2020高中数学必修第一册教材分析

高中数学必修第一册教材分析

作为新课程高中数学的起始模块一必修一，它是由“第一章集合与常用逻辑用语、第二章一元

二次函数、方程和不等式、第三章函数的概念与性质、第四章指数函数与对数函数、第五章三角函

数”五部分内容组成.下边为了便于讨论，我们分章对于教材作一一分析.

1集合与常用逻辑用语

集合是近代数学中的一个重要概念，集合概念及其基本理论又是近代数学的一个重要的基础，它

不仅与高中数学的许多内容有着联系，而且已经渗透到自然科学的众多领域，应用十分广泛。中学

数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以简明地表述数学概念，准

确、简捷地进行数学推理.正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，无论是进行思

考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维，使得思维清晰明了，

说理有据。

本章内容以集合的含义与表示、集合的基本关系、集合的基本运算为逻辑链条统领全章，这种

安排与以往的教材的处理有很大的区别.例如，集合的基本关系，是将集合的包含和相等关系放在一

起，并给出子集的概念；集合的基本运算，是将集合的交、并、补放在这一节，并给出全集的概念,

这样安排给学生展现出知识间的联系，便于学生学习.学习逻辑用语的目的不是学习数理逻辑的有关

知识，而是让学生通过学习逻辑用语的基本知识，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，它包括数

学上和日常生活中的应用。

教学目标

集合语言是现代数学的基本语言.使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容（集合

的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础），因此高中数学课

程中只是将集合作为一种语言来学习.

⑴了解集合的含义，明确元素与集合的“属于”关系.掌握描写某些数集的专用符号.

⑵理解集合的表示法，能用集合语言对事物进行准确，能选择自然语言、图形语言、集合语言

（列举法或描述法）描述不同的具体问题.

⑶理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.培养分析、比较、归纳的逻辑思维

能力.

⑷了解全集与空集的含义.

⑸理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.

⑹理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

⑺能使用Venn图表达集合的关系及运算.

⑻了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.

(9)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系.

(10)通过数学实例,了解"或"、"且"、"非"的含义.

(11)通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.

(12)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

教学重点和难点

教学重点

(1)了解集合的含义与表示.

(2)理解集合间的包含与相等含义，子集与真子集的概念.

(3)理解交集与并集、全集与补集的含义.

⑷理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系.

教学难点

(1)运用集合的两种常用表示法一列举法与描述法正确表示一些简单的集合.(集合法的恰当选择)

(2)属于关系与包含关系的区别.

(3)交集与并集的概念的理解，交集与并集的符号之间的区别与联系.

(4)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

知识结构与教学安排

2一元二次函数、方程和不等式

通过具体情境感受不等关系，理解不等式修且）对于刻画不等关系的意义和价值；掌

握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；认识基本不等式及其简单

应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。

地位与作用：不等量关系和等量关系都是反映客观世界中的量与量之间最基本的数学

关系。它与方程一样，都是解决数学问题的重要工具，在数学研究和解决实际问题中起

着同样重要的作用。不等式在中学数学中有着广泛的应用，它与数、式、方程、函数、

导数等知识有着密切的关系，例如讨论方程或方程组解的情况；研究函数的定义域、值

域、单调性、最值；讨论曲线的分布范围等都需要用到不等式的相关知识。因此，不

等式在中学数学中有着重要的地位，也是进一步学习数学的基础之一。

课时安排建议：

2.1等式性质与不等式性质（约2课时）

2.2基本不等式（约3课时）

2.3一元二次不等式及其性质（约3课时）

小结与复习（约3课时）

教学重难点：

教学重点：

1.不等式的性质；

2.解一元二次不等式，突出数形结合的思想；

3.基本不等式证明及其应用。

教学难点：

1.不等式性质；

2.“三个二次的关系”；

3.应用基本不等式求最值。

教学建议：

（一）不等关系与不等式

1.引导学生进一步挖掘一些现实生活中的素材，通过分析其中的基本数量关系，

让学生学会用不等式表示不等关系。

由于课标对本节内容的定位是用不等式表示和研究客观事物的不等关系，因此，教

材特别强调构建实际问题情景，因此，我们要通过现实生活和数学中的大量实例，引导

学生了解不等式（组）的实际背景，感受不等关系的普遍性和学习不等式知识的重要性,

初步体会用不等式刻画各种不等关系的方法，在从实际背景抽象出数学模型的过程中

（数学建模），使学生体会知识的形成过程。

2.建议在教学中不要对这些性质的证明作过多的纠缠，而应该在说明这些性质的

合理性上举例说明。

在不等式的性质的教学时，要注意不等式性质成立的条件，注意区分不等式性质单

向（放缩法）与双向性（等价性）（双向性质是解不等式的基础，而证明不等式既可用

单向性质也可用双向性质）；例如双向性：

（1）

（2）

（3）

例1对实数判断下列命题的真假.

(1)若a>b,则a2〉"(2)若则

(3)若3>9〉0,则。昆"?<(4)若则

bd

例2已知：。是三个正数次Zxc中最大的数，且巴二士，求证：

bd

上i—th7U°7TOC~\~BCC—B,»-++-ra

例3已知：——<«</?<—,求：——匕,——匕的范围.

2222

(二)一元二次不等式的解法

1.加强不等式与函数与方程的联系，突出数形结合的思想。

在一元二次不等式解集的讨论中，强调函数思想、数形结合思想的应用，而不是简

单地告诉学生一个解题程序。在这个过程中，帮助学生认识到“不等”与“相等”之间

有着不可分割的内在联系；在总结解法时，既要条理清晰，操作简便，又要关注对“特

例”的处理。

2.简单的含参的一元二次不等式解法，简单的二次不等式恒成立问题(结合学生

实际情况，分层次，不可一步到位)。

“区间根问题”、“二次函数在区间上的最值问题”以及“二次不等式在区间上恒

成立的问题”，由于这些问题会涉及到含参数的问题，因此要注意把握尺度，做到循序

渐进。

建议适当补充一些可以转化为二次不等式的不等式求解问题，如简单的分式不等

式，简单的高次不等式，重点体会等价转化的思想。

(三)基本不等式

基本不等式出现的比较突然，学生不易接受，因此在引入之后要从多方面进行解释,

加强理解。

利用基本不等式求最值是本课的教学核心；关注运用要点：一正，二定，三相等，

要注意“等”的重要性和必要性，与对勾函数的联系；重视实际应用题的教学。

基本不等式仅限于二元均值不等式，不必推广到三个以上变量的情形。

3函数的概念与性质

20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学

数学。克莱因提出了一个重要的思想一一以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数

概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地

综合。”在高中课程中，函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用，包括概率

统计中的随机变量等，以及选修系列3、4中的大部分专题内容，都与函数有着密切的联系。用函数(映

射)的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，可以加深对

于函数思想的认识。实际上，在整个高中数学课程中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我

们带来的“好处”。

教学目标

⑴了解函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.

⑵能用集合与对应的语言刻画函数概念.

⑶了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

⑷能根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.

⑸了解简单的分段函数，并能简单应用.

⑹了解映射的概念.

⑺了解增函数、减函数的概念，理解函数的单调性，能利用单调性的定义判断函数的单调性.

⑻理解二次函数的图象变换，掌握二次函数的性质，并会利用二次函数的图象和性质求最值.

(9)了解函数奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性，能根据函数的奇偶性解决有关问题.

(10)能运用函数的图象理解和研究函数的性质.

教学重点和难点

教学重点

(1)理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数.

(2)理解函数的概念，函数的表示法.

(3)理解函数单调性、奇偶性的概念，学会判断和证明函数的单调性、奇偶性.

(4)掌握用函数的单调性求一些函数的最大值

教学难点

(1)对抽象符号/(无)的理解，分段函数的表示及图像.

(2)应用定义证明单调性.

(3)利用数学本质正确判断函数的奇偶性.

知识结构与教学安排

课时安排

本章教学时间约需要13课时，具体分配如下:

3.1集合约4课时

3.2函数及其表示约4课时

3.3函数的基本性质约3课时

实习作业约1课时

小结约1课时

4指数函数和对数函数

函数是贯穿中学数学的核心内容,本章继第一章学习完函数概念和基本性质后,较为系统地研究

最重要的两个基本初等函数:指数函数和对数函数.通过这些函数的研究,使学生进一步认识到函数

是刻画现实世界变化规律的重要模型，是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应

关系的数学模型.并要求结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程与方法.函数是高中数学

的起始课程，函数的重要性主要表现在两个方面：一是函数思想的价值；二是函数的应用价值.从两

个方面学习函数的应用，一是函数与其它数学内容的联系：再一个是函数与实际的联系.力图在理念、

方法和能力上为高中阶段的学习奠定基础.

教学目标

⑴理解有理指数幕的含义，了解无理指数幕及实数指数幕的意义,掌握塞的运算.

⑵了解指数函数模型的实际背景.

⑶理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指

数函数的单调性和特殊点.

⑷在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.

⑸理解对数的概念及其性质，知道能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数.

⑹了解对数的发展历史以及简化运算的作用.

⑺了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的

函数模型.

⑻能够画出具体的对数函数的图象，了解对数函数的单调性与特殊点.

⑼了解反函数的定义,知道指数函数y=相与对数函数互为反函数.

⑩掌握累函数、指数函数和对数函数的变化特点，会区别它们变化的速度的不同.

(11)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与

方程根的联系.

(12)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解二分法是求方

程近似解的常用方法.

(13)能利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异；结合实例体会直线上

升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.

教学重点和难点

教学重点

(1)指数函数、对数函数的概念和运算性质.

(2)指数函数和对数函数的图象和性质.幕函数的一些性质

(3)对数式与指数式的互化

(4)函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数的观点处理问题的意识

(5)通过“二分法”求方程的近似解.

(6)将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,

结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

教学难点

(1)分数指数幕的概念理解.

(2)对数函数概念的理解

(3)底数a对指数函数与对数函数的函数值变化的影响.

(4)函数与方程的关系、函数与方程思想的渗透.

(5)怎么选择数学模型分析解决实际问题。

课时安排

本章教学时间约需要22课时，具体分配如下:

4.1指数函数约6课时

4.2对数函数约6课时

4.3累函数约1课时

4.4函数与方程约3课时

4.5函数建模及其应用约4课时

实习作业约1课时

小结约1课时

5.三角函数

本章学情分析与教材分析：

（一）学情分析：本章内容主要包括三角函数任意角的概念、弧度制、任意角的三角函

数、诱导公式、三角函数的图象和性质、三角函数模型及其应用.

在学习三角函数之前，学生已经学习了一次函数、二次函数、募函数、指数函数和

对数函数，对函数有了一定的认识.三角函数是学生遇到的第一个周期性函数，是高中

阶段学习的最后一个基本初等函数.学完本章以后，学生应对函数的一般内容，如函数

符号、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等建立更完整的认识.

初中数学教学中已有锐角的三角函数的概念，但没有将其作为一种函数来教学，关

注的只是三角函数值，主要利用锐角三角函数的定义解决直角三角形中有关边角的问

题.到了高中阶段，需要从函数的角度来认识三角函数，落实大纲中与三角函数部分相

关的教学内容与要求.

本章首先对角的概念进行推广，并通过弧度制对角的度量建立角与实数之间的一一

对应关系，为学生理解三角函数是以实数为自变量的函数奠定基础；为了角的概念推广

的需要，把角放到平面直角坐标系中进行研究，不仅建立了角的大小与终边位置的关系，

而且通过角的终边上的点的坐标来定义任意角的三角函数，并利用角的终边上点的坐标

的正负直观性，判断三角函数值的符号，得到特殊角的三角函数值，建立同角三角函数

的两个基本关系式以及诱导公式；借助三角函数图像以及诱导公式帮助学生从“形”与

“数”两方面理解正弦函数、余弦函数的变化规律；最后利用计算器及诱导公式，能由已

知三角函数值求出指定范围的角.

（二）教材分析:

1.核心素养

《三角函数》可看作是《函数》一章内容的延伸和拓展，在教学中要注意让学生体

会三角函数与一般函数之间的关系，即个性与共性之间的关系.同时，在本章的教学中，

要特别注意数学思想方法的渗透，如突出“数形结合”的思想方法.由于三角函数的基础

是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，所以教学中既要“以