河南省洛阳市伊川中学高三数学理联考试题含解析

河南省洛阳市伊川中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线上的点到其焦点的最小距离为2，且渐近线方程为，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．参考答案：A

考点：双曲线和抛物线的有关问题.2.命题“?x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．?x≤0，x2＜0 B．?x≤0，x2≥0 C．?x0＞0，x02＞0 D．?x0＜0，x02≤0参考答案：A【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“?x0≤0，使得x02≥0”的否定是?x≤0，x2＜0．故选：A．3.已知是空间的三条直线，是空间的两个平面，则下列命题错误的是（A）当时，若∥，则（B）当时，若，则（C）当，且时，若∥，则∥（D）当在内的射影是，且时，若，则参考答案：B略4.若复数满足，是虚数单位，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B5.从（其中）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.已知函数，则是（

）

A．单调递增函数

B．单调递减函数

C．奇函数

D．偶函数参考答案：D7.数列{an}满足a1=1，an+1=an+n+1（n∈N*），则等于（）A．B．C．D．参考答案：C考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由所给的式子得an+1﹣an=n+1，给n具体值列出n﹣1个式子，再他们加起来，求出an，再用裂项法求出，然后代入进行求值，解答：解：由an+1=an+n+1得，an+1﹣an=n+1，则a2﹣a1=1+1，a3﹣a2=2+1，a4﹣a3=3+1，…an﹣an﹣1=（n﹣1）+1，以上等式相加，得an﹣a1=1+2+3+…+（n﹣1）+n﹣1，把a1=1代入上式得，an=1+2+3+…+（n﹣1）+n=，∴==2（），∴=2[（1﹣）+（）+…+（）]=2（1﹣）=，故选C．点评：本题考查了累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，这是数列常考的方法，需要熟练掌握．8.把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是A．B．

C．

D．参考答案：D函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,得到，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到，选D.9.设函数若互不相等的实数满足则的取值范围是（

）A．(8,16) B．(9,17) C．(9,16) D．参考答案：B不妨设，的图像如图所示，令，则，故或且，所以（舎）或即且，故，故选B.

10.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（

）．A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：C【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为，求出平面的法向量，令，求出的值．【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设，则，0，，，2，，，0，，则，2，，，0，，，0，，设平面的法向量为，，，则，，令可得，1，，故，．直线与平面所成角的正弦值为，，解得：．故选：．【点睛】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则____________。

参考答案：2

12.的展开式各项系数的和为﹣3，则展开式中x2的系数为．参考答案：﹣80【考点】二项式定理的应用．【分析】令x=1，得各项系数的和为（a+1）（1﹣2）5=﹣（a+1）=﹣3，解得a．再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：令x=1，得各项系数的和为（a+1）（1﹣2）5=﹣（a+1）=﹣3，则a=2，的展开式的通项为Tr+1==x2r﹣5（r=0，1，2，3，4，5）．要得到x2，中的2x与相乘，得到﹣160x2；与相乘，得到80x2；x2的系数为﹣160+80=﹣80．故答案为：﹣80．13.已知下列三个方程至少有一个方程有实根，则实数的范围是___________参考答案：14.下列有关命题的说法正确的是__________.A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B．“”是“”的必要不充分条件.C．命题“若，则”的逆否命题为真命题.

D．命题“使得”的否定是：“均有”参考答案：C略15.已知数列an：依它的前10项的规律，则a99＋a100的值为________．参考答案：略16.在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为

.参考答案：17.非零向量m,n满足3|m|=2|n|,且n(2m+n),则m,n夹角的余弦值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）函数y=f（x）的图象在x=4处的切线的斜率为，若函数g（x）=x3+x2[f′（x）+]在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数f′（x），利用导数与函数单调性的关系分情况讨论即可．（2）由切线斜率为，可求出a值，进而求出f（x）、f′（x），因为g（x）在区间（1，3）上不单调，所以g′（x）改变符号，从而得到m所满足的条件．【解答】解（1）f′（x）=（x＞0），①当a＞0时，若x∈（0，1），则f′（x）＞0；若x∈（1，+∞），则f′（x）＜0，∴当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；②当a＜0时，若x∈（1，+∞），则f′（x）＞0；若x∈（0，1），则f′（x）＜0，∴当a＜0时，f（x）的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（0，1]；③当a=0时，f（x）=﹣3，f（x）不是单调函数，无单调区间．（2）由题意知，f′（4）=﹣=，得a=﹣2，则f（x）=﹣2lnx+2x﹣3，∴g（x）==x3+（+2）x2﹣2x，∴g′（x）=x2+（m+4）x﹣2．∵g（x）在区间（1，3）上不是单调函数，且g′（0）=﹣2＜0，∴，即解得．故m的取值范围是（﹣，﹣3）．19.（本小题满分10分）【选修4—1:几何证明选讲】如图，是圆的内接三角形，是圆的切线，交于点，交圆于点，已知，，，（1）求证：；（2）求

参考答案：（1）∵且，∴（2）∵，

∴，由（1）知是等边三角形，∴，，又∵，∴，由可得：，又由（1）在中，，得20.已知，其中a＞0．（1）若x=3是函数f（x）的极值点，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；参考答案：②当a=1时，f（x）的单调减区间是（﹣1，+∞）；③当a＞1时，﹣1＜x2＜0，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：x0（0，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）减增f（0）减∴f（x）的单调增区间是，f（x）的单调减区间是，（0，+∞）；综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是，f（x）的单调减区间是（﹣1，0），；当a=1时，f（x）的单调减区间是（﹣1，+∞）；当a＞1，f（x）的单调增区间是．f（x）的单调减区间是，（0，+∞）；（3）由（2）知，当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是，但，所以0＜a＜1不合题意；当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）≤f（0），∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为f（0）=0，符合题意；∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，a的取值范围是{a|a≥1}．点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性和求函数的最值问题，是较难的题目．21.已知函数f（x）=lnx﹣x2+ax，（1）当x∈（1，+∞）时，函数f（x）为递减函数，求a的取值范围；（2）设f'（x）是函数f（x）的导函数，x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1＜x2，求证（3）证明当n≥2时，．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为即a≤2x﹣恒成立，求出a的范围即可；（2）求出a，得到f′（）=﹣，问题转化为证明＞ln，令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即证明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，根据函数的单调性证明即可；（3）令a=1，得到lnx≤x2﹣x，得到x＞1时，＞，分别令x=2，3，4，5，…n，累加即可．【解答】（1）解：∵x∈（1，+∞）时，函数f（x）为递减函数，∴f′（x）=﹣2x+a≤0在（1，+∞）恒成立，即a≤2x﹣恒成立，而y=2x﹣在（1，+∞）递增，故2x﹣＞1，故a≤1；（2）证明：∵f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），∴方程lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，则lnx1﹣+ax1=0，①，lnx2﹣+ax2=0，②，两式相减得a=（x1+x2）﹣，又f（x）=lnx﹣x2+ax，f′（x）=﹣2x+a，则f′（）=﹣（x1+x2）+a=﹣，要证﹣＜0，即证明＞ln，令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即证明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，∵u′（t）=，又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，从而知﹣＜0，故f′（）＜0成立；（3）证明：令a=1，由（1）得：f（x）在（1，+∞）递减，∴f（x）=lnx﹣x2+x≤f（1）=0，故lnx≤x2﹣x，x＞1时，＞，分别令x=2，3，4，5，…n，故++…+＞++…+=1﹣，∴++…+＞1﹣，即左边＞1﹣＞1，得证．22.（本小题满分12分）

某地一天的温度（单位：）随时间（单位：小时）的变化近似满足函数关系：，且早上8时的温度为，．（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支