专题3.2 函数的基本性质【十大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题3.2函数的基本性质【十大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】 3【题型2利用函数的单调性求参数】 4【题型3利用函数的单调性比较大小】 6【题型4利用函数的单调性解不等式】 8【题型5求函数的最值】 10【题型6由函数的最值求参数】 12【题型7函数奇偶性的判断】 15【题型8函数奇偶性的应用】 17【题型9函数图象的识别、判断】 19【题型10函数性质的综合应用】 21【知识点1函数的单调性】1．函数的单调性(1)单调递增、单调递减：名称定义图形表示几何意义单调递增一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.

函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的.单调递减一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的.(2)函数的单调性及单调区间：①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.

②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)常见函数的单调性：函数单调性一次函数y=ax+b

(a≠0)a>0时，在R上单调递增；

a<0时，在R上单调递减.

反比例函数a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)；

a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,).二次函数y=a(x-m)²+n(a≠0)a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)；

a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m].(4)单调函数的运算性质：若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.

②若a为常数，则当a>0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性.

③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与具有相同的单调性.

④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性.

⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)增增增不能确定单调性增减不能确定单调性增减减减不能确定单调性减增不能确定单调性减⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)g(x)在区间D上单调递减(增).(5)复合函数的单调性判定：对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增减减减增减减减增【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】【例1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）下列函数在0,+∞上不是增函数的是（

）A．yB．yC．yD．y【解题思路】根据基本初等函数的单调性判断即可.【解答过程】解：对于A：y=3x+5在定义域R对于B：y=x2+4在0,+∞对于C：y=3-x在定义域R上单调递减，故对于D：y=x2+2x+4=x故选：C.【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）函数f(x)=A．-∞，1 B．1，+∞ C【解题思路】先求出f(x【解答过程】函数f(x)=3+2x-x因为y=3+2x-x2在-故选：D.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2A．y=f(x)+C．y=f(x)【解题思路】对题中条件fx1-f【解答过程】不妨令x1<∵f令g(x)=又x1<x2故选:A.【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（

）A．函数y=x2在R上是增函数 B．函数yC．函数y=x2和函数y=x的单调性相同 D【解题思路】分别判断出y=x2，y=1【解答过程】对于A：y=x2定义域为R，由二次函数y=x2的图像可知，y=对于B：y=1x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，由反比例函数y=1对于C：y=x2在(0,+y=x，当x≥0时，y=x，易知为增函数，当x<0时，y=-对于D：y=1x定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，由反比例函数y设y=f(x)=则f(当0<x1<x2<1时，当1<x1<x2，f同理可证，f(x)在(-1,0)上单调递减，在(-故选：C．【题型2利用函数的单调性求参数】【例2】（2023秋·湖南常德·高一校考期末）若函数f(x)=ax2+x+aA．(0,+∞) B．(0,1] C．[1,+∞【解题思路】分a=0和a【解答过程】当a=0时，则f(x当a≠0时，f(x要使函数f(x)在[1,+∞综上，a的取值范围是[0,+故选：D.【变式2-1】（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）已知a∈R，则“0<a<1”是“函数fx=aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】求得“函数fx=ax2-2x【解答过程】若函数fx=a当a=0时，fx=-2x当a>0时，fx=则1a≥1，解得当a<0时，fx=则1a≤-1，解得综上所述，若函数fx=ax2所以“0<a<1”是“函数fx=ax故选：A.【变式2-2】（2023春·山西运城·高二统考期末）已知函数f1-x=x+xa+x，若对于任意xA．-∞,-1∪C．-∞,-3∪【解题思路】根据题意，利用换元法分析求出f(x)的解析式，对fx1【解答过程】根据题意，已知函数f(1-设t=1-x，则x=1-t，有不妨设x1<x2，则-2<变形可得f(设g(x)=f(当a>0时，g(x)在1+a当a<0时，g(x)在1+a,+∞和-∞,a+1上单调递增，要使g当a=0时，g综上，a的取值范围为-故选：C．【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=-x2-axA．-5,0 B．C．-5,-2 D．【解题思路】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.【解答过程】由题意，x∈在fx∴--a2×故选：C.【题型3利用函数的单调性比较大小】【例3】（2023·高一课时练习）已知对fx定义域内的任意实数x1，x2，且x1≠x2，fA．b<a<c B．c<b【解题思路】由增函数的定义知，fx在R上是增函数，即可得出a,【解答过程】由fx1-fx所以f-故选：D.【变式3-1】（2023·高一课时练习）已知f2-x=fx+2，且fx在0,2上是增函数，则fA．f1<fC．f52<【解题思路】先利用f2-x=fx+2，将自变量转化到0,2【解答过程】因为f2-所以f5f7因为fx在0,2上是增函数，且0<所以f12<故选：B.【变式3-2】（2023秋·山西吕梁·高一统考期末）已知函数y=fx的图象关于直线x=12对称，且在(－∞，12]上单调递增，a=f-12，A．c<b<a B．c<a【解题思路】由f(x)的图象关于x=12对称，将问题转化为比较f【解答过程】f(x)的图象关于x又因为f(x)在-∞,所以f(1)>故选：B.【变式3-3】（2023秋·广东·高二校联考期末）已知定义在R上的函数fx满足：f-x+fx=0,A．fB．fC．fD．f【解题思路】根据题意可得函数f(x)是周期为4的函数，且在-1,1【解答过程】根据题意，函数fx满足f-x则有f2-x=-则有fx+4=fx对称轴为x=1，fx在-1,1内单调递增，所以fx在1,3内单调递减，f1.5∴f(1.5)>f故选：B.【题型4利用函数的单调性解不等式】【例4】（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知定义在R上的奇函数fx满足对任意的x1,x2∈0,+∞，且x1A．-1,1 B．[-1,0]∪[1,+∞) C．-【解题思路】根据条件可知函数fx在0,+∞上单调递减，再根据奇函数性质即可得出函数fx的单调性，结合条件xfx【解答过程】对任意的x1,x2∈即fx在0,+∞上是减函数，因为x∈R，所以y=fx为奇函数，可得f0=0因为xfx所以当x=0时，xf当x>0时，fx>0=f1，根据f当x<0时，fx<0=f-1，根据综上可知，不等式xfx<0的解集为故选：A.【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足fA．13,23 B．[13【解题思路】由已知有0≤2x-【解答过程】因为函数f(x)是定义在区间[0,+所以0≤2x-1<故选：D.【变式4-2】（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）定义在R上的函数f（x）满足f2-x=fx，且当x≥A．12,+∞ B．0,12 C【解题思路】根据函数的对称性和单调性即可.【解答过程】由f2-x=f(x)，得f(x故选：D.【变式4-3】（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线．若∀x∈(-∞,0]，且xA．(-1-5C．(-1-5【解题思路】由x1f(x1)-x2f(x2【解答过程】因为f(x)为奇函数，所以xf(x)是定义在R上的偶函数函数，由题意可知xf(设gx=所以a2<a-1故选：A.【知识点2函数的最值】1．函数的最大（小）值(1)函数的最大（小）值：名称定义几何意义函数的最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)x∈1，都有f(x)≤M；(2)x0∈1，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.函数的最大值对应图象最高点的纵坐标.函数的最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：(1)x∈1，都有f(x)≥m；(2)x0∈1，使得f(x0)=m.那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值.函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.(2)利用函数单调性求最值的常用结论：①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；

②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.【题型5求函数的最值】【例5】（2023春·天津东丽·高二期末）已知函数f(x)=2x+1x-A．f(x)有最大值53，无最小值 B．fC．f(x)有最大值75，无最小值 D．f【解题思路】将f(x)化为fx=2+【解答过程】解：函数f即有f(x)在[-8则x=-8处取得最大值，且为5由x=-4故选：A．【变式5-1】（2023·江苏·高一假期作业）函数y=f(x)A．f(2)，B．f(1C．f(1D．f(1【解题思路】由函数最值定义，结合函数图象可得出答案.【解答过程】根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x=-32时，f(x)取得最小值f(-故选：C.【变式5-2】（2022春·重庆沙坪坝·高二校考期末）设函数fx=x-22x2+4A．0 B．1 C．2 D．4【解题思路】根据基本不等式，结合分离常数法，可得答案.【解答过程】由函数fx=x2-4x当x>0时，x+4x≥4，当且仅当x=4当x<0时，x+4x≤-4，当且仅当x=4综上可得，M=2，m=0，则故选：C.【变式5-3】（2023·全国·高一假期作业）a,b∈R，记maxa,bA．3-52 B．3+52 C．【解题思路】讨论x+1≥x2【解答过程】当x+1≥x2，即x+1≥fx所以fx当x<1-5fx当x>1+5fx综上，fx故选：A.【题型6由函数的最值求参数】【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数fx=2x+mx+1在区间A．3 B．52 C．2 D．52【解题思路】函数fx化为fx=2+m-2x【解答过程】函数fx=2x+当m=2时，f当m-2>0，即m>2时，fx在即f0=0+当m-2<0，即m<2时，fx在即f1=2+综上可得m=故选：B．【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=(aA．-12,1C．-12,1【解题思路】先求出x≥0时的最小值，然后对于x<0时，讨论fx=【解答过程】当x≥0时，fx=x当x<0时，f①a=1时，fx=2为常函数，此时在R上满足函数f(②a≠1时，函数f（x）此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值，需a-1<0(a综上，满足题意的实数a的取值范围为：-12故选：C．【变式6-2】（2023·全国·高一专题练习）函数y=a-x-3xx>0A．43 B．33 C．23【解题思路】利用基本不等式求出x+3x≥23，得出函数y=a【解答过程】解：因为x>0时，x+3x≥2x⋅3x所以函数y=a-x-所以a-故选：C．【变式6-3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一开学考试）已知函数f(x)=2x2-1,g(x)=ax,x∈A．0 B．±1 C．±2 D．【解题思路】先画出两个函数的图象，得到Mx的图象，根据最小值为-12进行数形结合可知，交点处函数值为【解答过程】依题意，先作两个函数f(x因为M(x)=max{令2x2-1=-12，得x=±故a=±1故选：B.【知识点3函数的奇偶性】1．函数的奇偶性(1)定义：定义偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数.非奇非

偶函数既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.定义域

特征定义域必须是关于原点对称的区间.等价

形式设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，-x∈I，且

f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，-x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立.(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.(3)奇、偶函数图象对称性的应用①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.【题型7函数奇偶性的判断】【例7】（2023·天津·高二学业考试）下列函数是偶函数的是（

）A．y=x-1 B．y=-2x2+3【解题思路】分别判断出各个选项的奇偶性即可得到正确选项.【解答过程】选项A：令f(x)=x-则f(-x)=-x选项B：令h(x)=-2x2则h(-x)=-2-x选项C：y=x-选项D：y=x2，x∈故选：B.【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）函数fx=1+A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数【解题思路】求出fx的定义域不关于原点对称，即可判断fx【解答过程】由函数fx=1+则1+x由于定义域不关于原点对称，故fx为非奇非偶函数故选：C.【变式7-2】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）设函数fx=2+A．fx-2-2 B．fx【解题思路】先求出函数f(【解答过程】f(x)=-(2-x)+42-x故将f(x)的图像向左平移2个单位，然后再沿y轴向上平移1可知g(故选：D．【变式7-3】（2023·全国·高一假期作业）对于两个定义域关于原点对称的函数f(x)和gA．若f(x)和gB．若f(x)和gC．若f(x)是奇函数，gD．若f(x)和g【解题思路】由函数的奇偶性的定义即可判断.【解答过程】对于A，因为f(x)和g(x令h(x)=所以f(x)⋅对于B，因为f(x)和g(x令h(x)=所以f(x)⋅对于C，因为f(x)是奇函数，g(x令h(x)=所以f(x)⋅对于D，因为f(x)和g(x令h(x)=所以f(x)+g故选：B.【题型8函数奇偶性的应用】【例8】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知定义在R上的函数fx在-∞,3单调递增，且fx+3A．1,35 B．-∞,1∪53【解题思路】由可得函数fx关于x=3对称，fx在3,+∞【解答过程】∵fx∴f-x+3=f又函数fx在-∴函数fx在3,+由fx+1>整理得3x2-8x即不等式fx+1>故选：B.【变式8-1】（2023春·山东德州·高二统考期末）定义在R上的偶函数fx满足f-x+2=fxA．-2 B．-1 C．-1【解题思路】根据题意可判断fx是以4为周期的周期函数，即可利用周期性和奇偶性求解【解答过程】由fx为偶函数且f-x所以fx是以4为周期的周期函数，所以f故选：D.【变式8-2】（2023春·北京东城·高二校考期末）已知函数fx+1是偶函数，当1<x1<x2时，fA．a<b<c B．c<b【解题思路】利用函数的单调性及偶函数的性质，结合函数的对称性即可求解.【解答过程】因为当1<x1<x2所以f(x)因为f(所以f(x)因为a=f-12因为2<5所以f2<f所以b<故选：D．【变式8-3】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）已知fx是定义在R上的偶函数，对于任意的x1，x2∈0,+∞（x1≠xA．m<43或mC．m<23或m>4【解题思路】根据函数的奇偶性以及单调性，即可转化为m-1【解答过程】由任意的x1，x2∈0,+∞（x1≠x由于fx是定义在R上的偶函数，所以fx在由fm-1>f2m-3得m故选：A.【知识点4函数的图象】1．函数图象的对称性(1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.(2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.2．函数图象的识别、判断(1)排除法：利用特殊点的值来排除；(2)利用函数的奇偶性、单调性来判断.【题型9函数图象的识别、判断】【例9】（2023春·陕西延安·高二校考期末）函数y=x2A． B．C． D．【解题思路】由函数奇偶性和值域，用排除法得到结论.【解答过程】函数f(x)=f(-x)=由x2≥0，2x+故选：A.【变式9-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=ax2+bxA．

B．

C．

D．

【解题思路】根据条件得到a>0,c【解答过程】由a>b>c且a+b+又f0=故选：D.【变式9-2】（2022·全国·高一专题练习）根据下列函数图象，既是奇函数又是增函数的是（）A．

B．

C．

D．

【解题思路】结合图象根据函数的奇偶性以及单调性判断即可．【解答过程】解：对于A，是奇函数且递增，符合题意；对于B，C，是非奇非偶函数，不合题意；对于D，不是奇函数，不合题意；故选：A．【变式9-3】（2023春·广东广州·高二统考期末）函数fx=2A． B．C． D．【解题思路】先判断函数的奇偶性，然后再代入特殊值计算f12【解答过程】因为fx=2x3因为f-x=图象关的原点对称.排除A，D选项；又f12=123故选：B.【题型10函数性质的综合应用】【例10】（2023春·安徽六安·高二校考期末）已知函数fx=ax+b(1)求函数fx的解析式，判断fx在(2)解不等式ft【解题思路】（1）根据奇函数的定义求得函数解析式，再由单调性的定义证明单调性；（2）利用奇偶性变形不等式，然后由单调性化简后求解．【解答过程】