高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判定课件新人教A版必修

直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定目标导航课标要求1.理解线面垂直的定义和判定定理.2.能运用线面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.3.能在简单的几何体中计算线面角.素养达成通过对线面垂直的判定定理的学习,培养学生的几何直观能力,学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.新知导学·素养养成(1)自然语言:如果直线l与平面α内的

直线都

,就说直线l与平面α互相垂直,记作

.直线l叫做平面α的

,平面α叫做直线l的

.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做

.(2)图形语言:如图.画直线l与平面α垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.(3)符号语言:任意a⊂α,都有l⊥a⇒

.任意一条垂直l⊥α垂线垂面垂足l⊥α思考1:若定义中把“任意一条直线”改为“无数条直线”,直线l与平面α还垂直吗?答案:不一定垂直.当这无数条直线是一组平行线时,直线l与平面α可能斜交.思考2:若直线l⊥平面α,则直线l与平面α内的直线什么关系?答案:垂直.思考3:如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面吗?答案:垂直.2.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的

都垂直,则该直线与此平面垂直⇒l⊥α两条相交直线3.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的

所成的

,叫做这条直线和这个平面所成的角.如图,

就是斜线AP与平面α所成的角.(2)当直线AP与平面垂直时,它们所成的角是90°.(3)当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角是

.(4)线面角θ的范围:

.锐角∠PAO射影0°0°≤θ≤90°名师点津(1)直线与平面垂直的定义①直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形.②注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”.(2)判定定理定理中的“两条相交直线”是关键性词语,此处强调“相交”,若两条直线平行,则直线与平面不一定垂直.(3)直线与平面所成的角把握定义应注意两点:①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的;②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.课堂探究·素养提升题型一线面垂直的概念与定理的理解[例1]下列说法中正确的个数是(

)①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直,则l⊥α;②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α;③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线;④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂直.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由直线和平面垂直的判定定理知①正确;由直线与平面垂直的定义知,②正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条直线垂直,故③不正确;④正确.故选D.方法技巧(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义,对直线的任意性要注意理解.实际上,“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直,即若a⊥α,b⊂α,则a⊥b.解析:因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC⊂平面OBC,所以OA⊥平面OBC.故选C.即时训练1-1:若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(

)(A)平面OAB (B)平面OAC(C)平面OBC (D)平面ABC题型二直线与平面垂直的判定[例2](12分)在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求证:PH⊥平面ABC.规范解答:如图,连接AH,因为H为△ABC的垂心,所以AH⊥BC,………………2分又AP⊥BC,AH∩AP=A,所以BC⊥平面AHP,…………4分又PH⊂平面AHP,所以PH⊥BC.………………6分同理可证PH⊥AB,…………8分又AB∩BC=B,所以PH⊥平面ABC.…………12分一题多变:在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,且PH⊥平面ABC,求证:AB⊥PC,BC⊥AP.证明:如图,连接AH,因为H为△ABC的垂心,所以AH⊥BC,又PH⊥平面ABC,所以PH⊥BC,又PH∩AH=H,所以BC⊥平面PAH,所以BC⊥AP,同理可证AB⊥PC.方法技巧证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直:①定义法(不常用,但由线面垂直可得出线线垂直);②判定定理(最常用,要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线);结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中的一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直).(2)平行转化法(利用推论)①a∥b,a⊥α⇒b⊥α;②α∥β,a⊥α⇒a⊥β.[备用例1]1.(2018·山东青州市高一期末)如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,若∠PDA=45°,(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥平面PCD.证明:(2)因为PA⊥平面ABCD,∠PDA=45°,所以△PAD为等腰直角三角形,所以AE⊥PD,又因为CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD,因为AE⊂平面PAD,所以CD⊥AE,又CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD,所以MN⊥平面PCD.2.(2018·四川广安高一期末)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:(1)AC∥平面A1C1D;证明:(1)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1CC1,所以四边形AA1C1C为平行四边形,所以AC∥A1C1,又AC⊄平面A1C1D,A1C1⊂平面A1C1D,所以AC∥平面A1C1D.(2)BD1⊥平面A1C1D.证明:(2)连接B1D1,BD,在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,

因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥A1C1,又A1C1⊥B1D1,B1D1∩BB1=B1,所以A1C1⊥平面BB1D1D,所以A1C1⊥BD1,连接AD1,同理可证A1D⊥BD1,又A1C1⊥BD1,A1C1∩A1D=A1,所以BD1⊥平面A1C1D.题型三直线与平面所成的角[例3]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值;(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.方法技巧求斜线与平面所成角的步骤(1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.(2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.[备用例2]如图在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=13,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,M为AC的中点.(1)求证:PM⊥平面ABC;(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值.课堂达标1.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是(

)①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径④正六边形的两条边(A)①③ (B)② (C)②④ (D)①②④A解析:由线面垂直的判定定理知,直线垂直于①③平面;对于②④图形中的两边不一定是相交直线,所以该直线与它们不一定垂直.2.如图所示,PO⊥平面ABC,BO⊥AC,在图中与AC垂直的线段有()

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条解析:因为PO⊥平面ABC,所以PO⊥AC.又因为BO⊥AC,PO∩BO=O,所以AC⊥平面PBD,所以AC⊥BP,AC⊥PD,AC⊥BD,AC⊥