人教版八年级上册数学教案1 1 .2 与三角形有关的角

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角

【教学目标】

知识与能力

1.掌握三角形的内角和定理,能熟练地应用三角形内角和定理解决问题.

2.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余.

3.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.

过程与方法

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步

养成数学推理习惯.

情感态度与价值观

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心.

【重点难点】

重点：三角形的内角和定理及其运用，直角三角形的两个锐角互余，掌握有

两个角互余的三角形是直角三角形.

难点:探索并证明三角形内角和定理.会用“两锐角互余的三角形是直角三

角形”这个判定方法判定直角三角形.

【教学过程】

一、创设情境,导入新课

教师出示问题:大的三角形对小的三角形说：“我比你大，所以我的内角和

肯定比你大

小三角形不服气地说：“不对不对,我的内角和和你的一样大！”

教师：大的三角形与小的三角形谁说的对呢？通过这一节课的学习我们就

能解决这个问题.

、探究归纳

活动一：我们小学已学过，任意一个三角形的内角和都等于180。，怎么说

明这个结论的正确性呢？

让学生在纸上画一个三角形将它的内角剪下,试着拼拼看.

【问题】

把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出NBCD

的度数，可得至l」NA+NB+NACB=180°.[教师出示投影如图1]

CD

想一想，还可以怎样拼?

①剪下NA,按图2拼在一起,可得到NA+NB+NACB=180°.

②把NB和NC剪下按图3拼在一起,可得到/BAC+NB+NC=180°.

点拨：由拼图的方法可得三角形的内角和等于180°.

由刚才拼合而成的图形，试以你所发现的方法谈谈是如何说明三角形的内

角和等于180°的？

活动二:试说明三角形的内角和等于180°.

如图（1）已知：△ABC,求证：ZA+ZB+ZC=180°.

证明：延长BC到D,过点C作CE〃AB.

因为CE〃AB（已知），

所以N2=NB（两直线平行，同位角相等），

Z1=ZA（两直线平行，内错角相等）.

又因为Nl+N2+N3=180°（平角定义），

所以NA+NB+NACB=180°（等量代换）.

总结:三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.

由图2、图3你又能想到什么证明方法?请说说证明过程.

方法二:

如图，过点A作EF〃BC,

所以NB=N2（两直线平行，内错角相等），

ZC=Z1（两直线平行，内错角相等）.

因为N2+N1+NBAC=18O°,

所以/B+NC+NBAC=180°.

方法三：过点A作AE〃BC,

所以NB=NBAE（两直线平行，内错角相等）,

ZEAB+ZBAC+ZC=180°（两直线平行，同旁内角互补）,

所以NB+NC+NBAC=180°.

BC

点拨：在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在

平面几何里,辅助线通常画成虚线.

为了证明三个角的和为180。，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化

思想是数学中的常用方法.怎样应用三角形内角和定理解决问题呢？请看

下面例题.

活动三:探索直角三角形的性质

【问题】在aABC中，若NC=90°,你能求出NA,NB的度数吗?为什么？你

能求出NA+NB的度数吗?利用上面的结果,你能得出什么结论？

A

答案:在Rt^ABC中.因为NA+NB+NC=180°(三角形内角和定理).

而NC=90°.所以ZA+ZB=90°.

所以直角三角形的两个锐角互余.

总结:直角三角形的两个锐角互余.

几何推理格式:在RtZ\ABC中,因为NC=90°,所以NA+NB=90°.

应用:(l)RtAABC中，ZC=90°,ZB=28°,贝i]NA=.

(2)RtAABC中，ZC=90°,ZA=36°,贝|NB=.

以上我们学习了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.应用这

一性质我们可以已知直角三角形的一个锐角求另一个锐角.

活动四：探索直角三角形判定定理

【问题】我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形两锐角

互余.反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形吗?请你说说理由.

如图，在AABC中.

A

C

ZA+ZB+ZC=180°（三角形内角和定理），

因为NA+NB=90°（已知），

所以NC=90°,

所以AABC是直角三角形（直角三角形定义）.

总结:直角三角形判定定理:有两个角互余的三角形是直角三角形.

以上我们学习了直角三角形的性质与判定.怎样应用直角三角形的性质与

判定解决问题呢?请看下面例题.

活动五:应用举例

【例1】已知AABC中，NABC=NC=2NA,BD是AC边上的高,求NDBC的度

数.

分析：根据三角形的内角和定理与NC=NABC=2NA,列方程即可求得4ABC

三个内角的度数,再根据BD是AC边上的高，可得NBDC=90°,在4BCD中，

由三角形内角和定理,求得NDBC的度数.

解：设NA=x°,则NABC=NC=2x°,

所以x+2x+2x=180（三角形内角和定理）.

解得x=36,所以NC=2X36。=72°,

在ABDC中，因为NBDC=90°（三角形高的定义），

所以NDBC=180°-90°-72°（三角形内角和定理），所以NDBC=18°.

点拨：利用三角形内角和定理，借助方程,求三角形内角的度数是一种重要

方法.

［例2］如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方

向,C岛在B岛的北偏西40°方向，从B岛看A,C两岛的视角NABC是多少

度?从C岛看A,B两岛的视角NACB是多少度呢？

分析：虽然本题已给图形，但我们必须从画图入手，记住画图的过程就是理

解题目的开始,C岛在A岛的北偏东50°方向,就是以A岛为中心画方向线

AC,B岛在A岛的北偏东80。方向，也是以A岛为中心画方向线AB,C岛在

B岛的北偏西

40°方向，这就是以B岛为中心画出方向线BC,AC与BC交于C.由于A,B,C

三点构成AABC,所求NABC和NACB是AABC的两个内角，这样就要求得N

ACB和

ZABC的度数.

解：NCAB=NBAD-NCAD=80°-50°=30°,

因为AD〃BE,所以NBAD+NABE=180°,

所以NABE=180°-ZBAD=180°-80°=100°,

所以NABC=NABE-NEBC=100°-40°=60°,

所以NACB=180°-ZABC-ZCAB=180°-60°-30°=90°.

答:从B岛看A,C两岛的视角NABC是60°.从C岛看A,B两岛的视角NACB

是90°.

学生思考别的解法,教师订正：

如图，过点C作CF,使CF〃AD,得NACF=NDAC=50°,又因为AD〃BE,所以

CF〃BE,得NBCF=NCBE=40°,所以NACB=NACF+NBCF=50°+40°=90°.

因为NBAC=

ZBAD-ZCAD=80°-50°=30°，所以NABC=180°-ZACB-ZBAC=180°

-90°-

30°=60。.

【例3】如图,NACB=90°,CD_LAB,垂足为点D,NACD与NB有什么关系?

为什么？

分析:根据同角的余角相等解答.

解:相等.因为NACB=90°,CD_LAB,

所以NACD+NBCD=NACB=90°,

ZB+ZBCD=180°-90°=90°，所以NACD=NB.

变式1：

若NACD=ZB,ZACB=90°,则CD是AACB的高吗？为什么？

c

答案:是•有两个角互余的三角形是直角三角形.

变式2:若NACD=ZB,CD±AB,AACB为直角三角形吗？为什么？

答案:是.有两个角互余的三角形是直角三角形.

变式3:

如图，若NC=90°,ZAED=NB,4ADE是直角三角形吗?为什么？

C

答案:是•有两个角互余的三角形是直角三角形.

［例4］如图所示,AB//CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,ZBEF的平分线

与

ZDFE的平分线相交于点P,求证：AEPF是直角三角形.

分析：由AB〃CD,可知NBEF与NDFE互补，由角平分线的性质可得NPEF+

NPFE=90°,由三角形的内角和定理可得NP=90°.

证明：因为AB〃CD,所以NBEF+NDFE=180°.

因为EP,FP分别平分NBEF,ZDFE,

所以NPEF』NBEF,ZPFE=-ZDFE,

22

所以NPEF+NPFE)(NBEF+NDFE)2X180°=90°,所以AEPF是直角三

22

角形.

点拨:要判定一个三角形是直角三角形，只需证得一个角是直角即可.

［例5］如图，ZC=ZD=90°,AD,BC相交于点E,ZCAE与NDBE有什

么关系？为什么？

分析:要想找出NCAE与NDBE有什么关系，它们不在同一个三角形中，通过

观察知它们是两个不同的直角三角形中的锐角，只要找另外两个锐角的关

系即可.

解:在Rt^AEC中，因为NC=90°,

所以NCAE+NAEC=90°（直角三角形两锐角互余）.

在RtZiBDE中，

因为ND=90°,所以NDBE+NBED=90°（直角三角形两锐角互余）.

因为NAEC=NBED（对顶角相等），所以NCAE=NDBE（等角的余角相等）.

三、交流反思

1.通过这节课的学习，掌握探索的步骤:观察一一归纳一一猜想一一证明.

2.通过本节课探索得到三角形的内角和定理及直角三角形的性质与判定.

四、检测反馈

1.在AABC中，NA：NB：NC=1：2：3,则NB=（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

2.在△ABC中，NA=50°,NB=80°,则NC=（）

A.40°B.50°C.10°D.110°

3.在AABC中，ZA=80°,NB=NC,则NB=（）

A.50°B.40°C.10°D.45°

4.如图,AB〃DE,ZACB=90°,若NBCE=35°,则NA的度数为（）

DCE

A.35°B.45°

C.55°D.65°

5.如图，NA=35°，/B=NC=90°,则ND的度数是

A.35°B.45°

C.55°D.65°

6.在AABC中,ZA=90°,ZB=3ZC,求NB,ZC的度数.

7.如图，在直角AABC中，CD是斜边AB上的高，ZBCD=35°,求NA与NEBC

的度数.

.35°

C

8.如图,在4ABC中，ZB,ZC的平分线交于点0,若NB0C=132°,求NA的

度数.

9.如图4ABC中,CD平分NACB,DE/7BC,ZA=70°,ZADE=50°,求NBDC的

度数.

DA-\£

10.如图：已知在4ABC中,EF与AC交于点G,与BC的延长线交于点F,Z

B=45°,ZF=30°,ZCGF=70°,求NA的度数.

A

EA

BcF

五、布置作业

教科书第13页第1,2题

六、板书设计

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角

例题练习

三角形的内角和等的1801三角形内角和定理计算角度，

1.实验三角形内角和的证明思路,证明添加辅助线的方法”应用判定三角形的形状.解决实际问题

2.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.

3.直角三角形的判定:有两个角互