱体的底面直径和高，利用周长公式进行计算即可．【详解】由图可知，该圆柱底面直径为6，高为4，所以该圆柱的底面周长（圆柱侧面展开得到的长方形的长）为：6×3.14=18.84，故选：C．【点睛】本题考查圆柱体的展开图，理解圆柱体展开图的各个部分与圆柱体之间的关系是正确计算的前提．【变式8-3】（2022·吉林长春·八年级期末）如图，已知线段BC是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高AB=12，在圆柱的侧面上，过点A、C两点嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．A．

B．

C．

D．(2)求该金属丝的长．【答案】(1)C(2)26【分析】（1）因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C，根据立体图形的表面展开图这个特点即可解题；（2）侧面展开后B，C两点之间的距离为12×10=5，A，C两点之间的距离，利用勾股定理可得AC=23，长度最短的金属丝的长=(1)解：因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C，C选项符合要求．故选C．(2)解：如图：侧面展开后B，C两点之间的距离为12A，C两点之间的距离为AC=A该长度最短的金属丝的长=2AC=26所以该长度最短的金属丝的长为26．【点睛】此题主要考查圆柱的展开图、勾股定理，解答此题的关键是正确掌握圆柱体的展开图．【题型9圆锥、棱锥的展开与折叠】【例9】（2022·黑龙江大庆·期中）如图，4个三角形均为等边三角形，将图形沿中间三角形的三边折叠，得到的立体图形是（）A．三棱锥 B．圆锥 C．四棱锥 D．三棱柱【答案】A【分析】由平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点解题即可．【详解】解：4个三角形均为等边三角形，将图形沿中间三角形的三边折叠，得到的立体图形是三棱锥，故选：A．【点睛】本题考查了平面图形的折叠和立体图形的表面展开图，从所给图出发，发现它与多面体面之间的关系是解题的关键．【变式9-1】（2022·福建省厦门第六中学二模）如图是某个几何体的侧面展开图，这个几何体可能是（

）.A．圆柱 B．圆锥 C．三棱锥 D．三棱柱【答案】B【分析】由图可知展开侧面为扇形，则该几何体为圆锥．【详解】解：该几何体的侧面展开图是扇形，所以这个几何体可能是圆锥,故选：B．【点睛】此题主要考查几何体的展开图，熟记几何体的侧面展开图是解题的关键．【变式9-2】（2022·全国·七年级专题练习）下面的图形是圆锥展开的形状的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据常见几何体展开图的形状特征，或折叠成几何体的形状得出判断即可．【详解】解：A、是三棱柱展开图，不符合题意；B、是圆锥展开图，符合题意；C、是圆柱展开图，不符合题意；D、是长方体展开图，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查常见几何体的展开与折叠，掌握简单的几何体展开图的形状特征是正确判断的关键．【变式9-3】（2022·北京市广渠门中学九年级阶段练习）下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是（

）A． B．C．D．【答案】B【分析】根据三棱锥是由四个三角形组成，即可求解【详解】解：A是四棱柱，故该选项不正确，不符合题意；B是三棱锥，故该选项正确，符合题意；C是四棱锥，故该选项不正确，不符合题意；D是三棱柱，故该选项不正确，不符合题意；故选B．【点睛】．本题考查了三棱锥的侧面展开图，解题的关键是掌握三棱锥是由四个三角形组成．专题4.3线段、射线、直线【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1线段、射线、直线概念辨析】 1【题型2线段、射线、直线的区别与联系】 3【题型3计数问题及其应用】 3【题型4利用线段的和与差求线段长度】 4【题型5线段中点的有关计算】 5【题型6线段n等分点的有关计算】 6【题型7线段的数量关系】 8【题型8两点间的距离】 9【题型9直线、线段的性质】 11【题型10线段的长短比较及其应用】 12【知识点1线段、射线、直线】名称直线射线线段图形BABAABABBABA端点个数无一个两个表示法直线直线AB（BA）射线射线AB线段线段AB（BA）作法叙述作直线作直线AB作射线作射线AB作线段作线段AB连接AB延长向两端无限延长向一端无限延长不可延长【题型1线段、射线、直线概念辨析】【例1】（2022·河北保定·七年级期末）《红楼梦》第57回有这么一句话，“自古道:‘千里姻缘一线牵’,管姻缘的有一位月下老儿，暗里只用一根红线，把这两个人的脚绊住．”请问，这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是（

）A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都不对【变式1-1】（2022·全国·七年级课时练习）下列说法正确的是（

）A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点P只能作一条直线C．射线AB和射线BA表示同一条射线 D．射线a比直线b短【变式1-2】（2022·河北邢台·七年级期中）若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA、PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），若线段PQ与线段AB相交，则点Q落在的区域是（

）A．① B．② C．③ D．④或⑤【变式1-3】（2022·浙江宁波·七年级期末）如图，平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…则数字“2020”在（

）A．射线OA上 B．射线OB上 C．射线OD上 D．射线OF上【题型2线段、射线、直线的区别与联系】【例2】（2022·山东·肥城市边院镇过村初级中学期末）平面上有三点A、B、C，如果AB=10，AC=7，BC=3，那么（

）A．点C在线段AB的延长线上B．点C在线段AB上C．点C在直线AB外D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外【变式2-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中不能相交的图是（）A． B． C． D．【变式2-2】（2022·天津北辰·七年级期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线AC和射线AD是同一条射线；④直线BD经过点C．其中结论正确的结论是______．【变式2-3】（2022·山东·东平县实验中学课时练习）如图是四个图形，每一个图形都有相应的一句描述，且所有图形都画在同一个平面上．①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射线AB，会经过点C．其中正确的语句的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【题型3计数问题及其应用】【例3】（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学七年级阶段练习）如图是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制________种车票（任何两站之间，往返两种车票），需要__________种不同的票价．【变式3-1】（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共有（

）A．12种 B．13种 C．14种 D．15种【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，图中过A点的直线共有________条，以A为端点的射线共有________条，以A为端点的线段共有________条．【变式3-3】（2022·全国·七年级专题练习）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段．请仔细观察图形，解决下列问题：(1)如图1，直线l上有3个点A，B，C，则可以确定条线段；(2)如图2，直线l上有4个点A，B，C，D，则可以确定条线段；(3)若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段？请写出解题过程．【题型4利用线段的和与差求线段长度】【例4】（2022·北京朝阳·七年级期末）一种零件的图纸如图所示，若AB＝10mm，BC＝50mm，CD＝20mm，则AD的长为_____mm．【变式4-1】（2022·湖南湘西·七年级期末）如图，已知AD=65mm，BD=60mm，CD=15mm，求AB【变式4-2】（2022·陕西宝鸡·七年级期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，M、N两点分别从P、B出发以1cms、3cms的速度同时向左运动（M在线段AP上，N在线段BP上），运动时间为（1）若M、N运动1s时，且PN=3AM，求AP的长；（2）若M、N运动到任一时刻时，总有PN=3AM，AP的长度是否变化？若不变，请求出AP的长;若变化，请说明理由；（3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ=PQ+BQ，求PQ的长．【变式4-3】（2022·广东广州·七年级期中）已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点．(1)点D在线段AB上，且AB=6，BD=13BC(2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当AD:BD=2:3时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由．【知识点2利用线段的中点求线段长度】线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.【题型5线段中点的有关计算】【例5】（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）如图，点D为线段AB的中点，点C为DB的中点，若AB=16，DE=13AE，则线段ECA．7 B．203 C．6 【变式5-1】（2022·江苏·沭阳县修远中学七年级阶段练习）已知点C是线段AB的中点，下列说法：①AB=2AC；②BC=12AB；③AC=BC；④AC+BC=ABA．1 B．2 C．3 D．4【变式5-2】（2022·江苏扬州·七年级期末）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题：(1)当AC＞BC时，点D在线段上；当AC＝BC时，点D与重合；当AC＜BC时，点D在线段上；(2)当AC＜BC时，若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度．【变式5-3】（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝12AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝12AB，此时点C就是点A关于点若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．(1)MP=_____cm(2)若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度．【题型6线段n等分点的有关计算】【例6】（2022·湖南·郴州市明星学校七年级阶段练习）如图所示，C，D两点把线段AB分成了2：3：4三部分，M是AB的中点，DB＝12，求AM的长．【变式6-1】（2022·江苏·鼓楼实验中学七年级阶段练习）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的12，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB＝12BC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，（1）A，B，C三点中，点是点M，N的“倍分点”；（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有个，分别是；（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．【变式6-2】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC:CB=3:2(1)求线段AC，CB的长；(2)点P是线段AB上的动点且不与点A，B，C重合，线段AP的中点为M，设AP=m①请用含有m的代数式表示线段PC，MC的长；②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值．【变式6-3】（2022·全国·七年级课时练习）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．(1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即AM=1nAC，BN=【题型7线段的数量关系】【例7】（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，C、D是线段AB上两点，且CD=3AD−2BC，则AC与BD的关系是（

）A．AC=BD B．2AC=BD C．3AC=2BD D．4AC=3BD【变式7-1】（2022·全国·七年级课时练习）如图1，已知线段AB=20cm，点M是线段AB上一点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，C、D两点分别从M、B出发以acm/s、bcm/s的速度沿直线(1)直接写出：a=____________，b=_____________；(2)若2cm<AM<4cm，当点C、D运动了3(3)如图2，若AM=13AB，点N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求MN【变式7-2】（2022·全国·七年级课时练习）如图①、②所示，线段AB=20，线段CD=10，点E是BC的中点，设AC=a．(1)当a=4时，则DE的长为______．(2)在图①中，计算DE的长度（用含a的式子表示）(3)将图①中的线段CD向右移动到图②的位置．①直接写出线段AC与线段DE满足的数量关系．②在线段AC上有点F，满足32AF+BE=12AC−AF【变式7-3】（2022·全国·七年级课时练习）某操作车间有一段直线型向左移动的传输带，A，B两位操作工人站于传输带同侧且相距16米，操作组长F也站在该侧，且到A，B距离相等，传输带上有一个8米长的工具筐CE．(1)如图1，当CE位于A，B之间时，F发现工具筐的C端离自己只有1米，则工具筐C端离A米，工具筐E端离B米．(2)工具筐C端从B点开始随传输带向左移动直至工具筐E端到达以A点为止，这期间工具筐E端到B的距离BE和工具筐E端到F的距离EF存在怎样的数量关系，并用等式表示，（你可以在图2中先画一画，再找找规律）【知识点3直线的性质】经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线.两条直线相交，只有一个交点.【知识点4线段的性质】两点的所有连线中，线段最短。简称：两点之间，线段最短。连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。【题型8两点间的距离】【例8】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段AB＝10cm，有下列说法：①不存在到A，B两点的距离之和小于10cm的点；②线段AB上存在无数个到A，B两点的距离之和等于10cm的点；③线段AB外存在无数个到A，B两点的距离之和大于10cm的点．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【变式8-1】（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，A、B、C、D表示四个车站的位置，A、B两站之间的距离AB=a−b，B、C两站之间的距离BC=2a−b，B、D两站之间的距离BD=7(1)求C，D两站之间的距离CD（用含a，b的式子表示）；(2)当A，C两站之间的距离AC=90km时，求C、D两站之间的距离CD．【变式8-2】（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，M是线段AB上一定点，AB=12cm，C，D两点分别从点M，B出发以1cm/s，2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C（1）当点C，D运动了2s时，求AC+MD的值．（2）若点C，D运时，总有MD=2AC，则AM=_______．（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求MNAB【变式8-3】（2022·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”.（1）①一条线段的中点这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）②若线段AB=20，C是线段AB的“二倍点”，则BC=（写出所有结果）【深入研究】如图2，若线段AB=20cm，点M从点B的位置开始，以每秒2cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动，运动的时间为t秒.（2）问t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”；（3）同时点N从点A的位置开始，以每秒1cm的速度向点B运动，并与点M同时停止.请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值.【题型9直线、线段的性质】【例9】（2022·全国·七年级课时练习）下列现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线④把弯曲的公路改直，就能缩短路程其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象有（

）A．①④ B．①③ C．②④ D．③④【变式9-1】（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）值日生小明想把教室桌椅摆放整齐，为了将一列课桌对齐，他把这列课桌的最前面一张和最后面一张先拉成一条线，其余课桌按这条直线摆放，这样做用到的数学知识是__________．【变式9-2】（2022·浙江绍兴·七年级期末）如图，在方格纸中，点A，B，C，D，E，F，H，K中，在同一直线上的三个点有（

）．A．3组 B．4组 C．5组 D．6组【变式9-3】（2022·广东汕尾·七年级期末）如图，点C在∠AOB的边OA上，选择合适的画图工具按要求画图．，（1）反向延长射线OB，得到射线OD，在射线OD上取一点F，使得OF=OC；（2）使用量角器，画出∠AOD的角平分线OE；（3）在射线OE上作一点P，使得CP+FP最小；（4）写出你完成（3）的作图依据：______．【题型10线段的长短比较及其应用】【例10】（2022·江苏·无锡市华庄中学七年级期中）如图，在公路MN两侧分别有A1,A2,···,①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关；④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处．A．①③ B．③④ C．②③ D．②【变式10-1】（2022·全国·七年级课时练习）在标枪训练课上，小秦在点O处进行了四次标枪试投，若标枪分别落在图中M,N,P,Q的四个点处，则表示他最好成绩的点是（

）A．M B．PC．N D．Q【变式10-2】（2022·重庆巫山·七年级期末）如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为_________千米．【变式10-3】（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间 D．B，C之间专题4.3线段、射线、直线【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1线段、射线、直线概念辨析】 1【题型2线段、射线、直线的区别与联系】 4【题型3计数问题及其应用】 7【题型4利用线段的和与差求线段长度】 9【题型5线段中点的有关计算】 13【题型6线段n等分点的有关计算】 17【题型7线段的数量关系】 22【题型8两点间的距离】 28【题型9直线、线段的性质】 32【题型10线段的长短比较及其应用】 35【知识点1线段、射线、直线】名称直线射线线段图形BABAABABBABA端点个数无一个两个表示法直线直线AB（BA）射线射线AB线段线段AB（BA）作法叙述作直线作直线AB作射线作射线AB作线段作线段AB连接AB延长向两端无限延长向一端无限延长不可延长【题型1线段、射线、直线概念辨析】【例1】（2022·河北保定·七年级期末）《红楼梦》第57回有这么一句话，“自古道:‘千里姻缘一线牵’,管姻缘的有一位月下老儿，暗里只用一根红线，把这两个人的脚绊住．”请问，这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是（

）A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都不对【答案】C【分析】根据线段的定义解答即可．【详解】解：“自古道：‘千里姻缘一线牵’，管姻缘的有一位月下老儿，暗里只用一根红线，把这两个人的脚绊住．”请问，这里所说的“线”若是真的，则在数学中指的应是线段．故选：C．【点睛】本题考查了线段，掌握线段的定义（有两个端点的线）是解题的关键．【变式1-1】（2022·全国·七年级课时练习）下列说法正确的是（

）A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点P只能作一条直线C．射线AB和射线BA表示同一条射线 D．射线a比直线b短【答案】A【分析】根据直线和射线的表示方法，和过一点可以做无数条直线，依次判断A、C、B，再利用射线与直线不能进行长短的比较判断D即可．【详解】解：A、直线可以用两个大写字母来表示，且直线没有方向，所以AB和BA是表示同一条直线；故A正确．B、过一点P可以作无数条直线；故B错误．C、射线AB和射线BA，端点不同，方向相反，故射线AB和射线BA表示不同的射线；故C错误．D、射线和直线不能进行长短的比较；故D错误．故选：A．【点睛】本题考查了直线，射线的表示方法以及射线和直线的性质，关键是要能够区分直线与射线的不同点．【变式1-2】（2022·河北邢台·七年级期中）若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA、PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），若线段PQ与线段AB相交，则点Q落在的区域是（

）A．① B．② C．③ D．④或⑤【答案】B【分析】先根据线段PQ与线段AB有公共点确交点的位置在AB上，连结线段PS，利用线段的延长线所在区域确定点Q落在区域②即可．【详解】解：∵线段PQ与线段AB相交，设交点为S，∴点S在线段AB上，连结PS并延长，点Q在PS的延长线上，∵PS的延长线在区域②∴点Q在区域②．故选择B．【点睛】本题主要考查了线段、射线和直线，延长线，点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．【变式1-3】（2022·浙江宁波·七年级期末）如图，平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…则数字“2020”在（

）A．射线OA上 B．射线OB上 C．射线OD上 D．射线OF上【答案】C【分析】通过观察已知图形，发现共有六条射线，数字依次落在每条射线上，因此六个数字依次循环，算出2020有多少个循环即可．【详解】解：通过观察已知图形，发现共有六条射线，∴数字1-2020每六个数字一个循环．∵2020÷6=336…4，∴2020在射线OD上．故选：C．【点睛】本题考查了数字的变化类，通过考察数字的所在线段，考查学生观察和总结能力，解决问题的关键是计算出6个数字一个循环．题目整体较为简单，适合随堂训练．【题型2线段、射线、直线的区别与联系】【例2】（2022·山东·肥城市边院镇过村初级中学期末）平面上有三点A、B、C，如果AB=10，AC=7，BC=3，那么（

）A．点C在线段AB的延长线上B．点C在线段AB上C．点C在直线AB外D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外【答案】B【分析】根据AB＝10，AC＝7，BC＝3，有AB＝AC＋BC进行判断即可．【详解】解答：解：如图，在平面内，AB＝10，∵AC＝7，BC＝3，∴点C为以A为圆心，7为半径，与以B为圆心，3为半径的两个圆的交点，由于AB＝10＝7＋3＝AC＋BC，所以，点C在线段AB上，故选：B．【点睛】本题考查线段、射线、直线的意义，理解点与直线的位置关系是解决问题的关键．【变式2-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中不能相交的图是（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据直线、射线、线段的特点分析判断即可；【详解】AB是直线，CD是线段不能延伸，故不能相交；AB是直线，EF是射线，都可延伸，故可相交；CD是线段，不能延伸，故不能相交；EF是射线，延伸方向与直线AB不相交；故选ACD．【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的特点，准确分析判断是解题的关键．【变式2-2】（2022·天津北辰·七年级期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线AC和射线AD是同一条射线；④直线BD经过点C．其中结论正确的结论是______．【答案】①③【分析】根据直线、射线、线段的定义结合图形即可分析判断求解．【详解】解：①直线是没有端点，向两边无限延伸，图中有两条直线，分别是：直线BC和直线BD，故①说法正确；②直线上两点及两点之间的部分是线段，图中有6条线段，分别是：线段AB、线段BC、线段BD、线段AC、线段CD、线段AD，故②说法错误；③射线AC和射线AD是同一条射线，都是以点A为端点，同一方向的射线，故③说法正确；④直线BD和直线BC相交于点B，直线BD经过点B，不经过点C，故④说法错误，故答案为：①③．【点睛】本题考查直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握并区分相关定义．【变式2-3】（2022·山东·东平县实验中学课时练习）如图是四个图形，每一个图形都有相应的一句描述，且所有图形都画在同一个平面上．①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射线AB，会经过点C．其中正确的语句的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据直线、线段、射线的定义以及其性质分别判断得出即可．【详解】解：①线段AB与射线MN不相交，根据图形可得①正确；②根据图形可得点C不在线段AB上，故②错误；根据图形可得出直线a和直线b会相交，故③错误；④根据图形可得出应为延长线段AB，会经过点C，故④错误．故正确的语句的个数是1，故选：B．【点睛】此题主要考查了直线、线段、射线的定义的应用，正确根据题意画出图形是解题关键.【题型3计数问题及其应用】【例3】（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学七年级阶段练习）如图是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制________种车票（任何两站之间，往返两种车票），需要__________种不同的票价．【答案】

20

10【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可．【详解】解：5个点中线段的总条数是4×5÷2=10（种），∵任何两站之间，往返两种车票，∴应印制10×2=20（种），又∵往返票价是一样的，∴需要10种票价，故答案为：20；10．【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有n个点，则线段的数量有n(n−1)2【变式3-1】（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共有（

）A．12种 B．13种 C．14种 D．15种【答案】C【分析】根据题意按顺序列举即可解题．【详解】解：这只小虫子的不同走法有：ABCDE、ABCDPE、ABCDPFE、ABPDE、ABPE、ABPFE、APBCDE、APDE、APE、APFE、AGFPBCDE、AGFPDE、AGFPE、AGFE，共14种，故选：C．【点睛】本题考查排列与组合问题，是常见考点，掌握相关知识是解题关键．【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，图中过A点的直线共有________条，以A为端点的射线共有________条，以A为端点的线段共有________条．【答案】

1

3

5【分析】根据直线没有端点，射线有1个端点，线段有2个端点，据此分析即可求解．【详解】解析：过A点的直线只有1条，即直线AC；以A为端点的射线共有3条，即射线AF（或AD）、射线AE（或AC）、射线AG；以A为端点的线段共有5条，即线段AF、AD、AE、AC、AB．故答案为：①1；②3；③5【点睛】本题考查了直线，射线，线段的认识，掌握直线、射线、线段的端点的个数是解题的关键．【变式3-3】（2022·全国·七年级专题练习）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段．请仔细观察图形，解决下列问题：(1)如图1，直线l上有3个点A，B，C，则可以确定条线段；(2)如图2，直线l上有4个点A，B，C，D，则可以确定条线段；(3)若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段？请写出解题过程．【答案】(1)3(2)6(3)n(n−1)2【分析】（1）根据线段定义即可求解．（2）根据线段的定义即可求解．（3）由（1）（2）找出规律即可求解．（1）解：由图可得：直线l上有3个点A，B，C，可得线段AB、线段BC和线段AC，则可以确定3条线段，故答案为：3．（2）有图可得：直线l上有4个点A，B，C，D，可得线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD和线段CD，则可以确定6条线段，故答案为：6．（3）由（1），（2）可得，当直线上有n个点，则：(n−1)+(n−2)+(n−3)+⋯+3+2+1=n−1+1【点睛】本题考查了线段的定义及数量关系，熟练掌握线段的定义及数量关系是解题的关键．【题型4利用线段的和与差求线段长度】【例4】（2022·北京朝阳·七年级期末）一种零件的图纸如图所示，若AB＝10mm，BC＝50mm，CD＝20mm，则AD的长为_____mm．【答案】80【分析】根据AD＝AB+BC+CD即可得答案．【详解】解：由图可知：AD＝AB+BC+CD＝10+50+20＝80（mm）．故答案为：80．【点睛】本题考查了线段的和差，掌握连接两点间的线段长叫两点间的距离是解本题的关键．【变式4-1】（2022·湖南湘西·七年级期末）如图，已知AD=65mm，BD=60mm，CD=15mm，求AB【答案】AB=5mm，【分析】结合已知条件根据AB=AD−BD解答，再根据BC=BD−CD求出解即可．【详解】如图，∵AD=65mm，BD=60mm，∴AB=AD−BD=65−60=5mm，BC=BD−CD=60−15=45【点睛】本题主要考查了线段的和差，掌握线段之间的数量关系是解题的关键．【变式4-2】（2022·陕西宝鸡·七年级期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，M、N两点分别从P、B出发以1cms、3cms的速度同时向左运动（M在线段AP上，N在线段BP上），运动时间为（1）若M、N运动1s时，且PN=3AM，求AP的长；（2）若M、N运动到任一时刻时，总有PN=3AM，AP的长度是否变化？若不变，请求出AP的长;若变化，请说明理由；（3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ=PQ+BQ，求PQ的长．【答案】（1）3cm，证明见解析；（2）长度不变，长度为3cm，证明见解析；（3）6cm或12cm【分析】（1）根据路程、速度、时间公式算出M、N运动1s时所走的距离，根据总长度算出PN+AM的长度，根据PN=3AM分别算出PN和AM的长，再根据AP=AM+MP算出AP的长．（2）设运动到t时刻，即可表示出PM和BN的长度，根据总长度表示出PN+AM的长度，由已知条件PN=3AM，可以得到AM的长度，则AP=AM+PM,即可求得．（3）由已知条件分析可知Q在AP间不符合题意，所以Q可能在PB间或AB的延长线上，根据AQ=PQ+BQ，求得AP=BQ，从而求得与AB的关系．【详解】（1）当M、N运动1s时，PM=1cm，BN=3cm，∴PN+AM=8cm，∵PN=3AM，∴AM=2cm，PN=6cm，∴AP=PM+AM=3cm．（2）设运动到t时刻，则PM=t，BN=3t，∴PN+AM=12−4t，∵PN=3AM，∴AM=3−t，∴AP=PM+AM=3cm，∴AP的长度不变，长度为3cm．（3）由已知条件可知，Q在AP间不符合题意，∴当Q在PB间时，如图1，由（2）可知AP=3cm，BP=9cm，∴PQ+BQ=BP=9=AQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=AQ−AP=6cm；当Q在AB的延长线上时，如图2，由（2）可知AP=3cm，BP=9cm，∴AQ=AP+PB+BQ=3+9+BQ=12+BQ，∵AQ=BQ+PQ，∴PQ=AQ−BQ=12+BQ−BQ=12cm；综上所述，PQ=6cm或12cm．．【点睛】本题考查了两点之间的距离，灵活运用线段和、差、倍、分，转化线段之间的数量关系是解题的关键．【变式4-3】（2022·广东广州·七年级期中）已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点．(1)点D在线段AB上，且AB=6，BD=13BC(2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当AD:BD=2:3时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由．【答案】(1)线段CD的长度为2；(2)5CD=3CE或CD=15CE．理由见解析【分析】（1）根据线段中点的性质求出BC，根据题意计算即可；（2）分两种情况讨论，当点D在线段AB上和点D在BA延长线上时，利用设元的方法，分别表示出AB以及CD、CE的长，即可得到CD与CE的数量关系．（1）解：如图1，∵点C是线段AB的中点，AB=6，∴BC=12AB∵BD=13BC∴BD=1，∴CD=BC-BD=2；（2）解：5CD=3CE或CD=15CE．理由如下：当点D在线段AB上，如图2，设AD=2x，则BD=3x，∴AB=AD+BD=5x，∵点C是线段AB的中点，∴AC=12AB=5∴CD=AC-AD=12x∵AE=2BE，∴AE=23AB=103CE=AE-AC=56x∴CDCE=12x56当点D在BA延长线上时，如图3，设AD=2a，则BD=3a，∴AB=BD-AD=a，∵点C是线段AB的中点，∴AC=12AB=1∴CD=AC+AD=52a∵AE=2BE，∴AE=23AB=23CE=AE-AC=16a∴CDCE=52a16综上，5CD=3CE或CD=15CE．【点睛】本题考查的是两点间的距离，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．解第2问注意分类讨论．【知识点2利用线段的中点求线段长度】线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.【题型5线段中点的有关计算】【例5】（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）如图，点D为线段AB的中点，点C为DB的中点，若AB=16，DE=13AE，则线段ECA．7 B．203 C．6 【答案】C【分析】应用一条线上的线段和差关系进行计算即可得出答案．【详解】解：∵点D为线段AB的中点，∴AD＝BD＝12AB＝1∵AD＝AE＋DE，DE＝13AE∴AE＋13AE∴AE＝6，DE＝2，∵点C为DB的中点，∴CD＝12BD＝1∴CE＝DE＋CD＝2＋4＝6，故选：C．【点睛】本题主要考查了一条线上各个线段关系，看清图中线段关系，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．【变式5-1】（2022·江苏·沭阳县修远中学七年级阶段练习）已知点C是线段AB的中点，下列说法：①AB=2AC；②BC=12AB；③AC=BC；④AC+BC=ABA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先画图，再结合点C是线段AB的中点，可得AB=2AC,BC=1【详解】解：如图，点C是线段AB的中点，∴AB=2AC,BC=1故①，②，③，④都符合题意；故选D【点睛】本题考查的是中点的含义，线段的和差关系，掌握线段的中点的定义是解本题的关键.【变式5-2】（2022·江苏扬州·七年级期末）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题：(1)当AC＞BC时，点D在线段上；当AC＝BC时，点D与重合