广东省惠州市东江高级中学高一数学理下学期期末试卷含解析

广东省惠州市东江高级中学高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若关于x的方程=k有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是

.参考答案：1<k<3或k=0略2.已知f(x)＝sinx＋cosx(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则φ的值可以是

(

)参考答案：D略3.定义在R上的函数f（x）=，g（x）=g（2﹣x）?4x﹣1，若f（x）在[1，+∞）为增函数，则（）A．g（1）＞2g（0） B．g（3）＞8g（0） C．g（2）＞2g（0） D．g（4）＜16g（0）参考答案：B【考点】函数单调性的性质．【分析】由已知函数f（x）=在[1，+∞）为增函数，可得f（3）＞f（2），即g（3）＞2g（2），进而根据g（x）=g（2﹣x）?4x﹣1，转化可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=在[1，+∞）为增函数，∴f（3）＞f（2），即＞，即g（3）＞2g（2），又∵g（x）=g（2﹣x）?4x﹣1，∴g（2）=g（2﹣2）?4=4g（0），故g（3）＞8g（0），故选：B4.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明。图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)。设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为A.134 B.866

C.300 D.500参考答案：A5.若函数y=ax+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）A．0＜a＜1，且b＞0 B．a＞1，且b＞0 C．0＜a＜1，且b＜0 D．a＞1，且b＜0参考答案：C【考点】指数函数的图像与性质．【专题】数形结合．【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论．【解答】解：如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即a0+b﹣1＜0，且0＜a＜1，∴0＜a＜1，且b＜0．故选C．故应选C．【点评】考查指数型函数的图象与性质，本题由函数的图象可以看出其变化趋势，由图象特征推测出参数的范围．6.f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，若f（m﹣1）＞f（2m﹣1），实数m的取值范围(

)A．m＞0 B． C．﹣1＜m＜3 D．参考答案：B【考点】函数单调性的性质．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，f（m﹣1）＞f（2m﹣1），利用函数单调性的定义，建立不等式，即可求得实数m的取值范围．【解答】解：∵f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，f（m﹣1）＞f（2m﹣1），∴∴故选B．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.函数，若，则的值为

(

）A．3

B．0

C．-1

D．-2参考答案：B8.已知函数值域为R,那么的取值范围是（

）A．(－4,0)

B．[－4,0]

C．(－∞,－4]∪[0,+∞)

D．(－∞,－4)∪(0,+∞)参考答案：Cf(x)值域为R，则的最小值小于等于0，即，解得或，故选C。

9.已知数列{}对任意的、∈，满足，且=-6，那么等于（）A.-165B.-33C.-30D.-21参考答案：C略10.下列函数中，与函数有相同定义域的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若等差数列满足，则数列的前项和取得最大值时_________参考答案：【分析】根据等差数列性质确定变号条件，进而确定取得最大值时的值.【详解】因为，所以因此取得最大值时.【点睛】本题考查等差数列性质以及根据项的符号确定最大值，考查基本分析求解能力，属基础题.12.已知，则A∩B=．参考答案：{x|2＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：2﹣3＜2﹣x＜2﹣1，即﹣3＜﹣x＜﹣1，解得：1＜x＜3，即A={x|1＜x＜3}，由B中不等式变形得：log2（x﹣2）＜1=log22，即0＜x﹣2＜2，解得：2＜x＜4，即B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}，故答案为：{x|2＜x＜3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．13.（5分）工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．某班级想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的中心角为120°，外圆半径为50cm，内圆半径为20cm．则制作这样一面扇面需要的布料为

cm2（用数字作答，π取3.14）．参考答案：2198考点： 扇形面积公式．专题： 计算题；三角函数的求值．分析： 由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料．解答： 由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料为×50×50﹣×20×20≈2198．故答案为：2198．点评： 本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．14.已知定义在R上的函数f(x)满足：当sinx≤cosx时，f(x)=cosx，当sinx>cosx时，f(x)=sinx，给出以下结论：①f(x)是周期函数；②f(x)是最小值为－1；③当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，f(x)取得最小值；④当且仅当2kπ－<x<(2k+1)π（k∈Z）时，f(x)>0；⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.其中正确的结论序号是

。参考答案：①④⑤15.经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线的方程是__________________________．参考答案：

16.一个圆锥的侧面展开图是半径为R的圆的一半，则它的体积为—————————————参考答案：略17.已知等差数列{an}中，，则_______参考答案：20【分析】设等差数列的公差为，用与表示等式，再用与表示代数式可得出答案。【详解】设等差数列的公差为，则，因此，，故答案为：。【点睛】本题考查等差数列中项的计算，解决等差数列有两种方法：基本性质法（与下标相关的性质）以及基本量法（用首项和公差来表示相应的量），一般利用基本量法来进行计算，此外，灵活利用与下标有关的基本性质进行求解，能简化计算，属于中等题。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数。

（1）证明的奇偶性；（3分）

（2）当时，试写出的单调区间并用定义证明；（4分）

（3）试在所给的坐标系中作出函数的图像。（3分）

参考答案：解：（1），（1分）任取，都有

，所以为偶函数。——2分（2）为增区间，为减区间。

————————————————2分任取，，即在上为增函数；同理可证上为减函数。

————————————————2分（3）如图。

————————————————3分19.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.（1）求角B的大小；（2）若，求的最大值.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理及三角恒等式化简已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，可得的值.（2）利用正弦定理及三角函数恒等变换的应用可得，其中，再利用正弦函数的性质可求其最大值.【详解】解：（1）∵，∴，∴由正弦定理可得：，∴由余弦定理可得：，∵，∴.（2）∵，，可得，∴，其中.∴的最大值为.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数的基本关系的应用，正弦函数的图象和性质的综合运用，考查了计算能力和转化能力，属于中档题.20.甲、乙两个同学玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．参考答案：略21.（1）设0＜x＜，求函数y＝x（3﹣2x）的最大值；（2）解关于x的不等式x2-（a+1）x+a＜0．参考答案：（1）（2）见解析【分析】（1）由题意利用二次函数的性质，求得函数的最大值．（2）不等式即（x﹣1）（x﹣a）＜0，分类讨论求得它的解集．【详解】（1）设0＜x，∵函数y＝x（3﹣2x）2，故当x时，函数取得最大值为．（2）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0，即（x﹣1）（x﹣a）＜0．当a＝1时，不等式即（x﹣1）2＜0，不等式无解；当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}；当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．综上可得，当a＝1时，不等式的解集为?，当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，求二次函数的最值，一元二次不等式的解集，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．22.已知函数，（1）求证：f（x）在[1，+∞）上是增函数；（2）求