2024届河北省沧州市联考高三上学期期末数学试题及答案

沧衡名校联盟高三年级2023—2024学年上学期期末联考数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若2i)(z32i)2i，则z（）A.3B.3C.3D.32.已知集合Mxx1，Nx(xx4)0，则MðN（）RA.xxeB.xx4C.x1xeD.xex41243.已知向量a,b满足2ab(2,，2ab2)，则|a|2|b|（）A.2B.1C.1D.24.已知0，则“tantan1”的充要条件为（）A.B.C.D.224x2y25.已知椭圆C:1的左焦点为F，M，N为C上关于坐标原点O对称的两个点，若△MNF的周长3620为22，则|（）A.4B.5C.8D.106.某次乒乓球团体赛为五场三胜制，第一、二、四、五场为单打，第三场为双打，每支队伍有3名队员，每名队员出场2次，则每支队伍不同的出场安排种数为（A.18B.277.将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥PQ中，）C.36D.45,PB,两两互相垂直，则二面角PQ的余弦值为（）631213A.B.C.D.338.直线y2x与曲线yexx2的公共点的个数为（）A.1B.2C.3D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则（）A.该班数学成绩的极差大于40B.该班数学成绩不低于115分的频率为0.15C.该班数学成绩在内的学生比在外的学生少D.估计该班数学成绩的20%分位数为97.510.已知函数f(x)2cos(x)（0，）的部分图象如图所示，其中，22B，则（）A.B.23263C.f(x)在,10上单调递减2D.f(x)的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数311.已知函数f(x)(axb)ex(a0)满足(xf(x)(x2)f(x)（f(x)为f(x)f(x)在x0处的切线倾斜角小于45，则（A.ab1）12B.0aC.f(x)有且仅有1个零点D.f(x)有且仅有1个极值点112.已知抛物线:yx2的焦点为F，准线为l，A是上除坐标原点O以外的动点，过点A且与相切4的直线m与y轴交于点B，与x轴交于点C，l，垂足为D，则下列说法正确的是（）A.||||的最小值为2C.四边形AFBD为菱形B.若点B落在l上，则A的横坐标为2D.||，||，||成等比数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.213.已知n，数列n的前n项和为Sn，则S_________.n(na2bab2，则b的最小值是_________.14.若正数a，b满足15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值(的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.已知P(0,4)，Q为直线yx3上的动点，R为圆O:x2y4上的动点，则21||||的最小值为_________.216.已知正方体ABCDABCD的棱长为2，M为棱CC的中点，P，Q分别为线段，上的动111111点，则的最小值为_________.四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知在等差数列n中，37，5629.（I）求a的通项公式；n2，求数列b的前n项和Sn.（II）若na是等比数列，且b0，2n1n18.（12分）在△ABC中，sinBsinCsin2C2BA.2（I）求A；（II）若AB2AC4，点D在边上，AD平分BAC，求AD的长.19.（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，为棱CD的中点，点Q在棱PB上.，平面ABCD，，E3（I）证明：平面QCD平面；（II）若Q为PB的中点，求直线PE与平面QCD所成角的正弦值.2012分）一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相13同.若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，241则下次有的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.4（I）求第4次闪光为红光的概率；（II）求第n次闪光为红光的概率.21.（12分）已知双曲线E是关于x轴和y轴均对称的等轴双曲线，且经过点(4,23).（I）求E的方程；（II）若(,n)是E上一动点，直线ny8与E交于B，C两点，证明：△ABC的面积为定值.22.（12分）x已知函数f(x)xsin.22（I）设且cos，求f(x)在区间(内的单调递减区间（用2（II）若a0，函数g(x)f(x)a|x|有且仅有2个零点，求a的值.沧衡名校联盟高三年级2023—2024学年上学期期末联考数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.B2.D3.A4.C5.B6.C7.D8.C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.BD10.AC11.BCD12.ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.21613.14.215.2216.113四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.ad.17.解析（I）设的公应为n37,12d7,1由得，解得aa219dd36所以n1nn2.（II）由（I）可知a1，a4，则ab1，ab2.1211222b1b1212，ba2因为是等比数列，所以公比为nn所以nn2n1，所以n2n1n2)2n12n.12nn(n31Sn2n2n1nn.2所以1222218.解析记内角A，B，C的对边分别为a，b，c.A，（I）因为sinBsinCsin2C2BB，2所以sinBsinCsinCsin22Asin2b2c2a212由正弦定理得bcc2a2b2，故由余弦定理可得cosA，bc因为0A，所以A.3（II）因为AD平分BAC，所以，32因为2，所以CD，所以△S，△3121所以cADsincbsin32，233121即4ADsin42sin3243，所以.23319.解析（I）如图，连接AC.由已知可得△ACD为正三角形，又E为的中点，所以CD.因为PA平面ABCD，所以CDPA.因为A，所以CD平面，因为CD平面QCD，所以平面QCD平面.（II）由已知得，所以AB,AE,两两互相垂直，以A为坐标原点，AB,AE,所在直线分2别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.设2，则(0,0)，P(0,2)，B(2,0)，E3,0)，Q，1ECAB0)，(3,，3,2).2设平面QCD的法向量为n(x,y,z)，nx可取n3).则nx3yz设直线PE与平面QCD所成的角为，|n|321则sin|PE,n|.|||n|271420.解析（I）由题意，前4次闪光的顺序为“红共蓝红”或“红蓝黄红，131131所以P2442443.（I）设事件A表示“第n次闪光为红光，事件B表示“第n次闪光为黄光，事件C表示“第n次闪光nnnPCn1f(n)g(n)PAf(n)PBg(n)为蓝光，且，，则，nnPCPACn1fPA1，当n2PnPBPAB由题意知时，，1n1nn1n1n1111即f(n)g(nf(ng(n，整理得f(n)f(n，444411415所以f(n)f(n，5n11514114154所以f(n)是以f为首项，为公比的等比数列，所以f(n)，5545n1n14114115故PAf(n)，即第n次闪红光的概率为.n5455421.解析（I）因为E是关于x轴和y轴均对称的等轴双曲线，故可设其方程为x2y，2又E经过点(4,23)，所以42(23)24，x2y2所以E的方程为x2y24，即1.44（II）因为(,n)在E上，所以m2n24.2y2xny联立方程得消去x整理可得m22216ny4m640，2m24n2代入，可得y24nyn2120.将16n24n21212n2480.所以Bx,yCx,yy1y24nyy2n212，设，，则，112212mnnmm2n222所以|1y21yy241y216n24n212m2124n2m2n2.m2n284点A到直线的距离为d，m2n2m2n2114所以△ABC的面积为||d12m2n243，22m2n2所以△ABC的面积为定值43.x22.解析（I）f(x)1，22x2xx，当x(时，，即x由f(x)0，得,，所以，22222当x时，f(x)0，当1x或x1时，f(x)0，所以f(x)在区间(内的单调递减区间为,.x（II）依题意，g(x)xsina|x|，定义域是(,0)(0,).2（i）当x0时，有g(0.x当x1时，sin1，a|x|0，所以g(x)0；2当1x0时，由(I)知f(x)在单调递增，在,0单调递减，x又f(f(0)0，所以f(x)xsin0，又a|x0，所以g(x)0.2所以g(x)在(,0)总有唯一的零点1.xa（ii）当x0时，有g0，g(x)1g1a，.22xxx若a1，有g(x)xxsin1sin0，当且仅当x1时两个不等号中的等号同时成立，22可知g(x)在(0,)有且仅有1个零点1，符合题意.a若a1，有g(x)在2)单调递增，g(2)1.22①若g(2)0，则当x时，有g(x)0；g10②若g(