条件概率 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

条件概率第七章随机变量及其分布2024/4/29条件概率与全概率公式引

入在必修二《概率》一章的学习中，我们已经知道，对于同一试验中的两个事件A与B，当事件A与B相互独立时，事件A与B同时发生的概率有P(AB)=P(A)P(B).事件A发生会影响事件B发生的概率事件A发生与否不会影响事件B发生的概率当事件A与B不相互独立时()，如何表示事件A与B同时发生(即积事件AB)的概率呢？团员非团员合计男生16925女生14620合计301545问题1：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示.在班级里随机选择一个做代表.(1)选到男生的概率是多少？(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？事件B：“选到男生”，n(B)=25记事件A：“选到团员”，则n(A)=30，探究新知解：随机选择一人做代表，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点。则n(Ω)=45团员非团员合计男生16925女生14620合计301545问题1：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示.在班级里随机选择一个做代表.(1)选到男生的概率是多少？(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？事件B：“选到男生”，n(B)=25记事件A：“选到团员”，则n(A)=30，探究新知解：随机选择一人做代表，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点。则n(Ω)=45（2）“在选到团员的条件下，选到男生“的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，记为P(B|A)而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16，根据古典概型知识可知，条件概率——压缩了样本空间问题2：假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭，那么：(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？探究新知（1）根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率为：用b表示男孩，g表示女孩，则两个小孩的性别构成的样本空间Ω={bb,gg,bg,gb}，且所有样本点是等可能的.事件A：“选择的家庭中有女孩”，则A={gg,bg,gb}，事件B：“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则B={bb}.问题2：假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭，那么：(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？探究新知（2）”在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).此时，A成为样本空间，事件B就是积事件AB,根据古典概型知识可知：条件概率——压缩了样本空间用b表示男孩，g表示女孩，则两个小孩的性别构成的样本空间Ω={bb,gg,bg,gb}，且所有样本点是等可能的.事件A：“选择的家庭中有女孩”，则A={gg,bg,gb}，事件B：“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则B={bb}.在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是:

这个结论对于一般的古典概型仍然成立.∴在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过

来计算.探究新知

事实上，如图所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间.此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即注：若已知事件A发生，则A成为样本空间；此时，事件B包含的样本点数与事件AB包含的样本点数相同.条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.探究新知求P(B|A)：

探究新知

当A发生的条件下B发生的概率等于B发生的概率，说明A发生与否不影响B发生的概率，故事件A与B相互独立.样本空间不同

若事件A与B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)，且P(A)>0，则反之，若P(B|A)=P(B)，且P(A)>0，则故事件A与B相互独立.条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.探究新知求P(B|A)：

我们称上式为概率的乘法公式例题讲解

例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率;(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.

(1)“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，则

解：设A＝“第1次抽到代数题”，B＝“第2次抽到几何题”.

(2)“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率.由于例题讲解

例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率;(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为解法2：(在缩小的样本空间A上求P(B|A))

设A＝“第1次抽到代数题”，B＝“第2次抽到几何题”.在第1次抽到代数题的条件下，还剩2道代数题和2道几何题从例1可知，求条件概率有两种方法：①是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式求P(B|A)；

②是根据条件概率的直观意义,增加了“A发生”的条件后,样本空间缩小为A,求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率.

条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则条件概率的性质为：例题讲解(2)若B和C互斥，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)

析：记3张奖券为n1，n2，z，其中z表示中奖奖券；

记事件A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖；

样本空间Ω={zn1n2，zn2n1，n1zn2，n2zn1，n1n2z，

n2n1z}A={zn1n2，zn2n1}B={n1zn2，n2zn1}C={n1n2z，

n2n1z}例题讲解例2.已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？目标：即研究3人中奖的概率是否相等.例2.已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？目标：即研究3人中奖的概率是否相等.例题讲解事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关.例3.已银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.求：(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.析：记事件Ai为“第i次按对密码”，事件A为“不超过2次就按对”，(2)记事件B为“最后一位为偶数”，例题讲解P48-1.设A⊆B，且P(A)=0.3，P(B)=0.6.

根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出P(B|A)和P(A|B)的值，再由条件概率公式进行验证.AB

事件A：产品为合格品；事件B：产品为一级品；BA课堂练习P48-3.袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.

求：(1)在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；事件A事件B法1：第1次摸到白球的条件下，第2次有9个球可选，其中有6个白球，法2：课堂练习P48-3.袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.

求：(1)在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概