四川省资阳市堪加中学高三数学理摸底试卷含解析

四川省资阳市堪加中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果a>b，则下列各式正确的是

（

）

A．a·lgx＞b·lgx

B．ax2＞bx2

C．a2＞b2

D．a·2x＞b·2x参考答案：D2.已知集合A={1，2，3，4，5，}，B={2，5，7，9}，则A∩B=（

）A.{1，2，3，4，5}

B.{2，5，7，9}

C.{2，5}

D.{1，2，3，4，5，7，9}参考答案：C3.外接圆半径等于1，其圆心满足，则向量在方向上的投影等于（

）A．

B．

C．

D．3参考答案：C4.下面四个条件中，使成立的充分不必要的条件是A.

B.

C.

D.参考答案：A5.已知函数，则（

）（A）在时取得最小值，其图像关于点对称（B）在时取得最小值，其图像关于点对称（C）在单调递减，其图像关于直线对称（D）在单调递增，其图像关于直线对称参考答案：D略6.如图，在棱长为1的正方体的对角线上任取一点P，以为球心，为半径作一个球设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图象最有可能的是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B7.一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是(

)A．1025 B．1035 C．1045 D．1055参考答案：C略8.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．15参考答案：D【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=0+20+21+22+23的值，并输出．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=0+20+21+22+23的值∵S=0+20+21+22+23=15，故选D．9.已知函数若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.已知圆M：x2+y2﹣2ax=0（a＜0）截直线x﹣y=0所得线段的长度是，则圆M与圆N：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离参考答案：B【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【解答】解：圆M圆心坐标为（a，0），由题意得且a＜0，解得a=﹣2，则，故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数为奇函数，且对定义域内的任意x都有．当时，，给出以下4个结论：①函数的图象关于点(k，0)(kZ)成中心对称；②函数是以2为周期的周期函数；③当时，；④函数在(k，k+1)(kZ)上单调递增．其中所有正确结论的序号为

参考答案：①②③12.如图，直角中，，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则=

.

参考答案：13.（几何证明选做题）如图4，BDAE，，AB＝4,BC＝2,AD＝3,则DE＝

；CE＝

.

图4参考答案：5、；依题意得△ADB∽△ACB,,由.

14.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是

参考答案：15.设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：①设是平面上的线性变换，则

②对设，则是平面上的线性变换；

③若是平面上的单位向量，对设，则是平面上的线性变换；④设是平面上的线性变换，，若共线，则也共线。其中真命题是

（写出所有真命题的序号）参考答案：①②④解析：令，由题有，故①正确；由题，，即，故②正确；由题，，即，故③不正确；由题，，即也共线，故④正确；16.直线m经过抛物线C：y2=4x的焦点F，与C交于A，B两点，且|AF|+|BF|=10，则线段AB的中点D到y轴的距离为．参考答案：4【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标的和，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：由已知点F（1，0），抛物线C的准线l：x=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=10，∴x1+x2=8∴线段AB的中点横坐标为4∴线段AB的中点到y轴的距离为4．故答案为4．【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，解题的关键是利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．17.已知l为曲线在A（1，2）处的切线，若l与二次曲线也相切，则a=

▲

．参考答案：4的导数为曲线在处的切线斜率为则曲线在处的切线方程为，即由于切线与曲线相切可联立得到：又，两线相切有一个切点解得

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.记max{m，n}表示m，n中的最大值．如max{3，}=．已知函数f（x）=max{x2﹣1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，ax2+x}．（1）求函数f（x）在[，2]上的值域；（2）试探讨是否存在实数a，使得g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数的值域．【分析】（1）设F（x）=x2﹣1﹣lnx，对其求导，及最小值，从而得到f（x）的解析式，进一步求值域即可．（2）分别对a≤0和a＞0两种情况进行讨论，得到g（x）的解析式，进一步构造h（x），通过求导得到最值，得到满足条件的a的范围．【解答】解：（1）由题意设F（x）=x2﹣1﹣2lnx，则F'（x）=2x﹣=，所以x＞1时，F（x）递增，0＜x＜1时F（x）递减，所以F（x）min=F（1）=0，所以F（x）≥0即x2﹣1＞2lnx，所以f（x）=x2﹣1，其在[，2]上的最大值为x=2时函数值3，x=取最小值为，所以函数f（x）在[，2]上的值域[﹣，3]；（2）①当a≤0时，因为x∈（1，+∞），所以x+lnx﹣（ax2+x）=lnx﹣ax2＞0，所以x+lnx＞ax2+x，所以g（x）=x+lnx，当g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，则lnx﹣x＜4a对x∈（1，+∞）恒成立，设h（x）=lnx﹣x，则h'（x）=，令h'（x）＞0得1＜x＜2，h（x）递增，令h'（x）＜0得x＞2，h（x）递减，所以h（x）max=h（2）=ln2﹣1，所以a＞，又a≤0，所以a∈（，0]．②当a＞0时，由①知x+lnx＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，若g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，则ax2+x＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，即2ax2﹣x﹣8a＜0对x∈（1，+∞）恒成立，显然不成立，即a＞0时，不满足g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立；综上，存在实数a使得g（x）＜x+4a，对x∈（1，+∞）恒成立，a的取值范围是（，0]．19.如图，在三棱柱中，平面，，，分别是，的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：证明：（Ⅰ）取的中点，连结，交于点，可知为中点，

连结，易知四边形为平行四边形，

所以∥．

又平面，平面，所以∥平面．……………4分证明：（Ⅱ）因为，且是的中点，所以．因为平面，所以．所以平面．又∥，所以平面．又平面，所以平面平面．……………９分解：（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系，则，,，．，，．设平面的法向量为.则

所以

令.则.设向量与的夹角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.………………14分

略20.是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它对空气质量和能见度等有重要的影响。我国从的含量对空气质量评定的标准如表1所示.某市环保部门从2013年全年每天的监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图所示。(Ⅰ)从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列和数学期望；(Ⅱ)以这15天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级.参考答案：(Ⅰ)分布列见解析，；

(Ⅱ)120天试题分析：(Ⅰ)先确定的所有可能取值为0，1，2，3，然后结合图表数据求出对应的概

所以其分布列为：1

(6分)数学期望为：

(7分)121.（本题满分15分）已知定义域为R，满足：①；②对任意实数，有.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）判断函数的奇偶性与周期性，并求的值；（Ⅲ）是否存在常数，使得不等式对一切实数成立.如果存在，求出常数的值；如果不存在，请说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）取，得，即.因为，所以.

…………2分取，得.因为，所以.取，得，所以.………………3分（Ⅱ）在中取，得.即所以，即周期为4.……5分在中取得.所以.因此，可得，∴函数为奇函数.

……7分在中取，得.所以.

……9分说明：其它正确解法按相应步骤给分.略22.在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．参考答案：【考点】轨迹方程；向量的加法及其几何意义；椭圆的应用．【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲线