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函数y=eq\f(2-5x2,20+x2)的图像示意图※.函数的定义域∵分式函数的分母20+x2>0,对任意的x都成立,则自变量x可以取全体实数,∴函数y=eq\f(2-5x2,20+x2)的定义域为(-∞,+∞)。※.函数的单调性本步骤用导数知识来判断,先求函数的一阶导数:∵y=eq\f(2-5x2,20+x2)∴eq\f(dy,dx)=eq\f(-10x(20+x2)-2x(2-5x2),(20+x2)2)=-2*102*eq\f(x,(20+x2)2),则函数的单调性为:(1).当x≥0时,eq\f(dy,dx)≤0,此时函数y在定义域上为减函数;(2).当x<0时,eq\f(dy,dx)>0,此时函数y在定义域上为增函数。此时x=0处,函数y有最大值,即:ymax=f(0)=eq\f(2-0,20+0)=eq\f(1,10).※.函数的值域把函数y=eq\f(2-5x2,20+x2)变形为x2的二次方程为:(20+x2)y=2-5x2(5+y)x2=2-20y则有:x2=eq\f(2-20y,5+y)≥0,解出:-5<y≤eq\f(1,10),所以函数y的值域为:(-5,eq\f(1,10)]。※.函数的凸凹性∵eq\f(dy,dx)=-2*102*eq\f(x,(20+x2)2),∴eq\f(d2y,dx2)=-2*102*eq\f((20+x2)2-4x2(20+x2),(20+x2)4)eq\f(d2y,dx2)=2*102*eq\f(3x2-20,(20+x2)3),令eq\f(d2y,dx2)=0,则3x2-20=0,则x1=-eq\f(2\r(15),3),x2=eq\f(2\r(15),3),此时函数的凸凹性为:(1).当x∈(-∞,-eq\f(2\r(15),3))∪(eq\f(2\r(15),3),+∞)时,eq\f(d2y,dx2)>0,此时函数y的图像为凹曲线;(2).当x∈[-eq\f(2\r(15),3),eq\f(2\r(15),3)]时,eq\f(d2y,dx2)≤0,此时函数y的图像为凸曲线。※.函数的奇偶性∵f(x)=eq\f(2-5x2,20+x2),∴f(-x)=eq\f(2-5(-x)2,20+(-x)2)=eq\f(2-5x2,20+x2),即f(-x)=f(x),则函数为偶函数,其图像关于y轴对称。.函数的五点图表x01.292.583.875.162-5x22-6.32-31.28-72.88-131.1320+x22021.6626.6634.9846.63y0.10-0.29-1.17-2.08-2.81x-5.16-3.87-2.58-1.2902-5x2-131.13-72.88-31.28-6.32220+x246.6334.9826.6621.6620y-2.81-2.08-1.17-0.290.10.函数的图像示意图y=eq\f(2-5x2,20+x2) y(0,0.10)(-1.29,-0.29)(1.29,-0.29)(-2.58,-1.17)(2.58,-1.17)(-3.87,-2.08)(3.87,-2.08)
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