数学（选修45）练习5.25.3排序不等式；贝努利不等式

第5章5.25.3一、选择题1．已知a，b，c都是正数，则a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2aA．a3＋b3＋c3>a2b＋b2c＋cB．a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋cC．a3＋b3＋c3<a2b＋b2c＋cD．a3＋b3＋c3≤a2b＋b2c＋c2解析：根据排序不等式，取两组数a，b，c和a2，b2，c2.不妨设a≥b≥c，则a2≥b2≥c2，∴a2·a＋b2·b＋c2·c≥a2b＋b2c＋c2a.当且仅当a＝b＝c答案：B2．节日期间小明要买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花的钱数为()A．76元 B．20元C．84元 D．96元解析：设a1＝1(件)，a2＝2(件)，a3＝3(件)，b1＝10(元)，b2＝13(元)，b3＝20(元)，则由排序不等式反序和最小知至少要花a1b3＋a2b2＋a3b1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．答案：A3．设a1，a2，…，an都是正数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，P＝aeq\o\al(2,1)beq\o\al(－1,1)＋aeq\o\al(2,2)beq\o\al(－1,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)beq\o\al(－1,n)，Q＝a1＋a2＋…＋an，则P与Q的大小关系是()A．P＝Q B．P>QC．P<Q D．P≥Q解析：设a1≥a2≥…≥an>0，可知aeq\o\al(2,1)≥aeq\o\al(2,2)≥…≥aeq\o\al(2,n)，aeq\o\al(－1,n)≥aeq\o\al(－1,n－1)≥…≥aeq\o\al(－1,1).由排序不等式，得aeq\o\al(2,1)beq\o\al(－1,1)＋aeq\o\al(2,2)beq\o\al(－1,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)beq\o\al(－1,n)≥aeq\o\al(2,1)aeq\o\al(－1,1)＋aeq\o\al(2,2)aeq\o\al(－1,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)aeq\o\al(－1,n)，即aeq\o\al(2,1)beq\o\al(－1,1)＋aeq\o\al(2,2)beq\o\al(－1,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)beq\o\al(－1,n)≥a1＋a2＋…＋an.∴P≥Q，当且仅当a1＝a2＝…＝an>0时等号成立．答案：D4．设a1，a2，a3为正数，E＝eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a1a3,a2)，F＝a1＋a2＋a3，则E，F的大小关系是()A．E<F B．E≥FC．E≤F D．E>F解析：不妨设a1≥a2≥a3>0，于是eq\f(1,a1)≤eq\f(1,a2)≤eq\f(1,a3)，a2a3≤a1a3≤a1a2，由排序不等式，得eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a1a3,a2)＝eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a1a3,a2)＋eq\f(a2a3,a1)≥eq\f(1,a3)·a1a3＋eq\f(1,a2)·a2a3＋eq\f(1,a1)·a1a2＝a1＋a3＋a2，即eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a1a3,a2)≥a1＋a2＋a3.∴E≥F，当且仅当a1＝a2＝a3＞0时，等号成立．答案：B二、填空题5．与贝努利不等式(1＋x)n>1＋nx(x>－1，x≠0，n>1且n∈N)等价的不等式是__________.(填序号)①(1－x)n>1－nx(x<1且x≠0，n>1，n∈N)；②(1＋x)n>1－nx(x>－1且x≠0，n>1，n∈N)；③(1－x)n>1＋nx(x<1且x≠0，n>1，n∈N)；④(1＋x)n>1＋nx(x>1，n>1，n∈N)．解析：在贝努利不等式中，令x＝－t，∵x>－1，x≠0，∴t<1，t≠0.∴原不等式变为(1－t)n>1－nt(t<1且t≠0，n>1，n∈N)．答案：①6．设0<x1<x2,0<y1<y2，且x1＋x2＝y1＋y2＝1，则下列代数式中值最大的是__________.(填序号)①x1y1＋x2y2；②x1y2＋y1x2；③eq\f(1,2)；④eq\f(3,4).解析：由排序不等式知x1y1＋x2y2>x1y2＋x2y1.易知当x2和y2无限接近于1时，x1y1＋x2y2无限接近于1，故x1y1＋x2y2的值最大．故选①.答案：①三、解答题7．设A，B，C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：eq\f(aA＋bB＋cC,a＋b＋c)≥eq\f(π,3).证法一：不妨设A≥B≥C，则有a≥b≥c，由排序不等式，得aA＋bB＋cC≥aB＋bC＋cA，aA＋bB＋cC≥aC＋bA＋cB，aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC．上述三式相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(A＋B＋C)(a＋b＋c)＝π(a＋b＋c)．∴eq\f(aA＋bB＋cC,a＋b＋c)≥eq\f(π,3).证法二：不妨设A≥B≥C，则有a≥b≥c，由排序不等式，得eq\f(aA＋bB＋cC,3)≥eq\f(A＋B＋C,3)·eq\f(a＋b＋c,3)，即aA＋bB＋cC≥eq\f(π,3)(a＋b＋c)，∴eq\f(aA＋bB＋cC,a＋b＋c)≥eq\f(π,3).8．已知0<a1≤a2≤…≤an，求证：eq\f(a\o\al(2,1),a2)＋eq\f(a\o\al(2,2),a3)＋…＋eq\f(a\o\al(2,n－1),an)＋eq\f(a\o\al(2,n),a1)≥a1＋a2＋…＋an.证明：∵0<a1≤a2≤…≤an，∴aeq\o\al(2,1)≤aeq\o\al(2,2)≤…≤aeq\o\al(2,n)，eq\f(1,a1)≥eq\f(1,a2)≥…≥eq\f(1,an).由排序不等式知，乱序和≥反序和，∴eq\f(a\o\al(2,1),a2)＋eq\f(a\o\al(2,2),a3)＋…＋eq\f(a\o\al(2,n－1),an)＋eq\f(a\o\al(2,n),a1)≥aeq\o\al(2,1)·eq\f(1,a1)＋aeq\o\al(2,2)·eq\f(1,a2)＋…＋aeq\o\al(2,n)·eq\f(1,an).故eq\f(a\o\al(2,1),a2)＋eq\f(a\o\al(2,2),a3)＋…＋eq\f(a\o\al(2,n－1),an)＋eq\f(a\o\al(2,n),a1)≥a1＋a2＋…＋an.一、选择题1．在锐角三角形ABC中，a，b，c表示其三边，设P＝eq\f(a＋b＋c,2)，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，则P，Q的大小关系为()A．P≥Q B．P＝QC．P≤Q D．不能确定解析：不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，sinA≥sinB≥sinC，由排序不等式，得Q＝acosC＋bcosB＋ccosA＝2R(sinAcosC＋sinBcosB＋sinCcosA)≥R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]＝R(sinC＋sinA＋sinB)＝eq\f(a＋b＋c,2)＝P.答案：C2．(1＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3n－2)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,61)))的取值范围是()A．(21，＋∞) B．(61，＋∞)C．(4，＋∞) D．(3n－2，＋∞)解析：令A＝(1＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3n－2)))＝eq\f(2,1)×eq\f(5,4)×eq\f(8,7)×…×eq\f(3n－1,3n－2)，B＝eq\f(3,2)×eq\f(6,5)×eq\f(9,8)×…×eq\f(3n,3n－1)，C＝eq\f(4,3)×eq\f(7,6)×eq\f(10,9)×…×eq\f(3n＋1,3n).∵eq\f(2,1)>eq\f(3,2)>eq\f(4,3)，eq\f(5,4)>eq\f(6,5)>eq\f(7,6)，eq\f(8,7)>eq\f(9,8)>eq\f(10,9)，…，eq\f(3n－1,3n－2)>eq\f(3n,3n－1)>eq\f(3n＋1,3n)>0，∴A>B>C>0.∴A3>A·B·C．由题意知3n－2＝61，∴n＝21.又∵A·B·C＝3n＋1＝64.∴A>4.答案：C二、填空题3．设a，b均为正实数，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，n∈N*，则M，N的大小关系为__________.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(提示：利用贝努利不等式，令x＝\f(b,a)))解析：由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(x＞－1，n∈N*)，令x＝eq\f(b,a)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))n≥1＋n·eq\f(b,a).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,a)))n≥1＋n·eq\f(b,a).即(a＋b)n≥an＋nan－1b.故M≥N.答案：M≥N4．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s,3s,7s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为__________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41.答案：41三、解答题5．已知0<α<β<γ<eq\f(π,2)，求证：sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>eq\f(1,2)(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．证明：∵0<α<β<γ<eq\f(π,2)，且y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))为增函数，y＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))为减函数，∴0<sinα<sinβ<sinγ，cosα>cosβ>cosγ>0.根据排序不等式，得sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>eq\f(1,2)(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．6．设0<a1≤a2≤…≤an,0≤b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的一个排列，求证：aeq\a\vs4\al(b1)1·aeq\a\vs4\al(b2)2·…·aeq\a\vs4\al(bn)n≥aeq\a\vs4\al(c1)1·aeq\a\vs4\al(c2)2·…·aeq\a\vs4\al(cn)n≥aeq\a\vs4\al(bn)1·aeq\a\vs4\al(bn－1)2·…·aeq\a\vs4\al(b1)n.证明：∵0<a1≤a2≤…≤an，∴lga1≤lga2≤…≤lgan.又0≤b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…cn是b1，b2，…，bn的一个排列，由排序不等式知，同序和≥乱序和≥反序和，可得b1lga1＋b2lga2＋…＋bnlgan≥c1lga1＋c2lga2＋…＋cnlgan≥bnlga1＋bn－1lga2＋…＋b1lgan，即lg(eqa\s(b1,1)·eqa\s(b2,2)·…