2019年江苏省高考数学试卷（原卷+解析版）

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）（原卷版）

数学I

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时

间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题

卡的规定位置。

3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作

答一律无效。

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：

样本数据西,孙…，毛的方差$2=!力（玉-可2，其中元,£七.

n,=in,=i

柱体的体积V=S〃，其中S是柱体的底面积，〃是柱体的高.

锥体的体积V=；S/z,其中S是锥体的底面积，〃是锥体的高.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置

上.

1.已知集合4={-1,0,1,6},B={x|x>O,xeR},则=.

2.已知复数（a+2i）（l+i）的实部为0,其中i为虚数单位，则实数。的值是.

3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是.

Hg)

X—LS—0

4.函数y=，7+6%-炉的定义域是.

5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据方差是一.

6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的

概率是.

2

7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线炉-a=1（6〉0）经过点（3,4）,则该双曲线的渐近线方程是.

8.已知数列｛a“｝（"eN*）是等差数列，是其前〃项和.若g%+。8=0,59=27,则Sg值是.

9.如图，长方体ABC。-44GA的体积是120,E为CG的中点，则三棱锥E-8CD的体积是.

4

10.在平面直角坐标系xOy中，尸是曲线y=%+—（%>0）上的一个动点，则点尸到直线x+y=0的距离的最

X

小值是.

11.在平面直角坐标系X0Y中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e,-l）（e为自然对

数的底数），则点A的坐标是一.

12.如图，在AABC中，。是BC的中点,E在边上,BE=2EA,AO与CE交于点。.若丽.秋=6蔗.成,

AD

则7K的值是.

21Cz

tana

3,则sin[2a+；]的值是.

13.已知

14.设/(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，〃x)的周期为4,gO)的周期为2,且是奇函数.

^(x+2),0<x<l

当xe(0,2]时，/(尤)=丁_(尤_I》，g(x)=<_j_]<<2，其中左>0.若在区间(0,9]上，关于x

[5,<A.

的方程/(x)=g(x)有8个不同的实数根，则上的取值范围是.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

15.在△A3C中，角A,5,C对边分别为。，b,c.

l2

(1)若〃=3c,b=y/2»cosB=—,求c的值；

/小、sinAcosB.

(2)右-----=------,求sin(5H—)的值z.

a2b2

16.如图，在直三棱柱ABC—A/iCi中，D,E分别为BC,AC的中点，AB=BC.

求证：(1)A13〃平面OEG；

(2)BELCiE.

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:二+与=l（a〉6〉0）的焦点为B（-1、0）,F2（1,0）.过

ab

后作X轴的垂线/,在X轴的上方，/与圆P2：（x-l>+y2=4/交于点A,与椭圆c交于点。连结AF1并

延长交圆人于点2，连结3/2交椭圆C于点E,连结。E.已知。Pi=2.

2

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）求点E的坐标.

18.如图，一个湖的边界是圆心为。的圆，湖的一侧有一条直线型公路/，湖上有桥A2G4B是圆。的直径）.规

划在公路/上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路PB、QA.规划要求:线段PB、”上的所有点到点。

的距离均不少于国。的半径.已知点A、8到直线/的距离分别为AC和8。（C、。为垂足），测得A8=10,

AC=6,BD=\2（单位:百米）.

（1）若道路PB与桥垂直，求道路尸2的长；

（2）在规划要求下，P和。中能否有一个点选在。处？并说明理由；

（3）对规划要求下，若道路PB和”的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、。两点间的距离.

19.设函数/(%)=(%-。)0-»0-。),4,仇。61<,f'(X)为于(X)的导函数.

(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值；

(2)若aWb,b=c,且/(x)和尸(x)的零点均在集合｛—3,1,3｝中，求/G)的极小值；

4

(3)a-0,0<b„且/(%)的极大值为M,求证:.

20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M—数列”.

(1)已知等比数列｛斯｝满足：44=%，/—4。2+46=0,求证:数列｛斯｝为“A1—数列”；

122

(2)已知数列｛勿｝满足:伪=L丁=一，其中S"为数列｛b”｝的前〃项和.

S“bn%

①求数列｛5｝通项公式；

②设机为正整数，若存在数列”｛c“｝,对任意正整数上当％W机时，都有,弱瓦成立，求相的

最大值.

数学II(附加题)

【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若

多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

「3r

21.已知矩阵4=、、

(1)求A2；

(2)求矩阵A的特征值.

22.在极坐标系中，已知两点直线’的方程为夕sin[e+：]=3.

(1)求A,8两点间的距离；

(2)求点2到直线/的距离.

23.设尤eR,解不等式|x|+|2x—1|>2

【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答

时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

24,设(1+X)"=%+axx+a2xH----Fanx",.4,〃eN".已知a；=2a2a4.

(1)求w的值；

(2)设(l+6)"=a+Z>8，其中a,beN*,求a2r36?的值.

25.在平面直角坐标系xOy中，设点集A,,={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},

Bn={(0,l),(n,l)},C„={(0,2),(1,2),(2,2),…,(〃2)},”N*.令此=4U与UQ.从集合监中任取两

个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.

(1)当”=1时，求X的概率分布；

(2)对给定的正整数"(n>3),求概率P(X<n)(用〃表示).

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）（解析版）

数学I

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时

间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题

卡的规定位置。

3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作

答一律无效。

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：

样本数据西，孙…,％的方差S'=!'（玉一寸，其中元=.

ni=ln,=i

柱体的体积V=S〃，其中S是柱体的底面积，〃是柱体的高.

锥体的体积V=；S/z,其中S是锥体的底面积，〃是锥体的高.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置

上.

1.已知集合人={-1,0,1,6},5={x[x>O,xeR},则=.

【答案】{1,6}.

【解析】

【分析】

由题意利用交集的定义求解交集即可.

【详解】由题知，Ans={l,6}.

【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.

2.已知复数（a+2i）（l+i）的实部为0,其中i为虚数单位，则实数。的值是.

【答案】2.

【解析】

【分析】

本题根据复数的乘法运算法则先求得z,然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.

【详解】(a+20(1+i)=a+ai+2i+2r=a-2+(a+2)i,

令a—2=0得a=2.

【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是.

0g)

x-0

【答案】5.

【解析】

【分析】

结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可.

X1

【详解】执行第一次，S=S+—=—,%=124不成立，继续循环，1二%+1=2；

22

x3

执行第二次，S=S+—=—,x=224不成立，继续循环，%=%+1=3；

22

X

执行第三次，S=S+—=3,尤=324不成立，继续循环，1=%+1=4；

2

Y

执行第四次，S=S+—=5,x=424成立，输出s=5.

2

【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：

(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.

(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题.

(3)按照题目的要求完成解答并验证.

4.函数y=，7+6%-九2的定义域是.

【答案】[一1,7].

【解析】

【分析】

由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.

【详解】由已知得7+6%-/20,

即%2—6%-740

解得一，

故函数的定义域为[-1,7].

【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它

们的解集即可.

5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是—.

【答案】--

3

【解析】

【分析】

由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.

【详解】由题意，该组数据的平均数为6+7+8+8+9+10=8,

6

所以该组数据的方差是-[(6-8)2+(7—8)2+(8—8)2+(8—8)2+(9-8)2+(10-8)2]=-.

63

【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.

6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的

概率是.

7

【答案】—.

10

【解析】

【分析】

先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得

出答案.

【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有C；=10种情况.

若选出的2名学生恰有1名女生，有C；C；=6种情况，

若选出的2名学生都是女生，有C：=l种情况，

所以所求的概率为答=焉.

【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查,

由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中,

应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.

2

7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线好-2=1（6〉0）经过点（3,4）,则该双曲线的渐近线方程是.

【答案】y=±4ix.

【解析】

【分析】

根据条件求力，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.

2

【详解】由已知得3,?—二4=1,

解得b=C或b=-^2，

因为Z?>0,所以=

因为。=1,

所以双曲线的渐近线方程为y=土亚x.

【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲

线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0,即得渐近线方程.

8.已知数列｛q｝（〃€N*）是等差数列，S"是其前〃项和.若%%+用=0，风=27,则§8的值是,__.

【答案】16.

【解析】

【分析】

由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.

a2a5+4=(4+d)(%+4d)+&+7d)=0

【详解】由题意可得：《

S9=9q+g^d=27

ci,=-58x7

解得：\1_,则$8=8^+——d=—40+28x2=16.

d=22

【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想,

灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程(组)，如本题，从已知出发，构建的方程组.

9.如图，长方体ABC。-44G。的体积是120,E为CG的中点，则三棱锥的体积是.

【答案】10.

【解析】

【分析】

由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.

【详解】因为长方体A3CD—的体积为120,

所以A93CCG=120,

因为E为CG的中点，

所以CE=；CC],

由长方体的性质知CG，底面ABCD，

所以CE是三棱锥E-5CD的底面5CD上的高，

所以三棱锥E—BCD的体积丫=!><,46.3。以=—X120=10.

3232212

【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整

体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.

4

10.在平面直角坐标系X0Y中，尸是曲线y=x+—(x>0)上的一个动点，则点尸到直线x+y=0的距离的最

X

小值是.

【答案】4.

【解析】

【分析】

将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离

4

【详解】当直线x+y=。平移到与曲线y=x+—相切位置时，切点。即为点尸到直线x+y=O的距离最

X

小.

由y'=]-=—1,得x=^/^（_^/^舍），y=3V2,

x

即切点Q（、历,30）,

IV2+3V2I

则切点Q到直线x+y=0的距离为=4，

#+12

故答案为4.

【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和

公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.

11.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处切线经过点（-e,-l）（e为自然对

数的底数），则点A的坐标是一.

【答案】（e,1）.

【解析】

【分析】

设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.

【详解】设点%），则%=乂了=工，

A（x0,In%.

X

,1

当％=%时，y=一,

%

1.、

点A在曲线y=lnx上的切线为丁一%二一（%-玉）），

/

111

即y—ln%=-----1,

代入点（一6,—1）,得TTnXo=，T,

即/In%=e,

考查函数H（x）=xlnx,当％£（0,1）时，H（x）＜0,当X£（l,+oo）时，"（x）＞0,

＞H'（x）=lnx+l,当尤＞1时，〃⑺＞0,8（%）单调递增，

注意到H（e）=e,故x（）lnxo=e存在唯一的实数根/=e,此时％=1,

故点A的坐标为A（e,l）.

【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，

同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.

12.如图，在AABC中，。是8C的中点,E在边上与CE交于点。.若丽.元=6版.反,

【答案】6

【解析】

【分析】

由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.

【详解】如图，过点。作。F//CE,交于点片由BE=2E4,。为8C中点，知8F=FE=EA,A0=0D

6A0.EC=3AD.(AC-AE\=-(AB+AC}4AC-碣

1---(,----1---»2-------21

AB•AC——AB+AC--

333

=1(1AB-AC--AB2+AC2]=AB-AC--AB2+-AC2=AB.AC,

2(33)22

得;丽2=^42,即|通卜若|恁|,故等二6.

【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几

何法，利用数形结合和方程思想解题.

tana

3,则sin[2a+；]的值是.

13.己知，(兀、

tana+一

I4J

【答案】昱.

10

【解析】

【分析】

由题意首先求得tantz的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问

题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.

tana_tana_tan^(l-tanrz)_2

【详解】由(~tanfz+1-tani+1—3，

tana+-----------

(4)1-tancr

得3tan2a-5tane—2=0，

解得tanc=2,或tancc——.

sin2a-\——=sin2acos——Fcos2asin—

I4J44

2sinacosa+cos2a-sm2a、

sin2a+cos2a).92

sinor+cosa7

A/2(2tancif+l-tan2df>

2Itan2or+1/

国2x2+1-72

当tantz=2时，上式

2I22+lJ10

当taner=一—时,

3

V2

综上,sin12a+?

10

【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转

化与化归思想解题.

14.设/(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，的周期为4,g(x)的周期为2,且/(X)是奇函数.

左(x+2),0<x〈l

当xe(0,2］时，,g(x)=<1i<°，其中左>°，若在区间(。'刃上，关于了

［5,<x-

的方程/(x)=g(x)有8个不同的实数根，则上的取值范围是.

£@

【答案】

【解析】

【分析】

分别考查函数/(九)和函数g(x)图像的性质，考查临界条件确定上的取值范围即可.

【详解】当x«0,2］时，/(x)=^l-(x-l)2,(%-1)2+/=1,y>0.

又/Xx)为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4,如图，函数/Xx)与g(M)的图象，要使/(x)=g(x)

在(0,9］上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.

当g(x)=-；时，函数f(x)与g(x)的图象有2个交点;

当g(x)=左(x+2)时，g(x)的图象为恒过点(-2,0)的直线，只需函数与g(£)的图象有6个交点.当

f(x)与g(x)图象相切时，圆心(1,0)到直线依―y+2左=0的距离为I,即宁裳=1,得左=字，函

数/(x)与g(x)的图象有3个交点；当g(x)=k(x+2)过点(1,1)时，函数/(%)与g(x)的图象有6个交点,

此时1=34,得z=—.

3

综上可知，满足/(X)=g(x)在(0,9］上有8个实根的k的取值范围为

【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点

而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取

值范围.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

15.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.

/、sinAcosB兀

⑵若-----—,求sin(B+5)的值.

【答案】(1)c=B；(2)还.

35

【解析】

【分析】

(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值；

兀

(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cosB的值，然后由诱导公式可得sin(B+万)的

值.

【详解】(1)因为Q=3C*=夜,cos5=2,

3

21222

a-be-b2(3C)+C-(A/2)2_1

由余弦定理cos5=---------,停一----------------------,即c——

lac32x3cxc

所以C=3

,、「sinAcosB

(2)因-----=------，

a2b

由正弦定理一二=一，一，得您0=2空，所以cosBuZsinB.

sinAsinB2bb

从而cos2B=(2sin3)2,即cos?3=4(1—cos?3),故COS23=1.

因为sin3〉0,所以cosBuZsinB〉。，从而cosB=2叵.

5

因此sin(8+]]=cosB=■

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能

力.

16.如图，在直三棱柱ABC—4B1G中，D,E分别为BC,AC的中点，AB=BC.

求证：(1)46〃平面。EG；

(2)BE±CiE.

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

【分析】

(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论;

(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.

【详解】(1)因为，E分别为BC,AC的中点，

所以ED〃AB.

在直三棱柱A8C-A由Ci中，AB//A{Bx,

所以481〃ED

又因为EDu平面。EG,平面。EG,

所以481〃平面。ECi.

(2)因为AB=BC,£为AC的中点，所以8ELAC

因为三棱柱ABC-AtBiCr是直棱柱，所以CC，平面ABC.

又因为BEu平面ABC,所以CC」BE

因为CiCu平面AiACCi,ACu平面4ACG,CiCHAC=C,

所以平面4ACG.

因为GEu平面AiACCi,所以8E_LCi£.

【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力

和推理论证能力.

22

17.如图，在平面直角坐标系尤0y中，椭圆C:二+4=1(。〉6〉0)的焦点为尸i(-1、0),F2(1,0).过

ab

B作x轴的垂线/,在x轴的上方，/与圆/2：(x—1)2+y2=4/交于点A,与椭圆C交于点。连结AF1并

延长交圆B于点B,连结交椭圆C于点E,连结。已知。为=2.

2

(I)求椭圆c的标准方程；

(2)求点E的坐标.

22

【答案】(1)—+^=1;

43

3

(2)£(-1,--).

【解析】

【分析】

(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；

(2)解法一：由题意首先确定直线的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点8的坐标，联立直线8泾

与椭圆的方程即可确定点E的坐标；

解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.

【详解】(1)设椭圆C的焦距为2c.

因为尸i(—1,0),F2(l,0),所以E凡=2,c=l.

又因为DF产AWx轴，所以DF2=5好—F[F；=J(|)2一2?=I"，

因此ZQUOB+OBU%从而4=2.

22z2

由b=d-c9得b=3.

22

因此，椭圆c的标准方程为二+匕=1.

43

(2)解法一:

由(1)知，椭圆C：—+—=1,＜7=2,

43

因为&尸2_1_无轴，所以点A的横坐标为1.

将x=l代入圆F2的方程(无-1)2+俨=16,解得y=+4.

因为点A在x轴上方，所以4(1,4).

又西(-1,0),所以直线AFi：y=2x+2.

y=2x+2

由＜,八22、得5%2+6%-11=0,

(x-1)+y=16

解得X=1或x=-y.

11I?

将无二——代入y—2%+2,得y=——,

11123

因此3(---,---).又尸2(1,0),所以直线BB：y——(%—1).

554

y=—(x-1)

-413

由＜，得7%2_6%—13=0，解得兀=一1或%=一.

匚2匚217

143

又因为E是线段5尬与椭圆的交点，所以％=—1.

333

将x=-l代入y=_(%—l),得,=.因此石(—1,——).

422

解法二：

由⑴知，椭圆C：土+匕=1.如图，连结

43

因为3/2=2°,EFi+EFi=2a,所以EFi=EB,

从而

因为所以/A=/B,

所以/A=NBFiE,从而EFi〃FzA.

因为AELx轴，所以EF」x轴.

x=-1

3

因为E（-l，。）,由〈y2，得y=±-.

—+—=12

143

3

又因为E是线段与椭圆的交点，所以y=—万.

3

因此E（—1,—5）.

【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等

基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.

18.如图,一个湖的边界是圆心为。的圆,湖的一侧有一条直线型公路/,湖上有桥AB{AB是圆。的直径）.规

划在公路/上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路尸夙QA.规划要求:线段尸3、QA上的所有点到点。

的距离均不少于国。的半径.已知点A、8到直线/的距离分别为AC和8。（C、。为垂足），测得A8=10,

AC=6,BD=\2（单位:百米）.

（1）若道路PB与桥A8垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，尸和。中能否有一个点选在。处？并说明理由；

（3）对规划要求下，若道路PB和的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、。两点间的距离.

【答案】（1）15（百米）;

（2）见解析；

（3）17+3®（百米）.

【解析】

【分析】

解：解法一：

(1)过A作垂足为E.利用几何关系即可求得道路尸8的长;

(2)分类讨论产和。中能否有一个点选在。处即可.

(3)先讨论点尸的位置，然后再讨论点。的位置即可确定当d最小时，P、。两点间的距离.

解法二：

(1)建立空间直角坐标系，分别确定点尸和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长;

(2)分类讨论产和。中能否有一个点选在。处即可.

(3)先讨论点尸的位置，然后再讨论点。的位置即可确定当d最小时，P、。两点间的距离.

【详解】解法一：

(1)过A作垂足为E

由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD=8.

因为

84

所以cosZPBD=sinZABE

105

PB=—————=—=15

所以cosZPBD4.

5

因此道路PB的长为15（百米）.

(2)①若P在。处，由(1)可得E在圆上，则线段8E上的点(除8,E)到点。的距离均小于圆。的半

径,所以P选在。处不满足规划要求.

②若。在。处，连结A。，由(1)知AD={AE?+ED?=10，

从而cosZBAD==2_>0,所以NBA。为锐角.

2ADAB25

所以线段AQ上存在点到点。的距离小于圆。的半径.

因此，。选在。处也不满足规划要求.

综上，P和。均不能选在。处.

(3)先讨论点尸的位置.

当尸<90。时，线段网上存在点到点。的距离小于圆。的半径，点P不符合规划要求；

当/02史90。时，对线段PB上任意一点忆OF>OB,即线段PB上所有点到点。的距离均不小于圆。的半

径，点P符合规划要求.

设4为/上一点，且43,45,由（1）知，《3=15,

3

此时sinZPXBD=PXBcosNEBA=l5x-=9；

当NOBP>90。时，中，PB>RB=15.

由上可知,於15.

再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QAN15,点。只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，

CQ=7eA2-AC2=V152-62=3721.此时，线段”上所有点到点。的距离均不小于圆0的半径.

综上，当点。位于点C右侧，且。。=3""时，d最小,此时P,。两点间的距离

PQ=PD+CD+CQ=11+3^/21.

因此，d最小时，P,。两点间的距离为17+301（百米）.

解法二：

（1）如图，过。作08，/,垂足为〃

因为8。=12,AC=6,所以0H=9,直线/的方程为y=9,点A,8的纵坐标分别为3,-3.

因为AB为圆。的直径，43=10,所以圆。的方程为尤2+俨=25.

3

从而A（4,3）,B（-4,-3）,直线42的斜率为一.

4

4

因为尸BLAB,所以直线尸8的斜率为-一，

3

425

直线尸8的方程为y=——半.

所以尸（T3,9）,PB=7（-13+4）2+（9+3）2=15.

因此道路PB的长为15(百米).

(2)①若尸在。处，取线段2。上一点E(-4,0),则£。=4<5,所以尸选在。处不满足规划要求.

②若。在。处，连结AD由(1)知。(-4,9),又A(4,3),

所以线段AD：y=--x+6(—4领k4).

一4

在线段AO上取点M(3,9),因OM=^32+^^<732+42=5;

所以线段上存在点到点。的距离小于圆。的半径.

因此。选在D处也不满足规划要求.

综上，尸和。均不能选在。处.

(3)先讨论点P的位置.

当NO8尸<90。时，线段尸8上存在点到点0的距离小于圆O的半径，点尸不符合规划要求；

当NO8&90。时，对线段PB上任意一点F,OF>OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半

径，点尸符合规划要求.

设耳为/上一点，且《3LAB,由(1)知，［3=15,此时4(—13,9)；

当NO8P>90。时，在中，PB>PlB=15.

由上可知,於15.

再讨论点。的位置.

由(2)知，要使得Q/N15,点。只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.

当Q4=15时，设。(a,9),由<Q=J(a—4=+(9—3)2=15(a>4)，

得。=4+3万，所以Q(4+3呵，9),此时，线段。4上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.

综上，当尸(-13,9),Q(4+3问，9)时，d最小，此时尸，Q两点间的距离

PQ=4+3721-(-13)=17+3721.

因此，d最小时，P,。两点间的距离为17+3jiT(百米).

【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用

数学知识分析和解决实际问题的能力.

19.设函数/0)=(%-4)(无一6)(龙一。),4,4。611,广(X)为了(X)的导函数.

(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;

(2)若*b,b=c,且/(尤)和广(x)的零点均在集合｛-3,1,3｝中，求/(无)的极小值;

4

(3)若a=0,0<。，l,c=l,且/(x)的极大值为求证:MW—.

27

【答案】(1)a=2；

(2)Ax)的极小值为-32

(3)见解析.

【解析】

【分析】

(1)由题意得到关于“的方程，解方程即可确定。的值；

(2)由题意首先确定a力,c的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小

值.

(3)由题意首先确定函数的极大值M的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：

解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；

解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，

因为0<bWl，所以西€(0,1).

当xe(0,1)时，/(%)=x(x-/?)(x-l)<x(x-l)2.

令g(x)=x(x-l)2,xe(0,l),则g'(x)=.

令g'(x)=0,得x=；.列表如下：

1

X(a1)5)

3

g'(x)+0-

g(九)/极大值

所以当X=g时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)max=g

44

所以当xe(0,1)时，/(%)<.?(%)<—,因此药.

【详解】(1)因为〃=b=c,所以/(x)=(x-a)(x-Z?)(x-c)=(x-a)3.

因为/(4)=8,所以(4一。)3=8,解得a=2.

(2)因为b=c,

所以/(x)=(x-a)(x—b)。=x，-(a+2b)x?+b(2a+b)x-ab~,

从而f'M=3(x-6)(x-2"二.令尸(x)=0,得x=b或x=

3

r\i

因为a,反六一，都在集合｛一3,1,3｝中，且出b,

。I入

所以一^^=l,a=3力=一3.

3

止匕时/(x)=(x—3)(%+3)2,f\x)=3(x+3)(x-1).

令r(x)=。，得1=-3或x=l.列表如下:

X(-00,-3)-3(-3,1)1(1,+℃)

/V)+0-0+

f(x)/极大值极小值/

所以/(x)的极小值为/(1)=(1-3)(1+3)2=-32.

(3)因为a=0,c=l,所以/(x)=x(x-b)(x-l)=d-3+1)/+云,

尸(x)=3%2—2(b+l)x+b.

因为0</?Wl,所以/=4(b+l)2—123=(26—1)2+3〉。，

则,「(x)有2个不同的零点，设为%,%(王<电).

由尸(x)=0,得/=b+17；Z^l,x2=b+l+J；-b+l

列表如下:

X(一8,%)X](%，%2)巴什00)

八X)+0-0+

f(x)/