湖南省长沙市高新区延风中学高三数学文模拟试题含解析

湖南省长沙市高新区延风中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.二次函数的对称轴为，则当时，的值为

A.-7

B.1

C.17

D.25参考答案：D略2.已知集合A＝{x|}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝()

A．(0,1)

B．(0,2]

C．(1,2)

D．(1,2]参考答案：【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法．A1

【答案解析】D

解析：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故选D【思路点拨】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．3.设等差数列的前n项和为.若，，则（

）A．－32

B．12

C．16

D．32参考答案：D4.给出下列四个命题：（1）命题“若，则”的逆否命题为假命题；（2）命题．则，使；（3）“”是“函数为偶函数”的充要条件；（4）命题“，使”；命题“若，则”，那么为真命题．其中正确的个数是（）．

．

．

．

参考答案：B5..已知数列{an}满足：+=(n+1)cos(n≥2,n∈N*),Sn是数列{an}的前n项和，若+m=1010,·m>0,则的最小值为（）A.2

B.

C.2

D.2+参考答案：A6.已知函数的图像如图，则下列结论正确的是（

）A．，

B.，

C.，

D.，参考答案：B7.命题“”的否定是(A)(B)(C)(D)参考答案：D略8.函数与(且)在同一直角坐标系下的图象可能是

参考答案：D略9.设x、y都是正数，则的最小值是

（

）

A．6 B．16

C．26

D．36参考答案：答案:B10.运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为A． B．

C． D．参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，则

．参考答案：12.圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是

．参考答案：3【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心的坐标，利用点到直线的距离公式即可求出圆心到已知直线的距离．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣1）2=4，可得圆心坐标为（﹣1，1），则圆心到直线3x+4y+14=0的距离d==3．故答案为：3【点评】此题考查了圆的一般方程与标准方程的互化，以及点到直线的距离公式，解题思路为：根据题意找出圆心坐标，进而利用点到直线的距离公式来解决问题．13.对于大于或等于2的自然数n的二次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，对任意自然数n,当时，有

；参考答案：观察分解式的规律：由此可以得到对任意自然数n,当时，有。14.i是虚数单位，复数的虚部为

.参考答案：略15.已知95个数a1，a2，a3，…，a95，每个都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是

．.参考答案：13解：设有m个+1，(95－m)个－1．则a1+a2+…+a95=m－(95－m)=2m－95∴2(a1a2+a1a3+…+a94a95)=(a1+a2+…+a95)2－(a12+a22+…+a952)=(2m－95)2－95>0．取2m－95=±11．得a1a2+a1a3+…+a94a95=13．为所求最小正值．16.已知函数f（x）=+alnx，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有＞2恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：[1，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】方法一：由题意可知：当x＞0时，f′（x）＞2恒成立，则a＞2x﹣2x2，在（0，+∞）上恒成立，即a＞g（x）max，根据二次函数的性质，即可求得实数a的取值范围；方法二：构造函数g（x）=f（x）﹣2x，x＞0，求导，由题意可知f′（x）＞2，（0，+∞）上恒成立，则a＞h（x）max，根据二次函数的性质，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：方法一：对任意两个不等的正实数x1，x2都有＞2恒成立，则当x＞0时，f′（x）＞2恒成立f′（x）=x+＞2，在（0，+∞）上恒成立，则a＞2x﹣x2，在（0，+∞）上恒成立，设g（x）=2x﹣x2，x＞0，函数的对称轴为x=1，则当x=1时，取最大值，最大值为g（x）max=1，∴a＞1，则实数a的取值范围[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．方法二：设g（x）=f（x）﹣2x，x＞0，求导g′（x）=f′（x）﹣2，由＞2，则g′（x）=f′（x）﹣2＞0，则f′（x）＞2，即f′（x）=x+≥2，在（0，+∞）上恒成立，则a≥2x﹣x2，在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=2x﹣x2，x＞0，函数的对称轴为x=1，则当x=1时，取最大值，最大值为h（x）max=1，∴a≥1，则实数a的取值范围[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．17.已知函数，给出如命题：①是偶函数；②在上单调递减，在上单调递增；③函数在上有3个零点；④当时，恒成立；其中正确的命题序号是__________.参考答案：①④略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设离心率为的椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，点P是E上一点，PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为﹣1．（1）求E的方程；（2）矩形ABCD的两顶点C、D在直线y=x+2，A、B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为，求直线AB的方程．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率求得a=c，根据勾股定理及椭圆的定义，求得a﹣c=﹣1．b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨，由两平行之间的距离公式，由矩形的周长公式2（丨AB丨+d）=，代入即可求得m的值，求得直线AB的方程．【解答】解：（1）∵离心率为e==，则a=c，①由PF1⊥PF2，则丨PF1丨2+丨PF2丨2=丨F1F2丨2=4c2，由椭圆的定义可知；丨PF1丨+丨PF2丨=2a，则丨F1F2丨2=（丨PF1丨+丨PF2丨）2﹣2丨PF1丨?丨PF2丨，∴丨PF1丨?丨PF2丨=2a2﹣2c2，，△PF1F2的面积S，S=丨PF1丨?丨PF2丨=×R×（丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨），则a﹣c=﹣1．②由①②解得：a=，c=1，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆E的方程为．（2）由题意设直线l的方程：y=x+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），则，整理得：3x2+4mx+2m2﹣2=0，由△=16m2﹣4×3（2m2﹣2）=﹣2m2+3＞0，解得﹣＜m＜，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1x2=，则丨AB丨=?=?=，直线AB，CD之间的距离d==，由矩形ABCD的周长为，则2（丨AB丨+d）=，则2（+）=，解得：m=1，则直线AB的方程为y=x+1．19.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。参考答案：20.(本小题满分12分)如图，在几何体ABCDE中，DA平面EAB,EA⊥AB，CB∥DA，F为DA上的点，EA=DA=AB=2CB，M是EC的中点，N为BE的中点．(1)若AF=3FD，求证：FN∥平面MBD；(2)若EA=2，求三棱锥M—ABC的体积．参考答案：解:（I）证明：连接,因分别是，的中点，且,又,,又，即,，四边形为平行四边形，…3分又平面，平面所以平面.

……6分(Ⅱ)连接AN，MN，则,所以，又在中，,

……8分

，所以三棱锥的体积为.

……12分

21.已知函数在处的切线方程为.（1）求函数的单调区间；（2）若k为整数，当时，恒成立，求k的最大值（其中为的导函数）.参考答案：（1），由已知得，故，解得，又，得，解得，，所以，当时，；当时，，所以的单调区间递增区间为，递减区间为.（2）法一：由已知，及整理得，当时恒成立，令，，当时，，；由（1）知在上为增函数，又，，所以存在，使得，此时，当时，；当时，，所以，故整数的最大值为.法二：由已知，及整理得，，令，，得，，当时，因为，所以，在上为减函数，，当时，，，为增函数，时，，为减函数，∴，由已知，令，，在上为增函数.又，，故整数的最大值为.22.（本小题满分15分）如图，四棱锥P-ABCD中，PC垂直平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，，E为PB的中点.（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）求直线PD与平面AEC所成角的正弦值.

参考答案：（Ⅰ）证明:PC⊥平面ABCD，故PC⊥AC．

………………2分又AB＝2，CD＝1，AD⊥AB，所以AC＝BC＝．故AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC．

………………4分所以AC⊥平面PBC，所以平面ACE⊥平面PBC．

…………6分（Ⅱ）解:PC⊥平面ABCD，故PC⊥CD．又PD＝2，所以PC＝．…………8分在平面ACE内，过点P作PF垂直CE，垂足为F．由（Ⅰ）知平面ACE⊥平面PBC，所以PF垂直平面ACE．

…………10分由面积法得：即．又点E为AB的中点，．所以．

……12分又点E为AB的中点，所以点P到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等．连结BD交AC于点G，则G