天津求知中学高三数学理月考试题含解析

天津求知中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知圆锥的顶点为P，母线PA、PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S的值是（）A．1007 B．2015 C．2016 D．3024参考答案：D【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S值是3024．故选：D．3.函数的零点所在的大致区间是A. B. C. D.参考答案：B4.李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步 B．20步、60步 C．30步、70步 D．40步、80步参考答案：B【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．从而建立关系求解即可．【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选B．【点评】本题考查了对题意的理解和关系式的建立．读懂题意是关键，属于基础题．5.已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为

(A)

(B)(C)

(D)参考答案：C略6.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（

）A．9

B．7

C．-3

D．-7参考答案：B本题选择B选项.7.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且其渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，根据双曲线的焦点坐标和抛物线的焦点关系，得到c=5，根据双曲线的渐近线方程得到=，联立方程组求出a，b即可．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（5，0），双曲线焦点在x轴上，且c=5，∵又渐近线方程为y=±x，可得=，即b=a，则b2=a2=c2﹣a2=25﹣a2，则a2=9，b2=16，则双曲线C的方程为﹣=1，故选A8.已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，向量a与b的夹角为，c＝a＋2b，则｜c｜＝（）A、B、C、2D、3参考答案：A

。9.函数的定义域为A、

B、

C、

D、参考答案：C略10.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（

）A． B． C． D．参考答案：A满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形=×16=4，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S阴影=2π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：P=1﹣=1﹣π，故选：A．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内爬行，则其到三角形顶点距离小于2的地方的概率为

参考答案：

12.已知向量和的夹角为，，则_______参考答案：略13.过点的直线与曲线：

相交于两点,若点是弦的中点，则直线的方程为______________________.参考答案：14.对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为

.参考答案：15.几何证明选讲如图，已知，与相交于A、B两点，过点A作的切线交于点C，过点B作两圆的割线，分别交、于点D、E，DE与AC相交于点P.（I）求证：AD∥EC：(Ⅱ)若AD是的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．参考答案：略16.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2﹣a5=0，则=_________．参考答案：略17.如图，直线与相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数，）的距离最短，并求出点的直角坐标.参考答案：（Ⅰ）解：由，，可得．…………………1分因为，，…………………2分所以曲线的普通方程为（或）．…………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为．……5分因为曲线：是以为圆心，1为半径的圆，设点，且点到直线：的距离最短，所以曲线在点处的切线与直线：平行．即直线与的斜率的乘积等于，即．………………7分因为，解得或．所以点的坐标为或．……9分由于点到直线的距离最短，所以点的坐标为．……………………10分解法二：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为．……5分因为曲线是以为圆心，1为半径的圆，因为点在曲线上，所以可设点．………7分所以点到直线的距离为

．………………8分因为，所以当时，．…………………9分此时，所以点的坐标为．……………10分19.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；（Ⅱ）若AB=5，AC=6，，OD′=，求五棱锥D′-ABCFE体积.

参考答案：（I）由已知得，又由得，故由此得，所以（II）由得由得所以于是故由（I）知，又，所以平面于是AC⊥OD′又由，所以，平面又由得五边形ABCFE的面积所以五棱锥D′-ABCFE的体积

20.已知函数(1)若求的值域;(2)△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若求的值.参考答案：略21.生产，两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件81240328元件71840296（Ⅰ）试分别估计元件、元件为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下（i）求生产5件元件所获得的利润不少于300元的概率；

（ii）记为生产1件元件和1件元件所得的总利润，求随机变量的分布列和期望．

参考答案：解析：（I）由题可知元件为正品的概率为，元件为正品的概率为………（2分）（II）（i）设生产的5件元件中正品数为，则有次品件，由题意知,,,解得，设“生产的5件元件所获得的利润不少于300元”为事件，则………（6分）

（ii）随机变量的所有取值为150,90,30，-30则所以随机变量的分布列为：1509030-30所以，随机变量的期望为：……（12分）略22.已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，或或，解得：﹣≤x≤；（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|