第一单元分数乘法分数混合运算和简便计算（学案）六年级上册数学人教版

/第一单元：分数乘法、分数混合运算和简便计算（学案）一、分数乘法1.1分数乘整数当分数与整数相乘时，只需将整数与分数的分子相乘，分母保持不变。例如：\[\frac{3}{4}\times5=\frac{3\times5}{4}=\frac{15}{4}\]1.2分数乘分数当两个分数相乘时，将第一个分数的分子与第二个分数的分子相乘，第一个分数的分母与第二个分数的分母相乘。例如：\[\frac{3}{4}\times\frac{2}{5}=\frac{3\times2}{4\times5}=\frac{6}{20}\]简化后，得到：\[\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\]1.3分数乘小数将分数的分子与整数部分相乘，分母保持不变。例如：\[\frac{3}{4}\times0.5=\frac{3\times0.5}{4}=\frac{1.5}{4}\]简化后，得到：\[\frac{1.5}{4}=\frac{3}{8}\]二、分数混合运算2.1分数与整数的混合运算在进行分数与整数的混合运算时，先将整数转换为分数，再进行乘法或除法运算。例如：\[2\div\frac{3}{4}=2\times\frac{4}{3}=\frac{8}{3}\]2.2分数与分数的混合运算在进行分数与分数的混合运算时，将除法转换为乘法，然后进行乘法运算。例如：\[\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times\frac{5}{2}=\frac{15}{8}\]三、简便计算在进行分数运算时，可以运用一些简便方法来简化计算过程。3.1分子分母同时除以公因数在进行分数乘法或除法运算时，如果分子和分母有公因数，可以先将其约分，再进行计算。例如：\[\frac{12}{15}\times\frac{9}{12}=\frac{12\div3}{15\div3}\times\frac{9\div3}{12\div3}=\frac{4}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{5}\]3.2交叉相乘法在进行分数除法运算时，可以使用交叉相乘法来简化计算。例如：\[\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times\frac{5}{2}=\frac{3\times5}{4\times2}=\frac{15}{8}\]3.3分子分母同时乘以整数在进行分数乘法运算时，如果需要将分子和分母同时乘以整数，可以先将其化简，再进行计算。例如：\[\frac{3}{4}\times8=\frac{3\times8}{4\times1}=\frac{24}{4}=6\]四、总结本单元主要介绍了分数乘法、分数混合运算和简便计算。在进行分数乘法运算时，需要注意整数与分数、分数与分数、分数与小数的乘法法则。在进行分数混合运算时，需要掌握分数与整数、分数与分数的混合运算方法。在简便计算方面，要学会运用分子分母同时除以公因数、交叉相乘法和分子分母同时乘以整数等方法来简化计算过程。通过本单元的学习，希望同学们能够熟练掌握分数乘法、分数混合运算和简便计算的方法，并在实际应用中灵活运用。重点关注的细节是“简便计算”部分，特别是“交叉相乘法”在分数除法运算中的应用。以下是对这一细节的详细补充和说明：交叉相乘法在分数除法中的应用交叉相乘法是分数除法中的一种简便计算方法，它通过将除法转换为乘法，从而简化了计算过程。这种方法在解决一些复杂的分数运算问题时非常有效，尤其是在没有计算器的情况下，能够迅速得出答案。交叉相乘法的步骤1.写出除法问题：首先，将分数除法问题写成标准形式，即一个分数除以另一个分数。例如：\[\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\]2.转换为乘法：将除法转换为乘法，即乘以第二个分数的倒数。例如：\[\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\]3.交叉相乘：将第一个分数的分子与第二个分数的分母相乘，第一个分数的分母与第二个分数的分子相乘。例如：\[\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{a\timesd}{b\timesc}\]4.简化结果：如果可能，对结果进行简化，即约分。例如：如果\(a\)和\(c\)有公因数，或者\(b\)和\(d\)有公因数，可以约分。交叉相乘法的优势交叉相乘法在分数除法中的优势主要体现在以下几个方面：-简化计算过程：通过将除法转换为乘法，避免了直接处理分数除法的复杂性。-减少错误：交叉相乘法减少了需要记忆的步骤，从而减少了计算错误的可能性。-提高速度：在熟练掌握交叉相乘法后，可以迅速解决分数除法问题，提高计算速度。交叉相乘法的应用实例以下是一些应用交叉相乘法解决分数除法问题的实例：实例1：基本应用\[\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}\]使用交叉相乘法：\[\frac{3}{4}\times\frac{5}{2}=\frac{3\times5}{4\times2}=\frac{15}{8}\]实例2：带有整数的分数除法\[\frac{7}{8}\div\frac{1}{4}\]先将整数转换为分数：\[\frac{7}{8}\times\frac{4}{1}=\frac{7\times4}{8\times1}=\frac{28}{8}\]然后简化结果：\[\frac{28}{8}=\frac{7}{2}\]实例3：复杂的分数除法\[\frac{5}{12}\div\frac{3}{7}\]使用交叉相乘法：\[\frac{5}{12}\times\frac{7}{3}=\frac{5\times7}{12\times3}=\frac{35}{36}\]交叉相乘法的练习与掌握为了掌握交叉相乘法，需要进行大量的练习。可以从简单的分数除法问题开始，逐渐增加难度，直到能够熟练解决各种复杂的分数除法问题。在练习过程中，要注意以下几点：-理解原理：要理解交叉相乘法的原理，而不仅仅是记住步骤。-逐步练习：从简单的例子开始，逐步过渡到更复杂的例子。-检查答案：在练习后，要检查答案是否正确，并分析错误的原因。-多样化练习：尝试不同类型的分数除法问题，以增强对交叉相乘法的理解和应用能力。通过不断的练习和复习，同学们可以逐步掌握交叉相乘法，并在解决分数除法问题时更加得心应手。这种方法不仅有助于提高数学成绩，还能在实际生活中解决各种与分数相关的问题。交叉相乘法的进阶应用在掌握了交叉相乘法的基本应用之后，我们可以进一步探索这种方法在更复杂问题中的应用，以及如何与其他数学概念相结合。实例4：连续除法有时，我们可能会遇到连续的分数除法问题，例如：\[\left(\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}\right)\div\frac{1}{2}\]首先解决括号内的除法：\[\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{2\times5}{3\times4}=\frac{10}{12}\]然后简化结果：\[\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\]接着，用这个结果去除以\(\frac{1}{2}\)：\[\frac{5}{6}\times\frac{2}{1}=\frac{5\times2}{6\times1}=\frac{10}{6}\]再次简化结果：\[\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\]实例5：与比例结合交叉相乘法也可以用于解决与比例相关的问题。例如，如果一个比例是\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，我们可以使用交叉相乘法来找出未知数。\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\]\[a\timesd=b\timesc\]通过交叉相乘，我们可以解出\(a\)、\(b\)、\(c\)或\(d\)中的任何一个未知数，只要其他三个数是已知的。实例6：解决实际生活中的问题交叉相乘法在解决实际生活中的问题时也非常有用。例如，如果一个食谱要求用\(\frac{3}{4}\)杯糖，但你只有\(\frac{1}{2}\)杯糖，你可以使用交叉相乘法来计算你需要多少比例的食谱其他成分。\[\frac{3}{4}\div\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\times\frac{2}{1}=\frac{3\times2}{4\times1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\]这意味着你需要用食谱中其他成分的\(\frac{3}{2}\)倍。交叉相乘法的教学策略在教学交叉相乘法时，教师可以采用以下策略来帮助学生更好地理解和掌握：-图示法：使用图示来展示交叉相乘的过程，帮助学生直观理解。-游戏化学习：设计一些数学游戏，让学生在游戏中练习交叉相乘法。-实际应用：将交叉相乘法应用到实际问题中，让学生看到数学的实用性。-错误分析：鼓励学生犯错误，并从中学习，分析错误的原因，加深理解。-反馈与鼓励：给予学生及时的反馈和鼓励，增强他们学习数学的信心。通过这些策略，学生不仅能够学会交叉相乘法