中考数学一轮复习课件概率

概率

事件的类型事件定义发生

概率确定事件必然事件在一定条件下，在每次试验

中

⁠发生的事件叫做必然事件1必然

事件定义发生

概率确定事件不可能事件在一定条件下，在每次试验

中

⁠发生的事件叫做不可能事件0不确定事件随机事件在一定条件下，可能发生

也可能不发生的事件叫做

随机事件0～1之间

（不含0和1）不可能

求随机事件的概率1.概率：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能

性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）.2.概率的计算公式：公式法一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且

这些结果发生的可能性相等，其中事件A发生的结果

有m（m≤n）种，那么事件A发生的概率为P（A）＝.2.概率的计算公式：画树状图法当一次试验涉及三个或更多因素，且可能出现的结果

数目较多时，通常先采用画树状图法，不重不漏地列

举出所有可能出现的结果，再根据概率公式计算.列表法当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果数目较

多时，通常先采用列表法不重不漏地列出所有可能出

现的结果，再根据概率公式计算.频率估计概率一般地，在大量重复试验下，随机事件A发生的频率

（这里n是总试验次数，它必须相当大，m是在n次试

验中随机事件A发生的次数）会稳定到某个常数p，于

是，我们用p这个常数表示随机事件A发生的概率，即

P（A）＝p.几何概型的概率公式P（A）＝注意点①判断是使用列表法还是画树状图法：列表法一般适用于两步

求概率问题，画树状图法适用于两步及两步以上求概率问题；②不重不漏地列举出所有可能出现的结果，并判断每种结果出

现的可能性是否相等；③在摸球类游戏中，列表或画树状图时要注意“放回型”与

“不放回型”的区别：类型放回型不放回型基本描述从一个含有n个球的袋子

中，先取出1个球，放回

再取出1个球从一个含有n个球的袋子

中，先取出1个球，不放

回再取出1个球列表法包含表格中对角线上的情况不包含表格中对角线上的

情况画树状图法第一层的情况数为n，第二层的情

况数为n×n第一层的情况

数为n，第二层

的情况数为n×

（n－1）常见问题A.抛掷一枚硬币（或骰子）2次；B.转动一块转盘2次；C.从两个不同布袋中各取1球从一个盒子中

一次取2个小球注意点④游戏的公平性一般通过比较概率的大小来判断：在条件相同的前提下，若对于参加游戏的每一个人来说获胜的

概率都相等，则游戏公平，否则不公平.

类型一

事件的类型1.（2023·徐州）下列事件中的必然事件是（A）A.地球绕着太阳转B.射击运动员射击一次，命中靶心C.天空出现三个太阳D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯A2.投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点

数，则下列事件为随机事件的是（D）A.两枚骰子向上一面的点数之和大于1B.两枚骰子向上一面的点数之和等于1C.两枚骰子向上一面的点数之和大于12D.两枚骰子向上一面的点数之和等于12D类型二

求随机事件的概率3.（2023·威海）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，

每个球除颜色外都相同.晓君同学从袋中任意摸出1个球（不放

回）后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球.两人都摸到红球的

概率是（A）A.B.C.D.A4.（2023·烟台）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶

点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成

的封闭图形.将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地

停在正方形内的某一点上.若小球停在阴影部分的概率为P1，

停在空白部分的概率为P2，则P1与P2的大小关系为（B）A.P1＜P2B.P1＝P2C.P1＞P2D.无法判断第4题图B5.随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案

主要由黑、白两种小正方形组成.现对由三个小正方形组成的

“

”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色

或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率

为（B）A.B.C.D.B6.（2023·泰州）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事

件发生的频率为f，该事件的概率为P.下列说法正确的是

（D）A.试验次数越多，f越大B.f与P都可能发生变化C.试验次数越多，f越接近于PD.当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定D

9

9.（2023·兰州）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实

验数据如表：累计抛

掷次数501002003005001

0002

0003

0005000盖面朝

上次数28541061582645271

0561

5872650盖面朝

上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不

是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53.其中正确的是

.（填序号）①③

10.（2023·福建）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让

利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定：

凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽奖

方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②

③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中

奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖.同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋

中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相

同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随

机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美

礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；

（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美

礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由.解：（2）他应往袋中加入黄球；理由如下：记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列

表如下：红黄①黄②黄③新红红，黄①红，黄②红，黄③红，新黄①黄①，红黄①，黄

②黄①，黄

③黄①，新黄②黄②，红黄②，黄

①黄②，黄

③黄②，新黄③黄③，红黄③，黄

①黄③，黄

②黄③，新新新，红新，黄①新，黄②新，黄③

11.（2023·江苏模拟）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤

的智慧光芒.该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，

B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹

马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞

C1＞C2（注：A＞B表示A马与B马比赛，A马获胜）.一天，齐

王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，

胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐

王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙

膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、

下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比

赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例.假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应

出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；

解：（2）不是.当齐王的出马顺序为A1，B1，C1时，田忌获胜的对阵是：

（A1C2，B1A2，C1B2），当齐王的出马顺序为A1，C1，B1时，田忌获胜的对阵是：

（A1C2，C1B2，B1A2），当齐王的出马顺序为B1，A1，C1时，田忌获胜的对阵是：

（B1A2，A1C2，C1B2），（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是

否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整

场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.当齐王的出马顺序为B1，C1，A1时，田忌获胜的对阵是：

（B1A2，C1B2，A1C2），当齐王的出马顺序为C1，A1，B1时，田忌获胜的对阵是：

（C1B2，A1C2，B1A2），当齐王的出马顺序为C1，B1，A1时，田忌获胜的对阵是：

（C1B2，B1A2，A1C2），综上所述，田忌获胜的对阵有6种，不论齐王的出马顺序如何，

也都有相应的6种可能对阵，

12.某超市在“五一劳动节”期间进行有奖促销，凡在该超市购

物满300元的顾客，将获得8元现金或一次抽奖机会.抽奖规则

如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黑球和2个白

球.顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸球，

否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10

元，摸到白球奖励5元，摸到黑球不奖励.（1）求1名顾客摸球3次停止抽奖的概率；解：（1）1名顾客抽奖的结果如下：（红黑白1白2），（红黑白2白1），（红白1黑白2），（红白1

白2黑），（红白2黑白1），（红白2白1黑）；（黑红白1白2），（黑红白2白1），（黑白1红白2），（黑白1

白2红），（黑白2红白1），（黑白2白1红）；（白1白2黑红），（白1白2红黑），（白1黑白2红），（白1黑

红白2），（白1红黑白2），（白1红白2黑）；

（2）请用概率的知识，帮顾客选择“获得8元奖金”还是

“获得一次抽奖机会”，并说明理由.解：（2）答：选择获得一次抽奖机会，理由如下：整理抽奖奖金与结果情况，列表格如下：奖金0元5元10元15元20元对应事件个数64446概率​​​​​

1.（2023·武汉）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件

的是（

B

）A.点数的和为1B.点数的和为6C.点数的和大于12D.点数的和小于132.（2023·泸州）从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个

数，这个数恰为该组数据的众数的概率为（

B

）A.B.C.D.BB课后练习3.甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计某一

结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实

验可能是（

B

）A.抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率B.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”C.任意写一个正整数，它能被5整除的概率D.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率第3题图B4.如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两

条竖线都可以围成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选

矩形含点A的概率是（

D

）A.B.C.D.第4题图D5.（2022·武汉）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议.

如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座

位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（

C

）A.B.C.D.第5题图C6.（2023·常德）我市“神十五”航天员张陆和他的两位战友已

于2023年6月4日回到地球家园，“神十六”的三位航天员已在

中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问

天实验舱和梦天实验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天

员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均

等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科

学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为（

B

）BA.B.C.D.第6题图7.（2023·南平质检）在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干

个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个

球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球

的概率稳定在0.5附近，则袋子中红球约有

个.8.随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率

是

⁠.3

9.（2023·重庆）一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个

蓝色球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下

颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红

球的概率是

⁠.

10.（2022·聊城）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，

转盘A被三等分，分别标有数字2，0，－1；转盘B被四等

分，分别标有数字3，2，－2，－3.如果同时转动转盘A，B，

转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为

x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），

那么点（x，y）落在直角坐标系第二象限的概率是

⁠.

第10题图11.如图，△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点

P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向△ABC内投

一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为

⁠.第11题图

12.智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义.例

如，符号“☰”有刚毅的含义，符号“☱”有愉快的含义.符

号中的“

”表示“阴”，“

”表示“阳”，类似这样

自上而下排成的三行符号还有其他的含义.所有这些三行符号

中，每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相

同.（1）请利用列出所有这些三行符号；共有8种等可能的情况数，故答案为：8；解：（1）根据题意画图如下：（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和

两个阳的三行符号”的概率.

13.（2022·三明质检）某商场举行促销活动，消费满一定金额的

顾客可以通过参与摸球活动获得奖励.具体方法如下：从一个

装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根

据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：摸到的红球数012奖励（单位：元）51020解：（1）列表如下：红红黄黄黄红（红，红）（黄，红）（黄，红）（黄，红）红（红，红）（黄，红）（黄，红）（黄，红）黄（红，黄）（红，黄）（黄，黄）（黄，黄）黄（红，黄）（红，黄）（黄，黄）（黄，黄）黄（红，黄）（红，黄）（黄，黄）（黄，黄）

方案二摸球方式的所有结果列表如下：（2）请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案

更有利？红红黄黄黄红（红，

红）（红，

红）（黄，

红）（黄，

红）（黄，

红）红（红，

红）（红，

红）（黄，

红）（黄，

红）（黄，

红）黄（红，

黄）（红，

黄）（黄，

黄）（黄，

黄）（黄，

黄）黄（红，

黄）（红，

黄）（黄，

黄）（黄，

黄）（黄，

黄）黄（红，

黄）（红，

黄）（黄，

黄）（黄，

黄）（黄，

黄）

则方案二的摸球方式更有利.14.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可

抽奖.抽奖规则如下：1.抽奖方案有以下两种：方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随

机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖

金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机

摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑

奖后将摸出的球放回乙袋中.2.抽奖条件是：顾客购买商品的金额每满100元，可根