2024年江苏省南京市浦口区桥林中学、星甸中学联合模拟考试模拟预测九年级数学试题

数学作业单（满分：120分考试时间：120分钟）1.（单选题，2分）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（）A.3×108B.3×109C.3×1010D.3×10112.（单选题，2分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（）A.12（x+4.5）=x-1B.12（x+4.5）=x+C.12（x+1）=x-4.53.（单选题，2分）下表是研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格：所挂物体重量x（kg）12345弹簧长度y（cm）1012141618则弹簧不挂物体时的长度为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm4.（单选题，2分）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG||AD交AE于点G．若cosB=14A.3B.83C.21535.（单选题，2分）已知二次函数y=ax2-bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥-1时，x的取值范围为x≤t-1或x≥-3-t．则如下四个值中有可能为m的是（）A.1B.2C.3D.46.（单选题，2分）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．

下列结论：①CH=BE；②S△GCE=S△GDH；③当点E是CD的中点，5GF=4GE；④当EC=2DE时，S正方形ABCD=5S四边形DEGH．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.47.（填空题，2分）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根，那么a的取值范围是___．8.（填空题，2分）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为___．9.（填空题，2分）若点A（-3，y1），B（-1，y2）都在反比例函数y=6x的图象上，则y1___y210.（填空题，2分）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设直角三角形中___．11.（填空题，2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（6，0），B（0，8），P，Q是两个动点，其中点P以每秒2个单位长度的速度沿折线AOB（按照A-O-B）的路线运动，点Q以每秒5个单位长度的速度沿折线BOA（按照B-O-A）的路线运动，运动过程中点P和Q同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为t秒，直线l经过原点O，且l||AB，过点P，Q分别作l的垂线段，垂足为E，F，当△OPE与△OQF全等时，t的值为___．12.（填空题，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=-1，它的图象经过点A（1，y1），B（-2，y2），C（-4，0）．对于下列四个结论：①y1＜y2；②c=-8a；③方程ax2+bx+c=0的解为x1=-4，x2=2；④对于任意实数t,总有a（t2+9）+bt+c≤0．其中正确的结论是___（填写序号）．13.（填空题，4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（2，0），点M为x轴上方一动点，且MA=2，以点M为直角顶点构造等腰直角三角形BMP，当线段AP取最大值时，AP=___，点M的坐标为___．14.（填空题，2分）已知在△ABC中，∠A=40°，D为边AC上一点，△ABD和△BCD都是等腰三角形，则∠C的度数可能是___．15.（填空题，2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BF平分∠ABC，过点C作CF⊥BF于F点，过A作AD⊥BF于D点，AC与BF交于E点，下列四个结论：①BE=2CF；②AD=DF；③AD+DE=1216.（填空题，2分）在▱ABCD中，O为AC的中点，点E，M为▱ABCD同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），EO，MO的延长线分别与▱ABCD的另一边交于点F，N．

下面四个推断：

①四边形ABFM是平行四边形；

②四边形ENFM是平行四边形；

③若▱ABCD是矩形（正方形除外），则至少存在一个四边形ENFM是正方形；

④对于任意的▱ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形．

其中，正确的有___．（问答题，6分）计算：

（1）（-2022）0+22×|-1|×（-13）-2；（2）2020×2022-20212．18.（问答题，6分）解不等式组：3x＞19.（问答题，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-2，0），点B（0，2），点C在直线y=-3上．

（1）如果△ABC是直角三角形，写出此时点C的坐标：___；

（2）当△ABC与△ABO的面积相等时，写出此时点C的坐标：___．（问答题，8分）如图，点D和点E分别在AB、AC边上，BE平分∠ABC，BE、CD相交于点F，∠ABE=∠ACD．

求证：EC2=EF•EB；（2）DF：BF=EC：BC．21.（问答题，11分）在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线，点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1；P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点（-2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）．根据定义，回答下列问题：

（1）点（3，4）的一次反射点为___，二次反射点为___；

（2）当点A在第三象限时，点M（-4，1），N（3，-1），Q（-1，-5）中可以是点A的二次反射点的是___；

（3）若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，∠A1OA2=50°，求射线OA与x轴所夹锐角的度数；

（4）若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，请直接写出点A在平面直角坐标系xOy中的位置．

22.（问答题，8分）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、AB上，AE2=BE•AD，EF=EB．

（1）求证：AF•DE=AE•EC；

（2）如果AE=AB，求证：EF||AC．23.（问答题，10分）阅读下列材料：

让我们来规定一种运算：abcd=ad-bc,

例如：2431=2×1-4×3=-10，再如：x6y2=2x-6y.

按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：

①−24.（问答题，9分）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE||AC，交BC于点E．

①若DE=1，BD=32，求BC的长；②如果△ACD是等腰三角形，请直接写出ADAC的值；

（2）如图2，∠CBD和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBD，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE||AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S325.（问答题，10分）喜欢动手的小马同学收集了很多套三角板，以下是他利用三角板进行的数学探究：

（1）小马同学将两个大小相同的含有30°，60°的三角板如图1所示放置，即AB=AE，AC=AD，BC=ED，∠ACB=∠ADE=90°，连接BE、CD交于点F，小马同学发现FB=FE，请给出证明；

（2）小马同学将两个大小不同的等腰直角三角板如图2所示放置，即AB=AC，AD=AE，∠EAD=∠CAB=90°，连接BE、CD交于点F．当DE=BE时，请写出∠AEC与∠BEC之间的数量关系，并证明．26.（问答题，14分）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在边AB上，点F边OB中点，为以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，联结EF交OD于点G．

（1）如果OG=DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；

（2）如图（2）所示，联结OE，如果∠BAC=90°，∠OFE=∠DOE，AO=4，求边OB的长；

（3）联结BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO=OF，求OGOD的值．

数学作业单参考答案与试题解析1.（单选题，2分）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（）A.3×108B.3×109C.3×1010D.3×1011【正确答案】：D【解析】：运用科学记数法进行变形、求解．

【解答】：解：3000亿=3000×108=3×1011，

故选：D．

【点评】：此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．2.（单选题，2分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（）A.12B.12C.12D.12【正确答案】：A【解析】：设木长x尺，根据题意列出方程解答即可．

【解答】：解：设木长x尺，根据题意可得：

12x+4.5【点评】：此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键．3.（单选题，2分）下表是研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格：所挂物体重量x（kg）12345弹簧长度y（cm）1012141618则弹簧不挂物体时的长度为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【正确答案】：C【解析】：根据表格的数据，结合实际问题，通过待定系数法求解．

【解答】：解：因为弹簧伸长的长度与所挂的物体的重量成正比，设y=kx+b,

由表格得：x+b=102x+b=12，

解得：【点评】：本题考查了函数的表示方法，待定系数法是解题的关键．4.（单选题，2分）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG||AD交AE于点G．若cosB=14A.3B.83C.215D.52【正确答案】：B【解析】：方法一：过点A作AH⊥BE于点H，过点F作FQ⊥AD于点Q，根据cosB=BHAB=14，可得BH=1，所以AH=15，然后证明AH是BE的垂直平分线，可得AE=AB=4，设GA=GF=x,根据S梯形CEAD=S梯形CEGF+S梯形GFDA【解答】：解：方法一，如图，过点A作AH⊥BE于点H，过点F作FQ⊥AD于点Q，

∵菱形ABCD的边长为4，

∴AB=AD=BC=4，

∵cosB=BHAB=14，

∴BH=1，

∴AH=AB2−BH2=42−12=15，

∵E是BC的中点，

∴BE=CE=2，

∴EH=BE-BH=1，

∴AH是BE的垂直平分线，

∴AE=AB=4，

∵AF平分∠EAD，

∴∠DAF=∠FAG，

∵FG||AD，

∴∠DAF=∠AFG，

∴∠FAG=∠AFG，

∴GA=GF，

设GA=GF=x,

∵AE=CD=4，FG||AD，

∴DF=AG=x,

cosD=cosB=DQDF=14，

∴DQ=14x,

∴FQ=DF2−DQ2=x2−14x2=154x,

∵S梯形CEAD=S梯形CEGF+S梯形GFDA，

∴12×（2+4）×15=12（2+x）×（15-154x）+12（x+4）×154x,

解得x=83，

则FG的长是83．

或者：∵AE=CD=4，FG||AD，

∴四边形AGFD为等腰梯形，

∴GA=FD=GF，

则x+14x+14x=4，

解得x=83，

则FG的长是83．

方法二：如图，作AH垂直BC于H，延长AE和DC交于点M，

∵菱形ABCD的边长为4，

∴AB=AD=BC=4，

∵cosB=BHAB=14，

∴BH=1，

∵E是BC的中点，

∴BE=CE=2，

∴EH=BE-BH=1，

∴AH是BE的垂直平分线，

∴AE=AB=4，

所以AE=AB=EM=CM=4，

设GF=x,

则AG=x,GE=4-x,

由GF||BC，

∴△MGF∽△MEC，

∴2x=48−x，

解得x=83．

方法三：作AN⊥BC，延长FG交AB于H，

【点评】：本题考查了菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握菱形的性质．5.（单选题，2分）已知二次函数y=ax2-bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥-1时，x的取值范围为x≤t-1或x≥-3-t．则如下四个值中有可能为m的是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：A【解析】：由当y≥-1时，x的取值范围为x≤t-1或x≥-3-t可得抛物线对称轴为直线x=-2，从而可得b与a的关系，将P（m，2）代入解析式，用含m代数式表示a，进而求解．

【解答】：解：当y≥-1时，ax2-bx≥-1，x的取值范围为x≤t-1或x≥-3-t，

∴（t-1，-1），（-3-t，-1）为抛物线上的点，

∴抛物线对称轴为直线x=t−1−3−t2=-2，

∴b2a=-2，

∴b=-4a，

∴y=ax2+4ax=a（x+2）2-4a，

当a＞0时，-4a≤-1，

解得a≥14，

将（m，2）代入解析式得am2+4am=2，

∴a=2m2+4m≥14，

∴0＜m2【点评】：本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征．6.（单选题，2分）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．

下列结论：①CH=BE；②S△GCE=S△GDH；③当点E是CD的中点，5GF=4GE；④当EC=2DE时，S正方形ABCD=5S四边形DEGH．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：D【解析】：①通过证明△EBC≌△HCD推出CH=BE，EC=HD；

②利用角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，可证△GDH中DH边上的高与△GCE中CE边上的高相等，通过“等底等高”证明S△GCE=S△GDH；

③先证明△HGD∽△CGB，△ECB∽△ECF，求出相关线段长度，可知当E是CD的中点时，5GF=4GE；

④利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证S正方形ABCD=5S四边形DEGH．

【解答】：解：①∵四边形ABCD是正方形，

∴∠HDC=∠ECB=90°，BC=CD．

∴∠BEC+∠EBC=90°，

∵CH⊥BE，

∴∠BEC+∠ECF=90°，

∴∠EBC=∠ECF，即∠EBC=∠HCD．

在△EBC和△HCD中，

∠EBC=∠HCDBC=CD∠ECB=∠HDC=90°，

∴△EBC≌△HCD（ASA），

∴CH=BE．

故①正确；

②∵△EBC≌△HCD，

∴EC=HD，

∵四边形ABCD是正方形，DB是∠ADC的角平分线，

∴∠ADB=∠CDB=45°，

∴点G到AD边与CD边的距离相等，

即△GDH中DH边的高与△GCE中CE边的高相等，

又∵EC=HD，

∴S△GCE=S△GDH，

故②正确；

③设正方形ABCD的边长为4a,

当E是CD的中点时，BC=CD=4a,EC=HD=2a,

由勾股定理得：

BE=BC2+CE2=25a,

CH=CD2+HD2=25a,

∵∠HDG=∠CBG=45°，∠HGD=∠CGB，

∴△HGD∽△CGB，

∴HGCG=HDBC=2a4a=12，

∴GC=23CH=453a.

∵∠BEC=∠CEF，∠ECB=∠EFC=90°，

∴△ECB∽△EFC，

∴EFCE=CEBE，

即EF2a=2a25a，

∴EF=255a,

∴CF=CE2−EF2=455a,

∴GF=GC-CF=8515a,

∴GE=GF2+EF2=253a,

∴GEGF=253a8515a=54．

当E是CD的中点时，5GF=4GE，

故③正确；

④当EC=2DE时，CECD=23，

∵DH=CE，DC=BC，

∴DHBC=23，

∵△HGD∽△CGB，

∴S△【点评】：本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是从图形中找出全等三角形和相似三角形．7.（填空题，2分）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根，那么a的取值范围是___．【正确答案】：[1]a＞9【解析】：由方程根的情况，根据判别式可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围．

【解答】：解：∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根，

∴Δ＜0，即62-4a＜0，

解得：a＞9，

故答案为：a＞9．

【点评】：本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键．8.（填空题，2分）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为___．【正确答案】：[1]25【解析】：从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，再根据概率公式求解即可．

【解答】：解：由题意知，从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，

所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为410=25，

故答案为：2【点评】：本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．9.（填空题，2分）若点A（-3，y1），B（-1，y2）都在反比例函数y=6x的图象上，则y1___y2【正确答案】：[1]＞【解析】：根据反比例函数的性质得出答案即可．

【解答】：解：∵y=6x中k=6＞0，

∴在每个象限内，y随x的增大而减小，

∵-3＜-1＜0，

∴y1＞y2．

故答案为：＞．【点评】：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键，反比例函数y=kx10.（填空题，2分）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设直角三角形中___．【正确答案】：[1]每个锐角都大于45°【解析】：根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．

【解答】：解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，

第一步假设直角三角形中每个锐角都大于45°，

故答案为：每个锐角都大于45°．

【点评】：本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．11.（填空题，2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（6，0），B（0，8），P，Q是两个动点，其中点P以每秒2个单位长度的速度沿折线AOB（按照A-O-B）的路线运动，点Q以每秒5个单位长度的速度沿折线BOA（按照B-O-A）的路线运动，运动过程中点P和Q同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为t秒，直线l经过原点O，且l||AB，过点P，Q分别作l的垂线段，垂足为E，F，当△OPE与△OQF全等时，t的值为___．【正确答案】：[1]2或23【解析】：判断出OP=OQ，再分三种情况讨论，表示出OP，OQ建立方程求解即可．

【解答】：解：由题意，OP和OQ是两直角三角形的斜边，当△OPE与△OQF全等时，OP=OQ，

Ⅰ、当点P在OA上，点Q在OB上时，OP=6-2t,OQ=8-5t,

∴6-2t=8-5t,

∴t=23，

Ⅱ、当点P，Q都在OA上时，点P，Q重合时，两三角形重合时，

OP=6-2t,OQ=5t-8，

∴6-2t=5t-8，

∴t=2，

Ⅲ、当点P在OB上，点Q在OA上且点Q与点A重合时，

OP=2t-6，OQ=6，

∴2t-6=6，

∴t=6，

即：满足题意的t的值为2或23【点评】：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质，解本题的关键是分情况表示出OP和OQ，用方程的思想也是解本题的关键．12.（填空题，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=-1，它的图象经过点A（1，y1），B（-2，y2），C（-4，0）．对于下列四个结论：①y1＜y2；②c=-8a；③方程ax2+bx+c=0的解为x1=-4，x2=2；④对于任意实数t,总有a（t2+9）+bt+c≤0．其中正确的结论是___（填写序号）．【正确答案】：[1]②③【解析】：根据抛物线开口方向及点A，B与对称轴距离的大小关系可判断①，由抛物线对称轴可得a与b的关系，由抛物线经过（-4，0）可得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而判断②③，由b与a,c与a的关系可得抛物线顶点纵坐标，从而判断④．

【解答】：解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，1-（-1）＞-1-（-2），

∴点A与对称轴的距离大于点B与对称轴的距离，

∴y1＞y2．①错误．

∵抛物线经过C（-4，0），对称轴为直线x=-1，

∴抛物线经过（2，0），

∴方程ax2+bx+c=0的解为x1=-4，x2=2，③正确．

∵-b2a=-1，

∴b=2a,

由抛物线经过（2，0）可得4a+2b+c=8a+c=0，

∴c=-8a,②正确．

∵抛物线开口向上，4ac−b24a=−32a2−4a2【点评】：本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．13.（填空题，4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（2，0），点M为x轴上方一动点，且MA=2，以点M为直角顶点构造等腰直角三角形BMP，当线段AP取最大值时，AP=___，点M的坐标为___．【正确答案】：[1]3+32;[2]（-1-2，2）【解析】：如图，以M为直角顶点，MA为直角边构造等腰直角三角形AMN，连接BN，然后证明根△NMB≌△AMP（SAS），接着得到当N，A，B三点共线时，BN最大，即AP最大，最好利用等腰直角三角形的性质解答即可．

【解答】：解；如图，以M为直角顶点，MA为直角边构造等腰直角三角形AMN，连接BN，

由题意AM=NM，BM=BP，∠BMP=∠AMN=90°，

∴∠PMA=∠NMB，

∴△NMB≌△AMP（SAS），

∴AP=BN，

当N，A，B三点共线时，BN最大，即AP最大，

此时∠MAB=135°，

如图2，过M作MT⊥x轴，垂足为T，

∵MA=2，

∴AN=22，

∴MT=AT=12AN=2，

∴AP的最大值=AN+BA=3+32，

∴M（-1-2，2），

∴当M在x轴上方时，此时M（-1-2，2），

故答案为：AP的长度最大值为：3+22，

M的坐标为：（-1-2，2）．【点评】：此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，利用了等量代换及转化的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．14.（填空题，2分）已知在△ABC中，∠A=40°，D为边AC上一点，△ABD和△BCD都是等腰三角形，则∠C的度数可能是___．【正确答案】：[1]80°或50°或20°或35°或20°【解析】：分三种情况：如图1所示：当DA=DC时；如图2所示：当AB=AD时；如图3所示：当AB=DB时；进行讨论，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解．

【解答】：解：如图1所示：当DA=DC时，

∵∠A=40°，

∴∠ABD=40°，

∴∠ADB=180°-40°×2=100°，

∴∠BDC=180°-100°=80°，

当BD=BC1时，∠BC1D=∠BDC1=80°；

当DB=DC2时，∠DBC2=∠DC2B=（180°-80°）÷2=50°；

当BC3=DC3时，∠BC2D=180°-80°×2=20°；

如图2所示：当AB=AD时，

∵∠A=40°，

∴∠ABD=∠ADB=（180°-40°）÷2=70°，

∴∠BDC=180°-70°=110°，

当DB=DC4时，∠DBC4=∠DC4B=（180°-110°）÷2=35°；

如图3所示：当AB=DB时，

∵∠A=40°，

∴∠ADB=40°，

∴∠BDC=180°-40°=140°，

当DB=DC5时，∠DBC5=∠DC5B=（180°-140°）÷2=20°．

综上所述，∠C的度数可能是80°或50°或20°或35°或20°．

故答案为：80°或50°或20°或35°或20°．

【点评】：本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，注意分类思想的应用，难度较大，不要漏解．15.（填空题，2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BF平分∠ABC，过点C作CF⊥BF于F点，过A作AD⊥BF于D点，AC与BF交于E点，下列四个结论：①BE=2CF；②AD=DF；③AD+DE=12【正确答案】：[1]①②③【解析】：过点A作AH⊥AF，交BF于点H，由“ASA”可证△ABH≌△ACF，可得BH=CF，AH=AF，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质依次判断即可求解．

【解答】：解：如图，过点A作AH⊥AF，交BF于点H，

∴∠BAC=∠HAF=90°，

∴∠BAH=∠CAF，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF=22.5°，

∵BF⊥CF，

∴∠BCF=67.5°，

∴∠ACF=22.5°=∠ABH，

在△ABH和△ACF中，

∠BAH=∠CAFAB=AC∠ABH=∠ACF，

∴△ABH≌△ACF（ASA），

∴BH=CF，AH=AF，

∵∠HAF=90°，

∴∠AHF=∠AFH=45°，

∵∠AHF=∠ABF+∠BAH，

∴∠BAH=22.5°=∠ABH=∠CAF，

∴AH=BH=CF，

∵∠HAC=67.5°，∠AEB=∠CAF+∠AFH=67.5°，

∴∠HAC=∠AEB，

∴AH=HE=CF，

∴BE=BH+HE=2CF，故①正确；

∵AD⊥BF，∠AFH=45°，

∴∠DAF=∠AFD=45°，

∴AD=DF，故②正确；

∵AH=AF，∠HAF=90°，AD⊥HF，

∴AD=HD=DF，

∵AD+DE=HD+DE=HE=12【点评】：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．16.（填空题，2分）在▱ABCD中，O为AC的中点，点E，M为▱ABCD同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），EO，MO的延长线分别与▱ABCD的另一边交于点F，N．

下面四个推断：

①四边形ABFM是平行四边形；

②四边形ENFM是平行四边形；

③若▱ABCD是矩形（正方形除外），则至少存在一个四边形ENFM是正方形；

④对于任意的▱ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形．

其中，正确的有___．【正确答案】：[1]②③④【解析】：由“ASA”可证△EAO≌△FCO，可证四边形EMFN是平行四边形，根据点E，M为▱ABCD同一边上任意两个不重合的动点，可得AM与BF不一定相等EF与MN不一定相等，故①错误，②正确，由矩形的判定和性质和正方形的判定可判断③正确，④正确，即可求解．

【解答】：解：如图，连接EN，MF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO，AD||BC，

∴∠EAC=∠FCA，

在△EAO和△FCO中，

∠EAC=∠FCAAO=CO∠AOE=∠COF，

∴△EAO≌△FCO（ASA），

∴EO=FO，

同理可得OM=ON，

∴四边形ENFM是平行四边形，

∵点E，M为▱ABCD同一边上任意两个不重合的动点，

∴AM与BF不一定相等，故①错误，②正确；

若四边形ABCD是矩形（正方形除外），

∴OA=OD，

∵点E，M为AD边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），

∴∠EOM＜∠AOD，

因为ABCD是矩形，∠AOD＞90°，所以∠EOM＜∠AOD，∠EOM可能为90°，

∴至少存在一个四边形ENFM是正方形，故③正确；

当EO=OM时，则EF=MN，【点评】：本题考查了正方形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解题关键是证明四边形ENFM是平行四边形．17.（问答题，6分）计算：

（1）（-2022）0+22×|-1|×（-13）-2；

（2）2020×2022-20212【正确答案】：

【解析】：（1）先算零指数幂，平方，绝对值，负整数指数幂，再求出即可求解；

（2）先变形，再根据平方差公式计算即可求解．

【解答】：解：（1）（-2022）0+22×|-1|×（-13）-2

=1+4×1×9

=1+36

=37；

（2）2020×2022-20212

=（2021-1）×（2021+1）-20212

=20212-1-20212

=-1．【点评】：本题考查了零指数幂，平方，绝对值，负整数指数幂，平方差公式，熟练掌握相应的计算法则计算即可求解．18.（问答题，6分）解不等式组：3x＞【正确答案】：

【解析】：先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．

【解答】：解：3x＞x+6①12x＜−x+5【点评】：本题考查了解一元一次不等式组，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键，同大取大，同小取小，大大小小取不了，小大大小取中间．19.（问答题，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-2，0），点B（0，2），点C在直线y=-3上．

（1）如果△ABC是直角三角形，写出此时点C的坐标：___；

（2）当△ABC与△ABO的面积相等时，写出此时点C的坐标：___．【正确答案】：（5，-3）或（1，-3）;（-3，-3）或（-7，-3）【解析】：（1）设点C的坐标为（a,-3），根据点的坐标的性质用a表示出AB2、AC2、BC2，分∠ABC=90°、∠BAC=90°和∠ACB=90°，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案；

（2）设点C的坐标为（a,-3），求出直线AB与直线y=-3的交点坐标为（-5，-3），再分两种情况讨论即可．

【解答】：解：设点C的坐标为（a,-3），

∴∵点A（-2，0），点B（0，2），

∴AB2=22+22=8，

AC2=32+（a+2）2，

BC2=a2+52，

当∠ABC=90°时，8+a2+52=32+（a+2）2，

解得，a=5；

当∠BAC=90°时，8+32+（a+2）2=a2+52，

解得，a=1；

当∠ACB=90°时，32+（a+2）2+a2+52=8，

本方程无解，

∴△ABC为直角三角形时，点C的坐标为（5，-3）或（1，-3）；

故答案为：（5，-3）或（1，-3）；

（2）设点C的坐标为（a,-3），

∵S△ABO=2×2×12=2，

∴S△ABC=2，

∵点A（-2，0），点B（0，2），

∴直线AB的解析式为y=x+2，

∴直线AB与直线y=-3的交点坐标为（-5，-3），

当C在点（-5，-3）右边时，

12×5×5-12×（a+5）×3-12×（-a）×5=2，

解得a=-3，

当C在点（-5，-3）左边时，

12×（-a）×5-12×5×5-1【点评】：本题考查的是一次函数知识的综合运用，掌握勾股定理、正确运用分情况讨论思想是解题的关键．20.（问答题，8分）如图，点D和点E分别在AB、AC边上，BE平分∠ABC，BE、CD相交于点F，∠ABE=∠ACD．

求证：（1）EC2=EF•EB；

（2）DF：BF=EC：BC．【正确答案】：

【解析】：（1）利用角平分线的性质和已知先得到∠EBC=∠ACD，再判断△ECF∽△EBC，最后利用相似三角形的性质得结论；

（2）利用角间关系，先说明∠CEB=∠BDC，再判断△BDF∽△BEC，最后利用相似三角形的性质得结论．

【解答】：证明：（1）∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC．

∵∠ABE=∠ACD，

∴∠EBC=∠ACD．

又∵∠BEC=∠FEC，

∴△ECF∽△EBC．

∴ECEF=EBEC．

∴EC2=EF•EB；

（2）∵∠CEB=∠A+∠ABE，∠BDC=∠A+∠ACD，

又∵∠ABE=∠ACD，

∴∠CEB=∠BDC．

又∵∠ABE=∠EBC，

∴△BDF∽△BEC．

∴DFBF=ECBC【点评】：本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握“两角对应相等的两个三角形相似”、“相似三角形对应边的比等于相似比”及角平分线的定义是解决本题的关键．21.（问答题，11分）在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线，点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1；P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点（-2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）．根据定义，回答下列问题：

（1）点（3，4）的一次反射点为___，二次反射点为___；

（2）当点A在第三象限时，点M（-4，1），N（3，-1），Q（-1，-5）中可以是点A的二次反射点的是___；

（3）若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，∠A1OA2=50°，求射线OA与x轴所夹锐角的度数；

（4）若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，请直接写出点A在平面直角坐标系xOy中的位置．

【正确答案】：（-3，4）;（4，-3）;M（-4，1）【解析】：（1）根据一次反射点，二次反射点的定义解决问题即可；

（2）根据一次反射点，二次反射点的定义，判断出A2的位置即可；

（3）判断出射线OA1与x轴的夹角，可得结论；

（4）利用图象法，点A在x轴上或直线y=x上满足条件．

【解答】：解：（1）点（3，4）的一次反射点为（-3，4），二次反射点为（4，-3）；

故答案为：（-3，4），（4，-3）；

（2）∵点A在第三象限时，

∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限，

∴点M（-4，1），N（3，-1），Q（-1，-5）中可以是点A的二次反射点的是M（-4，1）；

故答案为：（-4，1）；

（3）如图1中，

∵∠A1OA2=50°，

∴OA1与x轴的夹角为20°或70°，

根据对称性可知，OA与x轴所夹锐角的度数为20°或70°；

（4）如图2中，观察图象可知，当点A在x轴上时，△AA1A2是等腰直角三角形．

如图3中，观察图象可知，当点A在直线y=x上时，△AA1A2是等腰直角三角形．

综上所述，点A在x轴上或直线y=x上．

【点评】：本题考查坐标与图形变化-对称，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解一次反射点，二次反射点的定义，学会利用图象法解决问题．22.（问答题，8分）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、AB上，AE2=BE•AD，EF=EB．

（1）求证：AF•DE=AE•EC；

（2）如果AE=AB，求证：EF||AC．【正确答案】：

【解析】：（1）由AE2=BE•AD，得AEAD=BEAE，再证明∠AEB=∠DAE，则△AEB∽△DAE，得∠EAF=∠ADE=∠DEC，由∠EFB+∠AFE=180°，∠B+∠ECD=180°，且∠EFB=∠B，得∠AFE=∠ECD，即可证明△AFE∽△ECD，得AFEC=AEDE，整理得AF•DE=AE•EC；

（2）由△AFE∽△ECD，得AFCE=AEDE，可证明DE=DA=CB，则AFCE=ABCB，变形为AFAB=CECB【解答】：证明：（1）∵AE2=BE•AD，

∴AEAD=BEAE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD||BC，AB||DC，

∴∠AEB=∠DAE，

∴△AEB∽△DAE，

∴∠EAF=∠ADE，

∵∠ADE=∠DEC，

∴∠EAF=∠DEC，

∵EF=EB，

∴∠EFB=∠B，

∵∠EFB+∠AFE=180°，∠B+∠ECD=180°，

∴∠AFE=∠ECD，

∴△AFE∽△ECD，

∴AFEC=AEDE，

∴AF•DE=AE•EC．

（2）由（1）得∠AEB=∠DAE，△AEB∽△DAE，

∴∠B=∠DEA，

∵AE=AB，

∴∠AEB=∠B，

∴∠DAE=∠DEA，

∴DE=DA=CB，

∵△AFE∽△ECD，

∴AFCE=AEDE，

∴AFCE=ABCB，

∴AFAB=CECB，

∴1-AFAB=1-CECB，

∴FB【点评】：此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明△AEB∽△DAE及△AFE∽△ECD是解题的关键．23.（问答题，10分）阅读下列材料：

让我们来规定一种运算：abcd=ad-bc,

例如：2431=2×1-4×3=-10，再如：x6y2=2x-6y.

按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：

①−【正确答案】：14【解析】：①直接利用运算公式计算得出答案；

②利用运算公式得一元一次方程，解方程即可；

③利用运算公式得（x2-2x）2-11（x2-2x）+24，再因式分解即可．

【解答】：解：①原式=（-2）×3-（-5）×4=-6+20=14，

故答案为：14．

②由题意得，2×x-（1-x）×1=0，

解得：x=13；

③由本题运算规则，原式=（x2-2x）（x2-2x-11）-（-3）×8

=（x2-2x）2-11（x2-2x）+24

=（x2-2x-3）（x2-2x-8）

=（x+1）（x-3）（x+2）（x-4）．【点评】：此题主要考查了整式的加减以及新运算，正确运用已知公式是解题关键．24.（问答题，9分）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE||AC，交BC于点E．

①若DE=1，BD=32，求BC的长；②如果△ACD是等腰三角形，请直接写出ADAC的值；

（2）如图2，∠CBD和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBD，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE||AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3【正确答案】：

【解析】：（1）①证出∠ACD=∠DCB=∠B，由等腰三角形的判定得出CD=BD=32，求出CE=DE=1，证明△CED∽△CDB，由相似三角形的性质可求出BC的长；

②根据等腰三角形的性质得到AC=CD，根据角平分线的定义得到∠ACD=∠BCD，根据相似三角形的性质即可得到结论；

（2）证出S1•S3S22=BCCE，由题意可得出BCCE=9【解答】：解：（1）∵①CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠DCB=12∠ACB，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠ACD=∠DCB=∠B，

∴CD=BD=32，

∵DE||AC，

∴∠ACD=∠EDC，

∴∠EDC=∠DCB=∠B，

∴CE=DE=1，

∴△CED∽△CDB，

∴CECD=CDCB，

∴132=32CB，

∴BC=94，

②∵△ACD是等腰三角形，

∴AC=CD，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠B=∠ACD=∠BCD，

∴CD=BD，

∵∠A=∠A，

∴△ACD∽△ABC，

∴ACAB=ADAC，

∴ACAD+AC=ADAC，

∴AC=1+52AD，

∴ADAC=5−12，

当AD=DC，

∴∠A=∠ADC，

∴∠A=∠ADC=∠BDC=∠B，

∵∠A+∠ADC+∠BDC+∠B=180°，

∴∠A=∠ADC=∠BDC=∠B=45°，

∴∠ADC=∠BDC+∠B-90°，

∴cosA=ADAC=cos45°=22；

（2）∵DE||AC，

∴S1S2=ACDE=BCBE，

∵S3S2=BECE，

∴S1•S3S22=BCCE，

又∵S1•S3=916S22，

∴BCCE=916，

设BC=9x,则CE=16x,

∵CD平分∠BCF，

∴∠ECD=∠FCD=12∠BCF，

∵∠BCF=2∠CBG，

∴∠ECD=∠FCD=∠CBD，

∴BD=CD，

【点评】：本题是三角形综合题，考查了角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．25.（问答题，10分）喜欢动手的小马同学收集了很多套三角板，以下是他利用三角板进行的数学探究：

（1）小马同学将两个大小相同的含有30°，60°的三角板如图1所示放置，即AB=AE，AC=AD，BC=ED，∠ACB=∠ADE=90°，连接BE、CD交于点F，小马同学