2020-2021学年江苏省常州市高一年级下册期末数学试卷及答案解析

2020-2021学年江苏省常州市高一下期末数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1.（5分）已知复数2=割M是虚数单位），贝泛的虚部为（）

1555

A.-4B.-C.一2D.~i

2222

2.（5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9

个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始

评分相比，不变的数字特征是（）

A.中位数B.平均数C.方差D.极差

3.（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若28=A+C,且庐=m,

则△ABC一定是（）

A.直角三角形B.钝角三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

4.（5分）魔方又叫鲁比克方块（Rubk'sCube）,是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克•艾

尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为

智力游戏界的三大不可思议.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的

棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为

中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从

这些小正方体中任取一个，恰好抽到边角方块的概率为（）

2841

A.-B.——C.一D.-

92792

5.（5分）已知sina+cosa=可（0,n）,则sina-cosa的值为（）

V17V17

A.±—C.—D.

3B--孚3

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6.（5分）①垂直于同一直线的两条不同的直线平行;

②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；

③平行于同一平面的两条不同的直线平行；

④平行于同一直线的两条不同的直线平行；

以上4个关于空间直线与平面的命题中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7.（5分）如图，在三棱锥0-ABC中,点P,Q分别是04,8。的中点，点。为线段PQ

上一点，且PD=2DQ,若记。4=看OB=b,OC=c则亦=（

ITLITITLITITLITITLIT

A.—a+~b+-cB.-a+-h+~cC.-a+~b-\--cD.-a+~b-\--c

633333363336

8.（5分）如图，在四棱锥尸-ABC。中，已知B4_L底面ABC。，ABLBC,ADLCD,且N

BAD=120°,PA=AB=AD=2,则该四棱锥外接球的表面积为（）

l20V5

A.8irB.20TlC.20V5TTD.-------n

3

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中,

至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

（多选）9.（5分）在复平面内，下列说法正确的是（）

A.若复数z满足JeR,则ZCR

B.若复数z=H（i为虚数单位），则/⑼二刀

C.若复数z=m+〃i（m,nGR）,则z为纯虚数的充要条件是根=0

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D.若复数z满足条件2W|z|W3,则复数z对应点的集合是以原点。为圆心，分别以2

和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界

（多选）10.（5分）黄种人群中各种血型的人所占的比例见如表:

血型ABAB0

该血型的人所占0.280.290.080.35

比例

已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可

以给血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是（）

A.任找一个人，其血可以输给8型血的人的概率是0.64

B.任找一个人，8型血的人能为其输血的概率是0.29

C.任找一个人，其血可以输给。型血的人的概率为1

D.任找一个人，其血可以输给A8型血的人的概率为1

（多选）11.（5分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P,。分别为棱BC和CC1的中点,

则下列说法正确的是（）

A.4£>_L平面尸

B.8cl〃平面AQP

C.异面直线4c与PQ所成角为90°

D.平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形

（多选）12.（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,E,F

—>—>—>—>

分别为AB,AC上的动点，设力E=AF=iiAC,其中入，（0,1）,则下列说法

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正确的是（）

A.若|薪|=\AF\,贝IJ入十四=1

->—>

B.若入=中贝怀尸与BC不共线

1

C.若入+四=1,记三角形AEF的面积为S,则S的最大值为］

D.若入2+「=1,且〃，N分别是ERBC边的中点，则的最小值为a―1

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置

上）

13.（5分）已知样本数据xi,xi,尤3,X4,X5的方差为2,则样本数据3尤1-2,3x2-2,3x3

-2,3x4-2,3元5-2的方差为.

八sml5°cos5°-sm20°

14.（5分）------------------=.

coslScos5°-cos20

15.（5分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获

胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”.设甲队主场

取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜

的概率是.

16.（5分）在△A8C中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,asinB=y/3bcosA,a=3,

若点P在边BC上，并且BP=2PC,O为△ABC的外心，则OP之长为.

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四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数

的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.

（1）若事件A表示“两个数的和为5”，求尸（A）；

（2）现连玩三次，若事件2表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试

问B与C是不是互斥事件？为什么？

（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由.

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—>—>—>

18.(12分)已知。是坐标原点，向量。4=(2,3),0B=(6,1),OP=(x,0).

(1)若总上而，求实数X的值；

—>—>

(2)当P4-PB取最小值时，求AAB尸的面积.

19.(12分)如图，在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A-C)+cosB=

ln

V2sinA,且ce(0,

2

(1)求角C；

(2)若。为BC边上的一点，且AO=5,AB=7,DB=3,求AC的长.

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20.(12分)如图，42是圆。的直径，点C是圆。上异于A,2的点，尸。垂直于圆。所

在的平面，且尸。=08=2.

(1)若O为线段AC的中点，求证：平面平面尸OD；

(2)若AC=BC,点E是线段P8上的动点，求CE+OE的最小值.

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21.（12分）螃蟹是金坛长荡湖的特产.小刘从事螃蟹养殖和批发多年，有着不少客户.小

刘把去年采购螃蟹的数量x（单位：箱）在[100,200）的客户称为“大客户”，并把他们

去年采购的数量制成如表：

采购数x[100,120）[120,140）[140,160）[160,180）[180,200）

客户数10105205

已知去年“大客户”们采购的螃蟹数量占小刘去年总的销售量的j.

（1）根据表中的数据完善右边的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168

箱）的''大客户"人数；

（2）估算小刘去年总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）小刘今年销售方案有两种：

①不在网上销售螃蟹，则按去年的价格销售，每箱利润为20元,预计销售量与去年持平；

②在网上销售螃蟹，则需把每箱售价下调山元（2W〃zW5）,销售量可增加1000根箱.问

哪一种方案利润最大？并求出今年利润Y（单位：元）的最大值.

22.（12分）如图，在四棱锥P-A8CD中，底面ABC。为直角梯形，AD//BC,ZADC=

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90°,AD=CD=3,BC=4,△PBC为正三角形，点Af,N分别在线段4。和PC上，且

DMCN.i

--=—=2.设二面角P-AD-B为。,且cos。=于

AMPN3

(1)求证：PM〃平面BON；

(2)求直线PM与平面PBC所成角的正弦值;

(3)求三棱锥尸-ABN的体积.

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2020-2021学年江苏省常州市高一下期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1.（5分）已知复数z=^（，是虚数单位），则，的虚部为（)

55

A.B.C.一D.-i

22

【解答】解:_2-3i_(2-3j)(l-i)_-l-5i

•z=1+F=(l+i)(l-i)=-2-)

.*.z=T+

故选：B.

2.（5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9

个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始

评分相比，不变的数字特征是（）

A.中位数B.平均数C.方差D.极差

【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效

评分，

7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，

故选：A.

3.（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,若22=A+C,且户=收,

则△A8C一定是（）

A.直角三角形B.钝角三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

【解答】解：由28=A+C,A+B+C=180°,可得8=60°,

由余弦定理可得，b2=a1+c2-2accosB=a2+c2-ac,

因为廿=ac,所以

故（A-c）2=0,

则a=c,

综上所述，△ABC是等边三角形.

故选：D.

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4.(5分)魔方又叫鲁比克方块(Ri/bKsCube),是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克•艾

尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为

智力游戏界的三大不可思议.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的

棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为

中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从

这些小正方体中任取一个，恰好抽到边角方块的概率为()

【解答】解：一共有27个小正方体，其中边角方块共有8个，故恰好抽到边角方块的概

率等于

27

故选：B.

1

5.（5分）已知sina+cosa=可，aG（0,JT）,则sina-cosa的值为（）

V17

A.土——D.-

一3

【解答】解：已知sina+cosa=5，aG(0,n),

14

所以1+2sinacosa=g,即sinacosa=一g，

所以aEg,7r).

所以sina-cosa>0,

所以sina-cosa=yj(sina+cosa)2—4sinacosa=

故选：C.

6.(5分)①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；

②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；

③平行于同一平面的两条不同的直线平行；

④平行于同一直线的两条不同的直线平行；

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以上4个关于空间直线与平面的命题中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：对于①，垂直于同一直线的两条不同的直线相交、平行或异面，故①错误;

对于②，由线面垂直的性质得：垂直于同一平面的两条不同的直线平行，故②正确；

对于③，平行于同一平面的两条不同的直线相交、平行或异面，故③错误；

对于④，由平行公理得：平行于同一直线的两条不同的直线平行，故④正确.

故选：B.

7.（5分）如图，在三棱锥。-ABC中,点P，。分别是8C的中点，点。为线段尸。

—>—>—>_»->—>—>__»

则亦=（

上一点，且尸。=2DQ,若记0Z=a,OB—b,OC-c

IT1tITITL1tIT1tITIT1-1t

A.-a+-b-\--cB.-a+-b+-cC.-a+-b-\--cD.-a+-b+~c

63333336336

—»—>—>1TDt-1—»n-1—>—>

【解答】解：因为0D=0P+PD=50a+jQ=&04+^x&(0Q+aQ)

乙。乙。乙

1—>[1—>―>1―>—>

=20A+[I](OB+0C)+2(ZB+XC)]

=5乙0A。+区乙gOB乙+5OC乙+(OB—OA)乙+(OC-0A)]

>-1—»—>—>-1—>[—]-

=^OA+^(OB+OC-0A)=^OA+^OB-^-^OC

]T1T1-»

=+可力+可(7,

故选：A.

8.（5分）如图，在四棱锥尸-A3CD中，已知B4_L底面ABC。，AB±BC,ADLCD,且N

BAD=120°,PA=AB^AD=2,则该四棱锥外接球的表面积为（）

第13页共25页

L20V5

A.8irB.207rC.20V57TD.-------n

3

【解答】解：取AC中点E,过£作出的平行线/,则球心。在直线/上，

如图所示：

已知B4_L底面AB±BC,ADVCD,且NB4O=120°,P4=A2=AD=2,

△ABD^AADC,

由于/_LAC,

所以/上的点到A、B、C、。的距离都相等，

作AP的中垂线交/于点O,

即。为四棱锥体的外接球的球心，

且能满足OA=OP,

利用勾股定理：

求得OA=OP=V5,

所以S=4TT（V5）2=207r.

故选：B.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中,

至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

（多选）9.（5分）在复平面内，下列说法正确的是（）

A.若复数Z满足JeR,则ZCR

B.若复数Z=（，为虚数单位），则z2°21=-j

C.若复数z=m+〃i（加，及ER）,则z为纯虚数的充要条件是根=0

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D.若复数z满足条件2W|z|W3,则复数z对应点的集合是以原点。为圆心，分别以2

和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,若z2=-leR,此时z《R,A错误；

对于8,若复数z=1^,贝则有z2021=（-02020X（7）=-i,8正确；

对于C,若复数（“2,wCR）,则z为纯虚数的充要条件是m=0,且“W0,故C

错误.

对于。，设复数z=〃z+wi,若复数z满足条件2W|z|W3,

2

则有4W"P+"2=（加一0）2+（„_0）^9,故复数z对应点的集合是以原点。为圆心，

分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界，D正确；

故选：BD.

（多选）10.（5分）黄种人群中各种血型的人所占的比例见如表:

血型ABAB0

该血型的人所占0.280.290.080.35

比例

已知同种血型的人可以输血，。型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可

以给血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是（）

A.任找一个人，其血可以输给8型血的人的概率是0.64

B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29

C.任找一个人，其血可以输给。型血的人的概率为1

D.任找一个人，其血可以输给A8型血的人的概率为1

【解答】解：任找一个人，其血可以输给8型血的人的概率是0.29+0.35=0.64,故选项

A正确；

任找一个人，8型血的人能为其输血的概率是0.37,故选项8错误；

任找一个人，其血可以输给。型血的人的概率为0.35,故C错误；

任找一个人，其血可以输给A3型血的人的概率为1,故选项。正确.

故选：AD.

（多选）11.（5分）如图，正方体A2CD-A131C1D1中，P,。分别为棱2C和CC1的中点,

则下列说法正确的是（）

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A.4£>_1平面4。尸

B.8cl〃平面AQP

C.异面直线4c与PQ所成角为90°

D.平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形

【解答】解：对于A,假设4OLAP,又AiO_LOC,且AP与。C相交，可得AiOJ_平

面ABCD,

而AM,平面A8CZ）,与过一点有且只有一条直线与一个平面垂直矛盾，故4D与A尸不

垂直，

则ALD与平面AQ尸不垂直，故A错误；

VP,。分别为棱8C和CC1的中点，：.PQ//BCi,

；PQu平面AQP,BCiU平面AQP,；.BCi〃平面AQP,故2正确；

BiC±BCi,可得21clpQ,而21c是AiC在平面281C1C上的射影，可得AiCLLPQ,

即异面直线4C与PQ所成角为90°,故C正确；

连接AOi,QD1,可得PQ〃AOi,即四边形APQOi为平面AQP截正方体所得截面，

由正方体的结构特征求得AP=QD,则平面A。尸截正方体所得截面为等腰梯形，故。

正确.

故选：BCD.

（多选）12.（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,E,F

—>—>—>—>

分别为AB,AC上的动点，设4E=X4B,AF=nAC,其中入，|1£（0,1）,则下列说法

正确的是（)

第16页共25页

A.若丽=\AF\,则X+n=l

->—>

B.若入=中贝。EF与BC不共线

1

C.若入+p=l,记三角形AEE的面积为S,则S的最大值为&

D.若入2+「=1,且跖N分别是EF,BC边的中点，则|研的最小值为企一1

【解答】解：选项A,因为AB=AC,BE=AF,所以AE=FC,所以人+—篇+黑=募+

AT

前=1,故A正确；

―»—>

选项B,若入=山则AE=AR所以E尸〃BC,所以EF,BC共线，故B错误；

-j-1JA,E+4F

选项C,若入+尸1,贝!IAE+AP=AB=2,所以S=今x(---)2,

1

当且仅当AE=A尸时取得等号.即AE=AP=1,所以S的最大值为一,故C正确；

2

选项。，以A为坐标原点，AB,AC所在的直线分别为x,y轴，建立如图所示的平面直

角坐标系，

—>—>—>—>

因为A3=AC=2,AE=XAB,AF=\vAC,

所以8(2,0),C(0,2),F(0,2g,E(2入，0),

因为M,N分别是EEBC的中点，

所以M(入，n),N(1,1),

因为M+j=i,

所以Af在单位圆上，|AM|=1,

所以|MN|2|AN|-|AM|=V2-1,

当且仅当A,M,N三点共线时取得等号，

所以|加川的最小值为&-1.故。正确.

故选：ACD.

第17页共25页

y

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置

上）

13.（5分）已知样本数据xi,xi,X3,X4,X5的方差为2,则样本数据3xi-2,3x2-2,3x3

-2,3x4-2,3尤5-2的方差为18.

【解答】解：,样本数据XI,XI,X3,X4,X5的方差为2,

.,.样本数据3X1-2,3X2-2,3X3-2,3x4-2,3x5-2的方差是原来的32倍，即2X3?

=18,

故答案为：18.

sml5°cos5°-sm20°

14.(5分)=--(2+V3).

cosl5°cos5°-cos20°

【解答】解：原式=濡篝篝篙

_sinl50cos5°—sinl5°cos5°—cosl5°sin5°

一cosl50cos5°—cosl5°cos5°+sinl50sin5°

—cosl5°sin5°

sinl5°sin5°

=-cotl5°，

•/tanl5°=tan(45°-30°)=工。嚼=二I=2

H-tan3001,73

1■十T

-cotl5°=——-------=-（2+V3）.

27（2/3）（2+佝

故答案为：—（2+b）.

15.（5分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获

胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”.设甲队主场

取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜

的概率是Q.6.

第18页共25页

【解答】解：甲队最终获胜包含3种情况：

①前两场甲均胜，概率为Pi=0.6X0.5=0.3,

②第一场甲胜，第二场甲负，第三场甲胜，概率为22=0.6X0,5X0.6=0.18,

③第一场甲负，第二场甲胜，第三场甲胜，概率为23=0.4X0.5X0.6=0.12,

...甲队最终获胜的概率是尸=21+22+尸3=0.3+0.18+0.12=0.6.

故答案为：0.6.

16.（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,asinB=43bcosA,a=3,

若点尸在边BC上，并且BP=2PC,。为aABC的外心，则。尸之长为1.

【解答】解：：as讥B=V^6cos4

，根据正弦定理可得，sinAsinB=\[3sinBcosA,

vse（0,it）,

siaBWO,

tanA=y/3,

又,.・AW（0,n）,

：.A=60°,ZBOC=120°,

°：OB=OC,

：.ZOCB=30°,

CL3i-

由正弦定理可得，--=K=2<3=2R（R为三角形ABC外接圆的半径），

sinA.

2

：.R=OB=OC=V3,

Va=3,BP=2PC,

；.PC=1,

△OCP中，根据余弦定理可得，oaucoz+cp2-2CO・CP・COS/OC2,

OP2=（V3）2+l2-2xV3xlx^y,解得OP=1.

故答案为：L

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数

的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.

第19页共25页

(1)若事件A表示“两个数的和为5”，求尸G4)；

(2)现连玩三次，若事件8表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试

问B与C是不是互斥事件？为什么？

(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由.

【解答】解:(1)易知样本点总数”=16,且每个样本点出现的可能性相等.

事件A包含的样本点共4个：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),

所以P(A)=0.25.

(2)8与C不是互斥事件.

理由：因为事件8与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次.

(3)这种游戏规则公平.理由如下：

和为偶数的样本点有：(1,1),(1,3),(2,2),

(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4),共8个,

所以甲赢的概率为0.5,乙赢的概率为0.5,

所以这种游戏规则公平.

18.(12分)已知。是坐标原点，向量。力=(2,3),OB=(6,1),OP=(%,0).

->—>

(1)若P4LPB,求实数x的值；

—»—»

(2)当P4-PB取最小值时，求AAB尸的面积.

—>—>—>

【解答】解：(1)因为。4=(2,3),OB=(6,1),OP={x,0),

所以曲=(2-刈3),PB={6-x,1),

又因为P41PB,所以P4-PB=0,即(2-x)(6-尤)+3=0,

也即尤2-8X+15=0,解得尤=3或X=5,则所求实数x的值为3或5.

—>—>

(2)由(1)知P4-PB=(2-x)(6-尤)+3=f-8x+15=(尤-4)2-1,

当尤=4时，24•8取最小值-1,

此时P4=(-2,3),PB=(2,1),

—>—>V65

则cosVPA,

PB>=—>―>~65,

\PA\x\PB\

第20页共25页

—»—>8765

又在AABP中,<PAPB>E(0,7T),则s讥VPA,

f-65-,

17TTt1R/jq

AABP的面积为S=・x\PA\x\PB\xsin<PA,PB〉=^xV13xV5x=4.

19.(12分)如图，在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A-C)+cosB=

V2sinA,且CE(0,-).

2

(1)求角C；

(2)若。为3。边上的一点，且AZ)=5,AB=7,DB=3,求AC的长.

【解答】解：(1)因为cos(Z—C)+cosB=V^si7M,

所以cos(A—C)+cos\n-(/+C)]=y/2sinA

即cos(4—C)—cos(A+C)=yflsinA,

由两角和与差的余弦公式得，2sinAsinC=J^s27h4,

又因为在△ABC中，sinAWO,所以sinC=¥，

又因为C6(0,分所以C=1

(2)在△A3。中,

AD2+BD2-AB252+32-72

由余弦定理得cos乙4DB=

2xADxBD2x5x3

又因为乙4。8€(0,IT),贝i]zADB=竽，即4WC=,

ACAD

在△AC。中，由正弦定理得,

sinZ-ADCsinC'

5,.7T576

即-：~五XSITI

AC=3=-2--

sin-4r

20.(12分)如图，AB是圆。的直径，点C是圆。上异于A,8的点，尸。垂直于圆。所

在的平面，且尸。=。2=2.

(1)若O为线段AC的中点，求证：平面B4CL平面尸OQ；

(2)若AC=2C,点E是线段PB上的动点，求CE+OE的最小值.

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【解答】解：（1）在△AOC中，因为04=。。，。为AC的中点,

所以AC_LOD

又尸。垂直于圆。所在的平面，因为ACu圆。所在的平面，所以PO±AC.

因为。0np0=0,所以ACJ_平面PD0,

因为ACu平面E4C,所以平面E4C_L平面P0D

（2）在△POB中，P0=0B=2,NP0B=9Q°,所以PB=MF+/=2五.

同理PC=2V2,所以PB=PC=BC=2V2.

在三棱锥尸-ABC中，将侧面BC尸绕P8旋转至平面8C'P,使之与平面A8P共面，

如图所示.当。，E,C共线时，CE+OE取得最小值.

又因为0P=02,CP=C'B,所以。C'垂直平分P8,即E为尸2中点.

从而0C'=0E+EC=y/2+46,

亦即CE+OE的最小值为夜+V6.

21.（12分）螃蟹是金坛长荡湖的特产.小刘从事螃蟹养殖和批发多年，有着不少客户.小

刘把去年采购螃蟹的数量x（单位：箱）在[100,200）的客户称为“大客户”，并把他们

去年采购的数量制成如表：

采购数x[100,120）[120,140）[140,160）[160,180）[180,200）

客户数10105205

已知去年“大客户”们采购的螃蟹数量占小刘去年总的销售量的，

（1）根据表中的数据完善右边的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168

箱）的“大客户”人数；

（2）估算小刘去年总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）小刘今年销售方案有两种：

①不在网上销售螃蟹，则按去年的价格销售，每箱利润为2