2023年北京首都师大附中初二（下）期中数学试卷及答案

第1页/共1页2023北京首都师大附中初二（下）期中数学一、选择题（本题共8小题）1.下列计算正确的是（）A. B. C. D.2.由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（）A.1，2，2 B.2，3，4 C.3，4，5 D.5，6，73.某函数图象经过原点，这个函数解析式可能是（）A. B. C. D.4.如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（）A. B. C. D.5.如图，将函数的图象平移至图中虚线位置，则平移后得到的函数的解析式为（）A. B. C. D.6.如图，的对角线与相交于点，，若，，则的长是（）A.4 B.5 C.6 D.87.在一次“讲文明，树新风”文明礼仪知识竞赛中，6位学生的成绩分别为75分，75分，80分，85分，90分，95分，统计时误将一位学生的成绩75分记成了70分，则其中不受影响的统计量是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差8.如图1，在正方形中，，交于点．点为线段上的一个动点，连接，．设正方形中某条线段的长为，，若表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A.线段 B.线段 C.线段 D.线段二、填空题（本题共8小题）9.若二次根式有意义，则x的取值范围是___．10.如图，在中，E，F分别是边AD，BC上的点，连接AF，CE，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形，这个条件可以是_____________（写出一个即可）．11.某同学对甲、乙两个市场四月份每天的蔬菜价格进行了调查，计算后发现这个月两个市场的价格平均值相同，方差分别为，．则四月份蔬菜价格最稳定的市场是______．12.中，，，，点是的中点，连接，则的长为_____．13.如图，已知菱形的边长为，，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为___________．14.如图，一次函数（，是常数，）的图象如图所示，请你写出一个的值___，使得不等式成立．15.如图，直线与轴和轴分别交与A、两点，射线于点A，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、A为顶点的三角线与全等，则的长为________．16.某班体育课上组织同学们练习定点投篮，如图描述了一节课中甲、乙、丙、丁四名同学的投篮命中个数与投篮总次数之间的关系，则这四位同学在本节课中投篮命中率最高的是______．（投篮命中率=投篮命中个数÷投篮总次数）．三、解答题（本大题共11小题）17.计算：（1）（2）18.已知直线与直线平行，且直线过点，求直线与轴的交点坐标．19.先化简，再求值：，其中．20.王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）：甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10选手平均数中位数众数方差甲7a6乙b7cd（1）以上成绩统计分析表中_______，________，______；（2）d______（填“＞”、＜或“＝”）：（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．21.如图，四边形是平行四边形，平分交于点，交于点，连接，判断与的位置关系，并证明．（1）补全图形；（2）与的位置关系：_________；（3）证明：_____________22.已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“平衡数”．（1）与_________是关于1的“平衡数”；（2）与_________是关于3的“平衡数”；（3）若，，判断与是否为关于某数的一组“平衡数”，说明理由．23.用描点法画出一次函数与的图象，并结合图象回答问题：（1）绘制函数图象①列表：下列是与，的几组对应值，其中_______，_______；②描点：根据表中所给的数值在图中描点；③连线：画出函数图象；（2）探究函数性质①当__________，，所以两个函数图象的交点坐标是__________；②当_________，的图象位于的图象上方，所以的解集是________；③过点做轴的垂线与，的图象分别交于，两点，若，则的取值范围是_________．24.如图所示，点为内一点，平分，且交于点，点为边的中点，点在上，且．（1）证明：四边形是平行四边形；（2）请直接写出线段，，之间的数量关系：______．25.如图，在平面直角坐标系中，，分别是一次函数，的图像．（1）直接写出函数的解析式________；（2）已知点，在上．①比较与的大小，并说明理由；②若，点在上，．求函数的解析式以及，的交点坐标．26.如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧做线段，使得，连接．（1）补全图形，并回答问题：当____________时，；（2）连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明；（3）直接写出当___________时，将平行．27.在平面直角坐标系中，我们将横纵坐标都是整数的点叫作整点．以为顶点向右上方作各边垂直于坐标轴的正方形，若对于直线，此正方形内部（不包括边）有且仅有个整点在直线上，则称该正方形为直线关于点的“类正方形”．（1）已知点，，，，则正方形为直线关于点的_____类正方形；（2）已知点是整点且位于直线上．设直线关于点的“3类正方形”的边长为，求的取值范围；（3）已知点，位于直线与（，为常数）之间，点，分别位于直线与上．若存在以，，，为顶点的正方形，是某条直线关于点的“3类正方形”，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共8小题）1.【答案】A【解析】【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：，故A正确，C错误；，故B、D错误；故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．2.【答案】C【解析】【分析】根据两小边的平方和与最长边的平方是否相等即可判定．【详解】解：A．，∴以1，2，2为边不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；B．，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；C．，∴以3，4，5为边能组成直角三角形，，故此选项符合题意；D．∴以5，6，7为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形．3.【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数，正比例函数，一次函数图象的特点可得答案．【详解】解：为反比例函数，不经过原点，故A不符合题意；为正比例函数，函数图象过原点，故B符合题意；为一次函数，图象不过原点，故C不符合题意；为一次函数，图象不过原点，故D不符合题意；故选B．【点睛】本题考查的是正比例函数，一次函数，反比例函数的图象，熟记三种函数图象经过的象限是解本题的关键．4.【答案】D【解析】【分析】利用矩形的性质求得，据此求解即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，掌握矩形的性质并准确识图是解题的关键．5.【答案】A【解析】【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式．【详解】解：由图像可知，将函数向上平移了2个单位，∴函数的解析式为．故选A．【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，利用勾股定理得出，进而利用平行四边形的性质得出即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，，∴，∵，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解答本题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】由于中位数体现数据的中间值的大小，75分和70分都不是中间数，不受影响，由此得出答案．【详解】解：统计时误将一位学生的成绩75分记成了70分，则其中不受影响的统计量是中位数.故选：B．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．8.【答案】D【解析】【分析】由函数图象可知x的值可以取0，在起点取最小值，即图2中表示长为x的线段的长度可以为0，由此即可排除B；再根据y随x增大而增大，在起点取最小值行判断A、C、D即可．【详解】解：由图2函数图象可知，表示长为x的线段的长度可以为0，∵点E在线段上，∴线段长度不可能为0，故B不符合题意；当该线段为时，∵一开始表示长为x的线段为0，∴一开始点E与点A重合，然后慢慢从点A向点C运动，根据垂线段最短可知当时，此时线段的长度有最小值（即点与点重合时），即此过程y随x的增大而减小，当点E继续运动时，的长度逐渐增大，即y随x的增大而增大，但图象中y随x的增大而增大，在起点取最小值，不符合图2的函数图象，故A不符合题意；同理当该线段为时，一开始点E与点C重合，然后慢慢从点C向点A运动，此过程中y随x的增大而减小，点与点重合时线段的长度有最小值，当点E继续运动时，的长度逐渐增大，即y随x的增大而增大，但图象中y随x的增大而增大，在起点取最小值，不符合图2的函数图象，故C不符合题意；当该线段为时，∵一开始表示长为x的线段为0，∴一开始点E与点O重合，然后慢慢从点O向点A（或点C）运动，此过程y随x的增大而增大，符合图2所示的函数图象，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查的是动点问题的函数图象，正方形的性质，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题关键．二、填空题（本题共8小题）9.【答案】【解析】【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得：x≥2．故答案为：x≥2．【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．10.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据的性质得到，然后由“对边相等且平行的四边形是平行四边形”添加条件即可．【详解】解：如图，在中，，则．当添加时，根据“对边相等且平行的四边形是平行四边形”可以判定四边形是平行四边形，故答案是：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是能够灵活应用平行四边形的判定解决问题．11.【答案】乙【解析】【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．【详解】解：∵方差分别为，．∴，∴四月份蔬菜价格最稳定的市场是乙，故答案为：乙．【点睛】本题考查了方差的含义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．12.【答案】6.5【解析】【分析】先利用勾股定理求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系求解即可．【详解】解：∵中，，，，∴．∵点D为的中点，连接，∴线段是斜边上的中线，∴．故答案是：6.5．【点睛】本题考查了勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．13.【答案】【解析】【分析】连接，，，交于，依据，可得，依据是等边三角形，即可得到，当点，，在同一直线上时，即点在点处时，的最小值为的长，的最小值为【详解】解：如图，连接，，，交于，四边形是菱形，，，，，，，，，是等边三角形，又是的中点，菱形的边长为，，，，中，，当点，，在同一直线上时，即点在点处时，的最小值为的长，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查轴对称—最短问题、菱形的性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理，轴对称求线段和的最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线．14.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数图象得出不等式的解集为，然后写出一个在此范围内的x的值即可．【详解】解：根据图象可知，不等式的解集为，∴使得不等式成立的x值可以是．故答案为：．（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了一次函数和不等式的关系，解题的关键是根据函数图象求出不等式的解集为．15.【答案】3或【解析】【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出的两条直角边，并运用勾股定理求出．根据已知可得，分别从或时，即当时，，或时，，分别求得的值，即可得出结论．【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别交与A、B两点，当时，即，解得：．当时，，∴．∴．∴．∵，点C在射线上，∴，即．∵，∴．若以C、D、A为顶点的三角形与全等，则或，即或．如图1所示，当时，，∴；如图2所示，当时，，∴．综上所述，的长为3或．故答案为：3或．【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．16.【答案】乙【解析】【分析】根据斜率的大小来判断投篮命中率即可解答．【详解】解：根据题意棵得图形，依图形可得命中率的大小为乙甲丙丁，故答案为乙．【点睛】本题考查了考查了直线的斜率及斜率的大小比较，掌握斜率的大小是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题）17.【答案】（1）（2）11【解析】【分析】（1）先化简二次根式，然后计算加减法．（2）先去括号，然后计算加减法．【小问1详解】【小问2详解】【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算顺序是解此题的关键．18.【答案】【解析】【分析】根据题意设直线的解析式为，将点代入，待定系数法求解析式，进而令，即可求解．【详解】解：依题意，设直线的解析式为，将点代入得，解得：∴直线的解析式为，当时，∴直线与轴的交点坐标为．【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．19.【答案】；【解析】【分析】首先计算括号里的，然后把除法化为乘法，化简，再将代入计算即可．【详解】解：，∵，∴原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，解本题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．20.【答案】（1）6，7，7（2）（3）乙同学，理由见解析【解析】【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果；（2）根据平均数和方差的计算结果求出答案；（3）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可．【小问1详解】解：甲数据从小到大排列，第5、6位都是6，故中位数为；乙的平均数，乙的数据中7最多有4个，所以众数，故答案为：6，7，7；【小问2详解】，，故答案为：；【小问3详解】选择乙同学，理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定．【点睛】本题主要考查了平均数、众数、方差的有关概念，在解题时要能根据方差的计算公式求出一组数据的方差是本题的关键．21.【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）根据题意作出的角平分线交于点，过点作，交于点；（2）根据作图得出四边形为菱形，可得，（3）由角平分线的定义及平行线的性质可得AB=AF=BE，得出四边形为菱形，即可得出【小问1详解】解：如图所示，【小问2详解】与的位置关系：【小问3详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∵AE平分∠BAD，∴，∴，∴，同理可得，∴，∵，∴四边形ABEF是平行四边形，∵，∴四边形ABEF是菱形，∴．【点睛】本题主要考查菱形的判定、平行四边形的性质及角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定、平行四边形的性质是解题的关键．22.【答案】（1）（2）（3）是，见解析【解析】【分析】（1）根据“平衡数”的定义列方程求解；（2）根据“平衡数”的定义列方程求解；（3）根据二次根式的运算法则计算出，再根据“平衡数”的定义判断．【小问1详解】解：设与x是关于1的“平衡数”，则，解得，故答案为：；【小问2详解】解：设与y是关于3的“平衡数”，则，解得，故答案为：；【小问3详解】解：与是关于19的一组“平衡数”，理由如下：，，，，与是关于19的一组“平衡数”．【点睛】本题考查新定义的实数运算、二次根式的运算等，解题的关键是理解“平衡数”的定义．23.【答案】（1）①，；②见解析；③见解析（2）①2；；②，；③或【解析】【分析】（1）①根据将表格中的求出的值；②③根据表格描点连线；（2）①根据题意列出方程求出未知数即可解答；②根据图象求出不等式的解集．③根据题意得到关于的取值范围．【小问1详解】解：①∵，，∴，∵，，∴，故答案为：；②③如图所示：【小问2详解】解：①∵，∴，∴，∴交点坐标为：故答案为：，；②由图象可知：当时，，故答案为：；③根据题意设，，∵，∴或，∴或，故答案为：或，【点睛】本题考查了一次函数的图象的画法，一次函数的性质，一次函数的的与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解题的关键．24.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明，可得．结合点为边的中点，可得为的中位线，则．再结合已知条件可得结论；（2）由D、E分别是、的中点，可得．由，可得，结合，可得答案．【小问1详解】解：四边形是平行四边形，理由如下：∵，∴，∵平分，∴，∴．∴．∵点为边的中点，∴为的中位线，∴．∵，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】如图，由（1）得：．∵D、E分别是、的中点，∴．∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形是解题的关键．25.【答案】（1）（2）①，见解析；②，【解析】【分析】（1）根据图示，过，，根据待定系数法即可求解；（2）直线中，函数值随自变量的增大而减小，由此即解①；【小问1详解】解：直线过，，设，∴，解得，，∴函数的解析式为，故答案为：．【小问2详解】解：①直线过第一、二、四象限，函数值随自变量的增大而减小，点，在上，∵，∴；②设线的解析式为，点，在上，∴，∴，∴，解得，，∵点在上，且的解析式为，∴，则把代入，得，，，∵，∴，解得，或，根据图形的对称性，可知当时，在的下方，∴，∴，∵，∴，解得，，∴，且，∴函数的解析式为，把点代入得，，∴函数的解析式为，∴联立方程组得，解得，，∴，的交点坐标是．【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，理解图示，掌握一次函数，正比例函数图像的性质，待定系数法求解析式，联立方程组求交点坐标是解题的关键．26.【答案】（1）图形见解析，6（2），见解析（3）4【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；过点C作交于点G，连接，证明四边形为平行四边形，得出，即，得出当时，，当，四边形为菱形，得出，，得出当点E在对角线的交点O上时，符合题意，此时；（2）连接、，证明，得出，证明，得出，，证