河南省开封市南庄中学高三数学理联考试题含解析

河南省开封市南庄中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知O是正三形内部一点，，则的面积与△的面积之比是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A2.执行如图所示的程序框图，输出的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.已知集合,,则A∪B=(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据并集运算法则求解即可.【详解】由题：集合,,则.故选：A【点睛】此题考查根据描述法表示的集合，并求两个集合的并集.4.已知函数的值域为R,则k的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．参考答案：A由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图，则这个几何体的外接球的球心在高线上，且是等边三角形的中心，这个几何体的外接球的半径，则这个几何体的外接球的表面积为．6.若函数的最小正周期为，则图象的一条对称轴为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先由最小正周期求出，再令可得对称轴方程，从而可得答案.【详解】函数的最小正周期为，解得.,令，解得，取，可得图象的一条对称轴为.故选C.【点睛】本题考查三角函数的周期性和对称轴.对于函数，最小正周期为，令可得对称轴方程.7.已知复数z满足，则z=（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由复数的除法运算计算可得结果.【详解】由得：.故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.8.若{an}为等差数列，Sn是其前n项和，且S15=10π，则tana8的值为(

) A． B．﹣ C．± D．﹣参考答案：B考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列{an}的前n项和的性质，S15=15a8=10π，求出a8，进而根据特殊角的三角函数值求出结果．解答： 解：由等差数列{an}的前n项和的性质，S15=15a8=10π，∴∴，故选B．点评：由等差数列{an}的前n项和的性质，n为奇数时，，求出a8，进而根据特殊角的三角函数值求出结果．9.关于的方程，给出下列四个命题：

①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根．

其中假命题的个数是

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令①，则方程化为②，作出函数的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0<t<1时方程①有4个根；（3）当t=1时，方程①有3个根．故当t=0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个；当时，方程②有两个相等正根t＝，相应的原方程的解有4个；故选B10.已知集合（其中为虚数单位），，，则复数为

A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列的首项，若，，则

．参考答案：，或12.若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为

（写出一个即可）．参考答案：设三个互不相等的实数为。（d≠0）交换这三个数的位置后：①若是等比中项，则，解得d=0，不符合；②若是等比中项则，解得，此时三个数为，公比为﹣2或三个数为，公比为．③若a+d是等比中项，则同理得到公比为，或公比为．所以此等比数列的公比是或13.（5分）（2015?西安校级二模）将数列{3n﹣1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第10组中的第一个数是．参考答案：345【考点】：归纳推理．【专题】：规律型；归纳猜想型．【分析】：根据前三个分组中的第一个数分别为1，3，27，可以归纳每一组的第一个数的规律，利用归纳推理进行归纳．解：根据分组的第一个数分别为1=30，3=31，27=33，可知指数的指数幂分别为0，1，3，6，设指数幂构成数列{an}，则a1=0，a2=1，a3=3，满足a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，a4﹣a3=3，…a10﹣a9=9，等式两边累加得，a10﹣a1=1+2+???+9=，即a10=45，所以第10组中的第一个数是345．故答案为：345．【点评】：本题主要考查归纳推理的应用，观察数组第一个数的规律，是解决本题的关键．14.在的展开式中的常数项为

.参考答案：10略15.设函数则满足的x的取值范围是________．参考答案：

，，即由图象变换可画出与的图象如下：由图可知，满足的解为.

16.已知函数的图象由的图象向右平移个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则=

.参考答案：函数的图象在轴右侧的第一个对称轴为，所以。关于对称的直线为，由图象可知，通过向右平移之后，横坐标为的点平移到，所以。17.(9)i是虚数单位.复数(3+i)(1－2i)=

.参考答案：5-5i三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共13分）

已知曲线的方程为：.（Ⅰ）分别求出时，曲线所围成的图形的面积;（Ⅱ）若表示曲线所围成的图形的面积，求证：关于是递增的;(III)若方程，，没有正整数解，求证：曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.参考答案：（1），；（2）见解析；（3）见解析考点：数列综合应用（1）当时，

由图可知，

.

（2）要证是关于递增的，只需证明：．

由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．

现在考虑曲线与，

因为

因为

在(1)和(2)中令，

当，存在使得，成立，

此时必有．

因为当时，

所以．

两边同时开n次方有，．（指数函数单调性）

这就得到了，

从而是关于递增的．

（3）由于可等价转化为，

反证：若曲线上存在一点对应的坐标，全是有理数，

不妨设，，且互质，互质．

则由可得，

．

即．

这时就是的一组解，

这与方程，，没有正整数解矛盾，

所以曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数．

19.集合A是由具备下列性质的函数组成的：(1）函数的定义域是；(2）函数的值域是；(3）函数在上是增函数，试分别探究下列两小题：(1）判断函数及是否属于集合A？并简要说明理由；(2）对于（1）中你认为属于集合A的函数，不等式是否对于任意的恒成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.参考答案：（1）函数不属于集合A.因为的值域是.在集合A中.因为：①函数的定义域是；②的值域是-2，4）；③函数在上是增函数.(2）不等式对任意恒成立.20.如图，已知椭圆：的左、右顶点分别为，是椭圆上异于的两点，直线交于点，且P位于第一象限．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；（Ⅱ）记的面积分别是，求的最小值．参考答案：(Ⅰ)设，故直线AM的方程为，直线BN的方程为联立得：………………4分，解得：代入直线AM可得……………6分(Ⅱ)直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得：解得…………8分直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得：解得…………10分所以

………………12分当，即时，……………14分21.（12分）（2015?青岛一模）已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10=28，S8=92；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1?b2?b3…bn﹣1?bn=3n+1成立．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）设出{an}的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的通项公式求通项；再由b1?b2?b3…bn﹣1?bn=3n+1，得b1?b2?b3…bn﹣1=3n﹣2（n≥2），两式相除可得数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）把{an}、{bn}的通项公式代入cn=，化简后利用错位相减法求得数列{cn}的前n项和Tn．解：（Ⅰ）设{an}的首项为a1，公差为d，由a10=28，S8=92，得a10=a1+9d=28，，解得a1=1，d=3，an=1+3（n﹣1）=3n﹣2；又∵b1?b2?b3…bn﹣1?bn=3n+1，∴b1?b2?b3…bn﹣1=3n﹣2（n≥2），两式相除得，当n=1时b1=4适合上式，∴；（Ⅱ）把{an}、{bn}的通项公式代入cn=，得，则，，两式作差得：，∴，即．【点评】：本题考查了等差数列