2018-2019学年广东省深圳市龙华区九年级（上）期末数学试卷

2018-2019学年广东省深圳市龙华区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一

个是正确的）

1.（3分）方程/=4x的根是（）

A.x=4B.x=0C.xi=0,X2=4D.XI=0,X2=-4

2.（3分）如图所示为某几何体的示意图，则该几何体的主视图应为（）

的值是（）

N.殳B.8C.6D.-6

22

4.（3分）如图，已知四边形A8C。中，E、尸分别为AB、CD上的两点，S.AD//BC//EF,

AB=4BE,则。尸与尸C的关系是（）

5.（3分）如图，已知菱形ABC。中，ZA=40°,则NAO8的度数是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

6.（3分）如图，DE//BC,CD与BE相交于点0,若：&D0E.则处的值为（）

^ABOC4AC

7.（3分）将抛物线>=/向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线

的表达式为（）

A.y=（x+2）2-5B.y—（x+2）2+5C.y=（x-2）2-5D.y—（x-2）2+5

8.（3分）某商品房原价60000元/«?,经过连续两次降价后，现价48600元加2,求平均每

次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x,依题意可列方程为（）

A.60000（1-2%）=48600B.60000（1-%）2=48600

C.48600（l+2x）=60000D.48600（1+x）2=60000

9.（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌

谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长

几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一

根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为

（）

干\标k

\用\

A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺

10.（3分）下列命题中，是真命题的是（）

A.对角线相等的平行四边形是正方形

B.相似三角形的周长之比等于相似比的平方

C.若方程Ax?_2x-1=0有两个不相等的实数根，则k>-1

D.若一个斜坡的坡度为1：\/厉，则该斜坡的坡角为30°

11.（3分）已知二次函数尸4/+a+°"#0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A.abc<0B.2a+b<QC.b2-4ac<0D.a+b+c<0

12.（3分）如图，在边长4的正方形ABC。中，E是边8c的中点，将△（?£>£■沿直线。E

折叠后，点C落在点尸处，再将其打开、展平，得折痕。£.连接CRBF、EF,延长

BF交AD于点、G.则下列结论：①BG=DE；@CF±BG；③sin/Z）FG=L；@SADFG

2

=丝，其中正确的有（）

5

A.I个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每小题3分，共12分.请把答案填在答题卷相应的表格里）

13.（3分）若x=2是方程X?-尤-c=0的一个根，则c=.

14.（3分）已知2=2,则总也=.

b3a

15.（3分）如图，以矩形ABC。的对角线AC为一边向左下方作正方形ACER延长AB交

EF于点G,若A8=3,8c=4,则EG的长为.

16.（3分）如图，已知函数y=x+2的图象与函数y=K"晨#0）的图象交于A、8两点，连

X

接2。并延长交函数y=k（%#0）的图象于点C,连接AC,若△ABC的面积为8.则左

三、解答题（本题共7小题，共52分）

17.（5分）计算：（［）1-tan245°+2cos30°・sin60°

2

18.（5分）x2-2x-15=0.

19.（8分）小亮正在参加学校举办的古诗词比赛节目，他须答对两道单选题才能顺利通过

最后一关，其中第一题有A、B、C、。共4个选项，第二题有A、B、C共3个选项，而

这两题小亮都不会，但小亮有一次使用“特权”的机会（使用“特权”可去掉其中一题

的一个错误选项）.

（1）如果小亮第一题不使用“特权”，随机选择一个选项，那么小亮答对第一题的概率

是;

（2）如果小亮将“特权”留在第二题，请用画树状图或列表法来求出小亮通过最后一关

的概率.

20.（8分）为庆祝改革开放40周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金

融中心”A8的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角/ECZ）=

32。.登上大厦。£的顶部E处后，测得“平安中心”AB的顶部A处的仰角为60°,（如

图）.已知C、D、8三点在同一水平直线上，且0）=400米，08=200米.

（1）求大厦。E的高度；

（2）求平安金融中心AB的高度；

（参考数据：sin32°弋0.53,cos32°弋0.85,tan32°^0.62,我心1.41,«心1.73）

21.（8分）深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产成本为200元，试销

过程中发现，每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的关系可以近似的看作一次函

数、=-0.2X+260,设每月的利润为w（元）（利润=销售额-投入）.

（1）该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为多少元？

（2）如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完

这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？

22.（8分）如图11,在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在

y轴上，。4=8,OC=4,点尸为对角线AC上一动点，过点P作尸尸。交x轴于

点

（1）tanZACB=；

（2）在点P从点C运动到点A的过程中，骂■的值是否发生变化？如果变化，请求出其

PB

变化范围；如果不变，请求出其值；

（3）若将△QA2沿直线BQ折叠后，点A与点尸重合，则PC的长为

23.（10分）如图1,在平面直角坐标系中，已知A（-l,0）、C、（0,-2）,以AC为一

边向右上方作正方形ACQE,其中点。在第四象限，点E在第一象限，过点E作直线/

〃y轴，抛物线y=/+bx+c（aWO）的对称轴为直线/,且经过A、C两点，与x轴的另

一交点为B.

（1）点E的坐标为，该抛物线的函数表达式为；

（2）设抛物线的顶点为M,连接在抛物线上是否存在点N,使

2

若存在，请求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）过点。作直线机〃x轴，交直线/于点R如图2.动点P从抛物线的顶点M出发,

沿抛物线的对称轴/向上运动,与此同时，动点。从点F出发，沿直线机向右运动，连

接PQ、PB、BQ.设P、。两点运动的速度均为1个单位长度/秒，运动的时间为，秒，

△P8。的面积为S.请直接写出S与，之间的函数关系式，并写出自变量f的取值范围.

2018-2019学年广东省深圳市龙华区九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一

个是正确的）

1.（3分）方程/=4x的根是（）

A.x=4B.%=0C.xi=0,X2=4D.XI=0,X2=-4

【考点】A8：解一元二次方程-因式分解法.

【专题】11：计算题；521：一次方程（组）及应用.

【分析】原式利用因式分解法求出解即可.

【解答】解：方程整理得：x（x-4）=0,

可得尤=0或x-4=0,

解得：xi=0,%2=4,

故选：C.

【点评】此题考查了一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的

关键.

2.（3分）如图所示为某几何体的示意图，则该几何体的主视图应为（）

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【分析】几何体的主视图就是从正面看所得到的图形，注意所有的看到的棱都应表现在

主视图中.

【解答】解：从正面看可得到图形

故选：A.

【点评】本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，关键是

掌握主视图所看的位置.

3.（3分）若点（1,-3）、（-2,m）都是反比例函数〉=上（左力0）的图象上的点，则机

x

的值是（）

A.上B.乡C.6D.-6

22

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】用待定系数法确定反比例函数的比例系数上，求出函数解析式，再把点（-2,

m）代入可求根的值.

【解答】解：•点（1,-3）是反比例函数y=N（左WO）的图象上的点，

X

：.k=-3X1=-3

反比例函数解析式：>=二2

X

♦..点（-2,机）都是反比例函数丫=二乏的图象上的点，

X

•m=3

2

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐

标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

4.（3分）如图，已知四边形ABC。中，E、尸分别为AB、上的两点，宣XD//BCHEF,

AB^4BE,则。尸与PC的关系是（）

BC

A.DF=4FCB.DF=3FCC.DF《FCD-DF=2FC

【考点】S4：平行线分线段成比例.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】由AB=4BE知即胆=3,根据A£>〃BC〃EP得此=坐=3,从而

BEFCBE

得出答案.

【解答】解:'：AB=4BE,

：.AE^3BE,即坐=3,

BE

'：AD//BC//EF,

•••D,-F_-A--E_o3,

FCBE

贝!JDF=3FC,

故选:B.

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题

的关键.

5.（3分）如图，己知菱形A8CD中，ZA=40°,则NAOB的度数是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【考点】L8：菱形的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】根据菱形的对角线平分一组对角即可解决问题.

【解答】解：：四边形A8CD是菱形，

：.AB//CD,NADB=NCDB,

：.ZA+ZADC=180°,

VZA=40°,

：.ZADC=140°,

：.ZADB=Lxi40°=70°,

2

故选：D.

【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

6.（3分）如图，DE//BC,与3E相交于点。，若也些则鲤■的值为（）

^ABOC4AC

【考点】S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】El3DE//BC,得到△DOEs^cOB,根据相似三角形的性质得到S“OE：S&COB

=（匹）2=1：4,求得迈=工，通过△AOEs△ABC即可得到结论.

BCBC2

【解答】解：,：DE//BC,

△DO—△COB,

S^DOE:S^COB—（^5_）2=1：4,

BC

•DE=1

"BCT

'：DE//BC,

：.AWEs△age,

•AE=DE=1

"ACBCT

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，比例的性质，证得些=!是解题的关键.

BC2

7.（3分）将抛物线y=/向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线

的表达式为（）

A.尸（x+2）2-5B.y=（尤+2）2+5C.产（%-2）2-5D.产（%-2）2+5

【考点】H6：二次函数图象与几何变换.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可.

【解答】解：抛物线＞=/的顶点坐标为（0,0）,

先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为(-2,-5),

所以，平移后的抛物线的解析式为y=(x+2)2-5.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，

上加下减.并根据规律利用点的变化确定函数解析式.

8.(3分)某商品房原价60000元/«?,经过连续两次降价后，现价48600元加2,求平均每

次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x,依题意可列方程为()

A.60000(1-2%)=48600B.60000(1-%)2=48600

C.48600(l+2x)=60000D.48600(1+x)2=60000

【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】此题利用基本数量关系：商品原价X(1-平均每次降价的百分率)=现在的价

格，列方程即可.

【解答】解：由题意可列方程是：6000(1-/)=48600.

故选：B.

【点评】此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价X(1-平均每次降价

的百分率)=现在的价格.

9.(3分)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌

谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长

几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一

根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为

()

千\标k

\杆1%

A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺

【考点】SA：相似三角形的应用.

【专题】55：几何图形.

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.

【解答】解：设竹竿的长度为尤尺，

•••竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，

.•.工以巨，解得尤=45（尺）.

15-0.5

故选:B.

【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题

的关键.

10.（3分）下列命题中，是真命题的是（）

A.对角线相等的平行四边形是正方形

B.相似三角形的周长之比等于相似比的平方

C.若方程fcr-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k＞-1

D.若一个斜坡的坡度为1：V3.则该斜坡的坡角为30°

【考点】01：命题与定理.

【专题】556：矩形菱形正方形；55D：图形的相似.

【分析】根据正方形的判定，相似三角形的性质，一元二次方程的根的判别式，坡度坡

角的定义一一判断即可.

【解答】解：4对角线相等的平行四边形是正方形，是假命题，应该是对角线相等的平

行四边形是矩形；

8、相似三角形的周长之比等于相似比的平方，是假命题，应该是相似三角形的周长之比

等于相似比；

C、若方程扇-2x-1=0有两个不相等的实数根，则上＞-1,是假命题，应该是左＞-

1且20；

D、若一个斜坡的坡度为1：V3,则该斜坡的坡角为30。，是真命题；

故选：D.

【点评】本题考查正方形的判定，相似三角形的性质，一元二次方程的根的判别式，坡

度坡角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

11.（3分）已知二次函数尸0?+云+°（°力0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A.abc<0B.2a+b<0C.b1-4ac<0D.a+b+c<Q

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】由抛物线的开口方向判断。与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的

关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【解答】解：抛物线开口向上，得：。>0；

抛物线交y轴于负半轴，得：c<0；

对称轴尤=-->0,

2a

所以6<0;

所以abc>Q；

由图象可知：0<-―<1,

2a

所以-b<2a,即2a+b>0；

由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=廿-4℃>0；

由图可知：当尤=1时，y<0,

所以a+b+c<0；

故选：D.

【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与6的关

系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.

12.（3分）如图，在边长4的正方形ABC。中，E是边8c的中点，将△（7£）£沿直线。E

折叠后，点C落在点尸处，再将其打开、展平，得折痕。£连接CRBF、EF,延长

BF交AD于点、G.则下列结论：①BG=DE；@CF1,BG；③sin/Z）FG=L；@S^DFG

2

=丝，其中正确的有（）

5

A.GD

BEC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；PB：翻折变换(折叠问

题)；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形.

【专题】555：多边形与平行四边形；556：矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称.

【分析】根据正方形的性质得到A2=BC=A£)=C£)=4,NABC=/BCD=90°,根据

折叠的性质得到=CD=4,EF=CE=2,ZDFE=ZDCE=90°,ZDEF=ZDEC,

根据三角形的内角和和平角的定义得到NGBE=/QEC,根据平行线的性质得到BG//

DE,推出四边形BEOG是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BG=OE,故①正确;

根据等腰三角形的性质得到NEPC=NEC〃，根据三角形的内角和得到NBFC=90°,求

得CF工BG,故②正确；根据余角的性质得到根据三角函数的定义得

至sin/£)FG=sinNABG=&L=_4=_=亚■,故③错误；过G作G8_L。尸于X,根据

BG2755

跟勾股定理得到DH=^DG2_X2,根据三角形的面积公式得到SADFG=1X4X1.2=

丝，故④正确.

5

【解答】解：・・•四边形A8CD是正方形，

：.AB=BC=AD=CD=4fZABC=ZBCD=90°,

丁石是边的中点，

；.BE=CE=2,

・・•将△口)石沿直线DE折叠得到△。厂E,

:・DF=CD=4,EF=CE=2,ZDFE=ZDCE=90°,ZDEF=ZDEC,

:.EF=EB,

：.ZEBF=NBFE,

•；/EBF=NBFE=L(180°-NBEF),NCED=NFED=L(180°-/BEF),

22

:./GBE=/DEC,

：.BG//DE,

'JBE//DG,

四边形BEDG是平行四边形，

：.BG=DE,故①正确；

,:EF=CE,

：./EFC=ZECF,

：.ZFBE+ZBCF=ZBFE+ZCFE=LX180°=90°,

2

.\ZBFC=90°,

?.CFLBG,故②正确；

,/ZABG+ZCBG=ZBFE+ZDFG^90°,

NABG=/DFG,

'：AB=4,DG=BE=2,

：.AG=2,

:.BG=2炳,

...sin/£>PG=sin/ABG=£^=—匹，故③错误;

BG2^55

过G作GH1.DF于H,

：tanZGFH=tanZABG=L,

2

.•.设G8=x,则切=2x,

,•"=限寸

DF=FH+DH=2.r+^DG2_x2=4,

解得：x=1.2,x=2（舍去），

；.GH=1.2,

SADFG=—X4X1.2=A2,,故④正确；

25

故选：c.

----------7--------------KD

/、/1

/、/I

//*/I

」4/

B

【点评】本题考查了正方形的性质，翻折变换，平行四边形的判定和性质，勾股定理，

三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共12分.请把答案填在答题卷相应的表格里）

13.（3分）若x=2是方程/-x-c=0的一个根，则c=2.

【考点】A3：一元二次方程的解.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】根据一元二次方程的解，把x=2代入7-4x+c=0可求出c的值.

【解答】解：把x=2代入/-x-c=0得4-2-c=0,

解得c=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

14.（3分）已知2=2,则空也=2.

b3a~2~

【考点】S1：比例的性质.

【分析】用》表示出。，然后代入比例式进行计算即可得解.

【解答】解：•.•2=2,

b3

3

故答案为：—.

2

【点评】本题考查了比例的性质，用6表示出a是解题的关键.

15.（3分）如图，以矩形ABCQ的对角线AC为一边向左下方作正方形ACER延长A8交

所于点G,若AB=3,BC=4,则EG的长为生.

—4―

D

【考点】LB：矩形的性质；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】根据勾股定理得到AC=5,根据正方形的性质得到AF=AC=FE=5,NHC=

90。，根据余角的性质得到/硒G=NACB,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：•••四边形A8C£）是矩形，

AZABC=90",

:A2=3,BC=4,

：.AC=5,

:四边形AFEC是正方形，

：.AF^AC^FE^5,ZMC=90°,

：.ZFAG+ZCAB=ZCAB+ZACB=90°,

ZFAG=ZACB,

'：ZF=ZABC=90°,

AAFG^AABC,

•AF=FG

"BCAB；

"7亍

；.尸6=①，

4

：.GE=FE-FG=反,

4

故答案为：反.

4

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握

相似三角形的判定和性质是解题的关键.

16.（3分）如图，已知函数y=x+2的图象与函数y=K"的图象交于A、2两点，连

接8。并延长交函数y=K(左。0)的图象于点C,连接AC,若△ABC的面积为8.则左

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】连接OA.根据反比例函数的对称性可得。8=。。那么SAOAB=SAOAC=^SA

2

ABC=4.求出直线y=x+2与y轴交点。的坐标.设A(a,a+2),B(b,6+2),则C(-

b,-6-2),根据SAOAB=4,得出。-6=4①.根据SAO4C=4,得出-a-6=2②，

①与②联立，求出a、b的值，即可求解.

【解答】解：如图，连接04

由题意，可得OB=OC,

.".S^OAB—S^OAC—^S^ABC—4.

2

设直线y=x+2与y轴交于点Q,则。(0,2),

设A(a,a+2),B(b,6+2),贝!|C(-6,-b-2),

•'.SAOAB=—X2X(a-Z?)—4,

2

.,.a-b=4①.

过A点作AMLx轴于点M,过C点作CNLx轴于点N,

则S&OAM=SAOCN=L,

2

S^OAC—S^OAM+S梯形AMNC-SAOCN=S梯形AMNC=4,

：.L(-6-2+a+2)Q-b-a)=4,

2

将①代入，得

-a-b=2②，

①+②，得-2b=6,b—-3,

①-②，得2a=2,a—1,

.*.A(1,3),

.,.左=1X3=3.

故答案为3.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，反比例函

数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式等知识，综合性较

强，难度适中.根据反比例函数的对称性得出08=0C是解题的突破口.

三、解答题（本题共7小题，共52分）

17.（5分）计算：（［）1-tan245°+2cos30°•sin60°

2

【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幕；T5：特殊角的三角函数值.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数塞的性质分别化简得出答案.

【解答】解：原式=2-1+2XY3XY3

22

=_5

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

18.（5分）％2-2尤-15=0.

【考点】A8：解一元二次方程-因式分解法.

【专题】11：计算题.

【分析】利用十字相乘法将方程左边的多项式分解因式，利用两数相乘积为0,两因式中

至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解.

【解答】解：/-2x-15=0,

分解因式得：（尤-5）（尤+3）=0,

可得x-5=0或x+3=0,

解得：xi=5,X2=-3.

【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程

右边化为0,左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转

化为两个一元一次方程来求解.

19.（8分）小亮正在参加学校举办的古诗词比赛节目，他须答对两道单选题才能顺利通过

最后一关，其中第一题有A、B、C、。共4个选项，第二题有A、B、C共3个选项，而

这两题小亮都不会，但小亮有一次使用“特权”的机会（使用“特权”可去掉其中一题

的一个错误选项）.

（1）如果小亮第■题不使用“特权”，随机选择■个选项，那么小亮答对第■题的概率

是1;

一4—

（2）如果小亮将“特权”留在第二题，请用画树状图或列表法来求出小亮通过最后一关

的概率.

【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】（1）由第一道单选题有4个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小亮顺利通关的情

况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：（1）•••第一道单选题有4个选项，

小亮答对第一道题的概率是：工；

4

故答案为：1；

4

（2）若第二道选择“特权”，

画树状图可得：

AAA?B

•••共有8种等可能的结果，小亮顺利通关的只有1种情况,

此时小亮通过最后一关的概率为L.

8

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

20.（8分）为庆祝改革开放40周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金

融中心”A8的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角/EC£）=

32°.登上大厦。E的顶部E处后，测得“平安中心”的顶部A处的仰角为60°,（如

图）.已知C、。、B三点在同一水平直线上，且CQ=400米，08=200米.

（1）求大厦。E的高度；

（2）求平安金融中心A2的高度；

（参考数据:sin32°仁0.53,cos32°*0.85,tan32°弋0.62,企量1.41,旧心1.73）

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】（1）在Rt^OCE中，根据正切函数的定义即可求出大厦OE的高度；

（2）作EF1AB于F.由题意，得EF=DB=200米，BF=DE,ZAEF=60°.在Rt

△AFE中，根据正切函数的定义得出那么

【解答】解：（1）•在RtzXOCE中，NCDE=90：/ECD=32°,C£>=400米，

/.£>£=CD•tanZEC£>«=400X0.62=248（米）.

故大厦DE的高度约为248米；

（2）如图，作于?

由题意，得跖=。3=200米，8尸=£>E=248米，ZAEF=60°.

•.•在Rt^AFE中，ZAF£=90°,

.".AF=EF»tanZAEF«200X1.73=346（米），

?.AB=BF+AF=248+346=594（米）.

故平安金融中心AB的高度约为594米.

【点评】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题.此题难度适中，注意能借助

仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键.

21.（8分）深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产成本为200元，试销

过程中发现，每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的关系可以近似的看作一次函

数y=-0.2x+260,设每月的利润为w（元）（利润=销售额-投入）.

（1）该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为多少元？

（2）如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完

这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？

【考点】AD：一元二次方程的应用；HE：二次函数的应用.

【专题】536：二次函数的应用.

【分析】（1）根据月销售利润=月销量X（单件售价-单件制造成本），构建方程即可解

决问题；

（2）构建不等式求出x的取值范围，再利用二次函数的性质解决问题即可.

【解答】解：（1）由题意得，（-0.2x+260）（%-200）=36000,

解得：Xi=1100,X2=400.

答：销售单价定为1100元或400元时厂商每月能获得36000万元的利润；

（2）由题意：200（-0.2x+260）W20000,

解得尤2800,

Vw=（-0.2x+260）（尤-200）=-0.2x2+300x-52000,

...函数的对称轴x=750,开口向下，

.'.x=800时利润最大，最大利润为60000元.

答：所获得的最大利润为60000元，此时定价应为800元.

【点评】本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出月

销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用.

22.(8分)如图11,在平面直角坐标系中，已知矩形0ABe的顶点A在x轴上，顶点C在

y轴上，04=8,OC=4,点尸为对角线AC上一动点，过点P作尸QLPB,PQ交x轴于

点

(1)tanZACB——；

—2—

(2)在点尸从点C运动到点A的过程中，骂•的值是否发生变化？如果变化，请求出其

PB

变化范围；如果不变，请求出其值；

(3)若将△QAB沿直线8。折叠后，点A与点P重合，则尸C的长为一岑5_.

【考点】SO：相似形综合题.

【专题】15：综合题.

【分析】(1)根据矩形的性质求出/ABC=90°,BC=OA=S,AB=OC=4,最后用锐

角三角函数的定义即可得出结论；

(2)设出PE=a,利用锐角三角函数得出CE=2a,得出BE=2(4-2a),再判断出4

BEPs^PFQ,进而得出E。，即可得出结论；

(3)根据折叠的性质，判断出BQLAC,AD=PD=1AP,再用勾股定理求出AC,判断

2

出得出A。，进而求出AP,即可得出结论.

【解答】解：(1),••四边形。42c是矩形，

/.ZABC=90°,8C=OA=8,A8=0C=4,

在RtZXABC中，tan/ACB=_^=L,

BC2

故答案为：1；

2

(2)骂■的值不发生变化，其值为工,

PB2

理由：如图,

过点尸作PF±0A于F,FP的延长线交BC于E,

J.PELBC,四边形。在1C是矩形，

：.EF=OC=4,

设PE=a,贝！jPF=EF-PE=4-a,

在RtzXCEP中，tan/ACB=F^=L,

CE2

:.CE=2PE=2a,

：.BE=BC-CE=8-2a=2(4-a),

'：PQ±PB,

：.ZBPE+ZFPQ^9Q°,

•；/BPE+/PBE=90°,

：.ZFPQ=ZEBP,

'：ZBEP=ZPFQ=90°,

^BEP^^PFQ,

•••PEBE_-BP，,

FQ-PFPQ

•a_2(4-a)

FQ4-a

2

•PQ_FQ=qa=i

"PB-^PE工T

(3)如备用图，

•..将△QA3沿直线3。折叠后，点A与点P重合，

：.BQ±AC,AD=PD=LAP,

在Rt^ABC中，AB=4,BC=8,根据勾股定理得，AC=«菖用=4*、后,

'：ZBAC^ZDAB,ZADB^ZABC^90°,

：.AABC^AADB,

•ABAC

"AD^AB'

.4475

•---------,

AD4

2唔

：.PC^AC-AP^AC-2AD=4旄-2xi/^=

55

故答案为：三匹.

X

【点评】此题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相

似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，构造出相似三角形表示出B尸和尸。是

解本题的关键.

23.（10分）如图1,在平面直角坐标系中，已知A（-1,0）、C、（0,-2）,以AC为一

边向右上方作正方形ACQE,其中点。在第四象限，点E在第一象限，过点E作直线/

〃y轴，抛物线y=a/+bx+cQW0）的对称轴为直线/,且经过A、C两点，与x轴的另

一交点为B.

（1）点E的坐标为（1,1），该抛物线的函数表达式为一^2二-&-2；

（2）设抛物线的顶点为连接M8.在抛物线上是否存在点N,使/A®A=L/M8A?

2

若存在，请求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）过点。作直线机〃x轴，交直线/于点R如图2.动点尸从抛物线的顶点M出发，

沿抛物线的对称轴/向上运动，与此同时，动点。从点尸出发，沿直线机向右运动，连

接P0、PB、BQ.设P、0两点运动的速度均为1个单位长度/秒，运动的时间为f秒，

△尸2。的面积为S.请直接写出S与f之间的函数关系式，并写出自变量f的取值范围.

【专题】26：开放型；31：数形结合；32：分类讨论；41：待定系数法.

【分析】（1）证明△AOCgZXESA（AAS）即可求解；

（2）分当8N在/M8A的内部、的外部两种情况求解即可；

（3）禾！］用S=S梯形PQ75-SAPBS-SAQTS,即可求解.

【解答】解：（1）设直线直线/交x轴于点S,

ZEAS+ZCAS=90°，ZSEA+ZEAS=90°,

ZAES^ZCAS,

NAOC=NASE=90°,AC^AE,

：.AAOC^AESA(AAS),

：.OA=SE=1,CO=AS=2,

故点E坐标为（1,1）,

同理可得点。坐标为（2,1）,

2_

b1a-

x二三口,

由题意得：-c，解得：14

a-b+c=0-3

c=-2

c=-2

故抛物线的表达式为：丁=2幺-£-2…①,

33

故：答案为：（1,1）、y=2/-&-2；

33

（2）存在，理由:

①当BN在NA/A4的内部时，如上图,

设直线BN交直线/于点X,过点H作HGLBM交8M于点G,

NNBA=L/MBA,：.SH=HG=a,

2

tanZSBA/=.?^-=A=tana,cosa=—

SB35

在RtZXHGM中，HM=^-a,HG=a,

3

sinZ//A/G=cosa=I^-=--—=—,解得：a=l,

HM5

3-a

即点H的坐标为（1,-1）,

把点从8的坐标代入一次函数表达式：>=依+6得：17=k+b,解得：，

l0=3k+b

故直线/ffi的表达式为：y=L-3…②，

"22

将①②联立并解得：尤=-3或-L（舍去尤=-3）,

4

故点N的坐标为（-L,-竺），

48

②当BN在NMBA的外部时，

同理可得：点N的坐标为（-工，11）,

48

故：点N的坐标为（-L-坦）或（-工，」2）；

4848

（3）如图，过点。作QTL尤轴交于点T,

m

①当OV^g,此时点尸在x轴下方,

3

则点P、。的坐标分别为(1,—-+0-.(1+31)，

3

S=S梯形PQTS-SAPBS-SAQ7B=L(1+区-f)--x<7(Jzi-r)-A.X1X(l+r-3)

23232

=1?+H

233

即：s=l_?-L+2

233

②当&<rW3,此时点尸在尤轴上方，在点B左方，

3

同理可得：-1?+Xr--5；

233

③当r>3时，

同理可得：s=