2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之图形的变化

2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之图形的变化

一、选择题（共9小题）

1.（2021•深圳）如图，在点尸处，看建筑物顶端。的仰角为32。，向前走了15米到达点E

即所=15米，在点E处看点。的仰角为64。，则C/）的长用三角函数表示为（）

A.15sin32°B.15tan64°C.15sin64°D.15tan32°

2.（2021•广州）如图，在RtAABC中，ZC=9O°,AC=6,BC=8,将AA8C绕点A逆时

针旋转得到△AQC,使点C落在4?边上，连结38,则sinNZEC的值为（）

A.3B.士cTD.迪

5555

3.（2021•广东）如图，是OO的直径，点C为圆上一点，AC=3,NABC的平分线交AC

于点3,CD=l,则。。的直径为（）

A.y/3B.C.ID.2

4.（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q

两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在尸的正北方向，且T在Q的北偏西70。方向，则河

宽（PT的长）可以表示为（）

,,东

A.200tan70°米B.2。。米c.200sin700米D.超油-米

tan70°sin70°

5.（2020•深圳）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=12.将纸片折叠，使点3落在

边4）的延长线上的点G处，折痕为£F,点£、f■分别在边4）和边8C上.连接BG,

交8于点K,FG交CD于点、H.给出以下结论:

①EF工BG；

②GE=GF；

③△GDK和4GKH的面积相等；

④当点尸与点C重合时，ZDEF=75°,

其中正确的结论共有（）

6.（2020•广东）在平面直角坐标系中，点（3,2）关于x轴对称的点的坐标为（）

A.（-3,2）B.（-2,3）C.（2,-3）D.（3,-2）

7.（2019•广州）如图，有一斜坡48,坡顶B离地面的高度8c为30机，斜坡的倾斜角是

ABAC,若tanN84C=g,则此斜坡的水平距离AC为（）

C

A.75mB.50mC.30mD.12m

8.（2018•广州）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（）

A.1条B.3条C.5条D.无数条

9.（2017•深圳）如图，正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ,。尸交于点O,并

分别与边CD,BC交于点F,E,连接AE,下列结论：®AQ1DP；@O^=OE.OP^

1Q

③SMG=S四边彩OECF；④当8P=1时，tanNOAE=—，其中正确结论的个数是（）

0

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（共10小题）

10.（2021•广州）如图，在AA8C中，AC=BC,N8=38。，点£）是边AB上一点，点5关

于直线CD的对称点为夕，当B7）〃AC时，则N8CD的度数为

11.（2020•广州）如图，点A的坐标为（1,3）,点3在x轴上，把AOAB沿x轴向右平移到

AECD,若四边形曲C的面积为9,则点C的坐标为.

12.（2019•深圳）如图，在正方形A8C。中，BE=\,将3C沿CE翻折，使8点对应点刚

好落在对角线AC上，将AD沿跖翻折，使。点对应点刚好落在对角线AC上，求

EF=

13.（2019•广州）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则

该圆锥侧面展开扇形的弧长为—.（结果保留》）

14.（2019•广州）一副三角板如图放置，将三角板4龙绕点A逆时针旋转火0。＜。＜90。），

使得三角板4%的一边所在的直线与8c垂直，则a的度数为—.

小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形

（图1）拼出来的图形的总长度是（结果用含a,〃代数式表示）.

I-a-1|------------------------总长-----------

图1图2

16.（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼8£）的水平间距C£>=15百米，在实验楼

顶部8点测得教学楼顶部A点的仰角是30。，底部C点的俯角是45。，则教学楼AC的高度

是米（结果保留根号）.

C米D

17.（2018•广州）如图，旗杆高A8=8〃z,某一时刻，旗杆影子长8c=16%,则tanC=

18.（2017•深圳）如图，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,RtAMPN,

ZMPN=90°,点P在AC上，PM交AB于点、E,PN交BC于氤F,当PE=2PF时,

AP=

ZC=90°,3c=15,tanA=—,则=

8

CB

三、解答题（共10小题）

20.（2021•深圳）在正方形ABC力中，等腰直角AA£F,ZAFE=90°,连接CE,H为CE

中点，连接8”、BF、HF,发现匕和NHB/为定值.

BH

⑴①­；

BH----

②ZHBF=____；

③小明为了证明①②，连接AC交班»于O,连接O”，证明了也和丝•的关系，请你按

AFBO

他的思路证明①②.

（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2,—=—=,

ADFA

NBDA=/EAF=6（0。<0<90°）.

求①/2=；（用人的代数式表示）

HD----

21.（2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位.

（1）过直线，“作四边形438的对称图形：

（2）求四边形ABCZ）的面积.

m

22.（2021•广东）如图，边长为1的正方形A8c。中，点石为AO的中点.连接BE,将A/WE

沿BE折叠得到AF8E,跖交AC于点G,求CG的长.

23.（2021•广东）如图，在RlAABC中，ZA=90°,作BC的垂直平分线交AC于点。，延

长AC至点E,使CE=A8.

（1）若AE=1,求的周长；

（2）若AD=、BD,求tanNA3c的值.

3

B

24.（2020♦深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放

（点E、A、£＞在同一条直线上），发现BE=DG且BELDG.

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形A£FG绕点A按逆时针方向旋转（如图1）,还能得到BE=Z）G吗？若能，请

给出证明：若不能，请说明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形的G和菱形458,将菱形g、G绕点A按顺时针

方向旋转（如图2）,试问当NE4G与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论

BE=DG仍成立2请说明理由；

（3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形且任=丝=2,AE=4,

AGAD3

AB=8,将矩形AEFG绕点、A按顺时针方向旋转（如图3）,连接DE,8G.小组发现：在

旋转过程中，OE?+BG?的值是定值，请求出这个定值.

B---------------c

25.（2020•广州）如图，AA皮）中，ZABD=ZADB.

（1）作点A关于3。的对称点C;（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作的图中，连接BC,DC,连接AC,交BD于点O.

①求证：四边形是菱形；

1Q

②取3c的中点E,连接OE,若OE=，，89=10,求点£到的距离.

2

26.(2018•广东)已知RtAOAB,ZOAB=90°,ZABO=30°,斜边08=4,将RtAOAB绕

点O顺时针旋转60。，如图1,连接BC.

(1)填空：Z.OBC=°；

（2）如图1,连接AC,作OP_LAC,垂足为P,求OP的长度；

（3）如图2,点M,N同时从点O出发，在AOCB边上运动，M沿O-»C->8路径匀速

运动，N沿OfBfC路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为

1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，AOMN的面积为y,求

当》为何值时y取得最大值？最大值为多少？

BCBB

Oo

图1备用图

27.（2018•广东）如图，矩形A8C。中，AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使

点3落在点E处，回交CD于点F,连接£>E.

（1）求证：AADE=ACED;

（2）求证：ADE尸是等腰三角形.

28.（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A,C

的坐标分别是A（0,2）和。（26，0）,点。是对角线AC上一动点（不与A,C重合），连接

BD,作DE工DB,交x轴于点E,以线段OE,为邻边作矩形尸.

（1）填空：点B的坐标为；

（2）是否存在这样的点。，使得ADEC是等腰三角形？若存在，请求出4）的长度；若不

存在，请说明理由；

（3）①求证：匹=立；

DB3

②设AD=x,矩形6。防的面积为y,求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求

出y的最小值.

图（2）

29.（2017•广东）如图，45是OO的直径，AB=46,点E为线段OB上一点（不与O,

3重合），作交于点C,垂足为点E,作直径CD,过点C的切线交。8的

延长线于点P，人尸，尸。于点尸，连接CB.

(1)求证：C8是NECP的平分线；

(2)求证：CF=CE；

(3)当色£=3时，求劣弧BC的长度(结果保留万)

CP4

2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之图形的变化

参考答案与试题解析

一、选择题（共9小题）

1.（2021•深圳）如图，在点尸处，看建筑物顶端。的仰角为32。，向前走了15米到达点E

即班'=15米，在点E处看点。的仰角为64。，则CD的长用三角函数表示为（）

A.15sin32°B.15tan64°C.15sin64°D.15tan32°

【答案】C

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；推理能力

【分析】先结合三角形外角的性质与々的度数判定等腰三角形，再利用等腰三角形的性质

证得。£=所，根据三角函数的定义即可得到结论.

【解答】解：-.-ZCE£>=64°,ZF=32°,NCED=NF+NEDF,

NEDF=NCED-ZF=64°-32°=32°,

:.ZEDF=ZF,

：.DE=EF,

•.•£F=15米，

，£>E=15米，

在RLXCDE中，

.…cCD

sin/CED-......,

DE

:.CD=DEsinZCED=15sin64°,

故选：C.

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，熟

练掌握三角函数的定义是解决问题的关键.

2.（2021•广州）如图，在RtAABC中，NC=90。，AC=6,BC=8,将AABC绕点A逆时

针旋转得到△A9C,使点C落在他边上，连结雨，贝iJsinNB9C的值为（）

cT。・亭

【答案】C

【考点】旋转的性质；解直角三角形

【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力

【分析】在RtAABC中，利用勾股定理可求4?,由旋转的性质可得AC=AC'=6,

8c=UC'=8,NC=NAC'9=90。，在Rt△BB'C'中,由勾股定理可求83'的长，即可求

解.

【解答】解：♦.•NC=90。，AC=6,BC=8,

AB=y/AC2+BC2=J36+64=10,

将AABC绕点A逆时针旋转得到aAB'C,

:.AC=AC'=6,BC=B'C=8,NC=ZACTT=90°,

:.BC'=4,

B'B=>JC'B'2+BC'2=716+64=4后,

4_x/5

sinZBB'C'=—

BB'4石一5

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出38'

长是解题的关键.

3.（2021•广东）如图，是OO的直径，点C为圆上一点，AC=3,Z4BC的平分线交AC

于点。，CD=\,则。。的直径为（）

C

D

A.y/3B.20C.1D.2

【答案】B

【考点】解直角三角形

【专题】与圆有关的计算；推理能力

【分析】如图，过点。作。于T.证明£>T=OC=1,推出4)=2次,推出Z4=30。,

可得结论.

【解答】解：如图，过点。作于T.

・・・•是直径，

ZAC5=90°,

.\DCLBC,

•:DB”乙CBA、DC工BC,DTLBA,

..DC=DT=I.

・・・AC=3,

.・.AD=AC-CD=2,

:.AD=2DT,

/.ZA=30°,

AC

/.AB=---------==2G，

cos30°V3

2

解法二：AD=2DT由此处开始，可以在RtAADT中用勾股定理得AT=6,再由垂径定

理可得/$=2AT得解.

故选：B.

【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题.

4.（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q

两点分别测定对岸一棵树7的位置，T在尸的正北方向，且T在Q的北偏西70。方向，则河

宽（PT的长）可以表示为（）

A.200tan70。米B.米C.200sin70°米D.二米

tan70°sin70°

【答案】B

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力

【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及NPQT的度数，进而得到NPTQ的度

数，根据三角函数即可求得PT的长.

【解答】解：在RtAPQT中，

♦.•NQPT=9O°,ZPQT=90°-70°=20°,

NP3=700,

..tan70。=丝，

PT

.PT;PQ200

"tan700tan70°

即河宽二22_米，

tan700

故选：B.

【点评】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解

题的关键.

5.（2020•深圳）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=\2.将纸片折叠，使点8落在

边4）的延长线上的点G处，折痕为£F，点E、尸分别在边">和边8c上.连接BG,

交8于点K,FG交CD于点、H.给出以下结论：

①EF上BG；

②GE=GF；

③AGDK和\GKH的面积相等；

④当点F与点C重合时，ZDEF=15°,

其中正确的结论共有（）

【答案】C

【考点】三角形的面积；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力

【分析】连接8E,设EF与3G交于点O,由折叠的性质可得所垂直平分3G,可判断①;

由“ASA”可证ABOFMAGOE,可得BF=EG=GF,可判断②；通过证明四边形8瓦亦是

菱形，可得ZBEF=NGEF,由锐角三角函数可求NA£S=30。，可得NDEF=75。,可判断

④，由题意无法证明△GDK和AGK”的面积相等，即可求解.

【解答】解：如图，连接5E,设EF与BG交于点O,

•.•将纸片折叠，使点5落在边AD的延长线上的点G处,

.•.E尸垂直平分8G,

:.EFLBG,BO=GO,BE=EG,BF=FG,故①正确,

-,-AD//BC,

:.ZEGO=ZFBO,

又・；NEOG=NBOF,

\BOF=AGOE(ASA),

:.BF=EG,

..BF=EG=GF,故②正确,

•;BE=EG=BF=FG,

四边形3EGF是菱形，

:.ZBEF=NGEF,

当点厂与点C重合时，则8斤=8C=8E=12,

]_

vsinZA£B=—=—

BE122

,-.ZA£B=30°,

.•.ZDEF=75。，故④正确,

•••BG平分ZEGF,

:.DG^GH,

DK

由角平分线定理，—

GHUH

，:DK手KH,

,■S'GDK*S'GKH'

故③错误；

故选：c.

【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，锐角三角函

数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

6.(2020•广东)在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为()

A.(-3,2)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(3,-2)

【答案】D

【考点】关于x轴、)，轴对称的点的坐标

【专题】符号意识；平面直角坐标系

【分析】根据“关于X轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可.

【解答】解：点（3,2）关于x轴对称的点的坐标为（3,-2）.

故选：D.

【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐

标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点,

纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

7.（2019•广州）如图，有一斜坡4?,坡顶B离地面的高度3c为30m,斜坡的倾斜角是

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【专题】55E：解直角三角形及其应用

【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得4C的长，本题得以解决.

2

【解答】解：・・・NBC4=9O。，tanZBAC=-,BC=30m,

5

……2BC30

tanABAC=—==，

5ACAC

解得，AC=75,

故选：A.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用

数形结合的思想解答.

8.（2018•广州）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（）

A.1条B.3条C.5条D.无数条

【考点】P3：轴对称图形

【专题】1：常规题型

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做

轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：五角星的对称轴共有5条，

故选：C.

【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义.

9.（2017•深圳）如图，正方形438的边长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并

分别与边C£）,BC交于点F,E,连接XE,下列结论：①AQJLDP：②。42=。£.”：

1Q

③SMOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tanNOAE='，其中正确结论的个数是（）

Q

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角

形

【分析】由四边形是正方形，得到45=3C,ZDAB=ZABC^90°,根据全等三角

形的性质得到NP=NQ,根据余角的性质得到AQLOP：故①正确：根据相似三角形的性

质得到AO2=O".OP,由ODKOE,得至IJOA2ROE.OP：故②错误；根据全等三角形的性

质得到CF=BE.DF=CE＞于是得到5皿?尸—5皿＜,="左后一九»-，即=^WIIKOECF；

故③正确；根据相似三角形的性质得到8£=3,求得QE=U,QO=-,OE=—,由三

44520

角函数的定义即可得到结论.

【解答】解：・・•四边形ABCD是正方形，

:.AD=BC,ZDAB=ZABC=9（r,

•：BP=CQ,

AP=BQ,

AD=AB

在AZMP与AA5Q中，\ADAP=ZABQ,

AP=BQ

:.\DAP=\ABQ,

.・./P=/Q,

・・•ZQ+ZQAB=90°,

NP+NQA8=90。，

/.ZAOP=90°,

.・.AQLDP；

故①正确；

vZZX24=ZAOP=90°,ZADO-^-ZP=ZADO+ZDAO=90o,

・•.ZDAO=ZP,

.•.AQ48AAPQ,

,AOOP

"'OD~~OA'

AO2=OD・OP,

\AE>ABf

:.AE>AD9

ODwOE,

:.OAr^OE.OP；故②错误；

4FCQ=NEBP

在bCQF与NBPE中(NQ=NP,

CQ=BP

:.ACQF三2PE,

:.CF=BE,

1.DF=CE,

AD=CD

在AAZ*与ADC石中，ZADC=ZDCE,

DF=CE

.•.d\DF=M)CE,

,•S^DF~S^FO=~^^DOF，

即=S四边形0£c尸；故③正确；

・・・BP=1,A3=3,

・.AP=4,

,ZBEs"AD,

PBPA4

•.-——1

EBDA3

313

..BE=—，:.QE=—，

44

,/bQOEs"AD，

13

QOOEQE

"~PA~~M5~~PD~~5'

1339

:.QO=—,OE=—,

520

AO=5-QO=^,

tanZ.OAE=,故④正确,

OA16

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质,

三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

二、填空题（共10小题）

10.（2021•广州）如图，在AABC中，AC=BC,N8=38。，点。是边4?上一点，点B关

于直线CO的对称点为玄，当qQ//AC时，则々8的度数为_33。

【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质

【专题】平移、旋转与对称；推理能力

【分析】先根据等腰三角形的性质得到NA=ZB=38。，再利用平行线的性质得

NA£W=NA=38。，接着根据轴对称的性质得到石=NC/）3,则可出NCD8的度数,

然后利用三角形内角和计算出N88的度数.

【解答】解：•.•AC=3C,

.•.ZA=ZB=38°,

\BDHAC,

ZA£)8=ZA=38°,

•.•点B关于直线CD的对称点为B',

NCDB=ZCDB=g(38°+180°)=109°.

/.ZBCE>=180°-ZB-ZCDB=180°-38°-109°=33°.

故答案为33。.

【点评】本题考查了轴对称的性质：轴对称的两个图形全等.也考查了平行线的性质和等腰

三角形的性质.

11.(2020•广州)如图，点A的坐标为(1,3),点3在x轴上，把钻沿x轴向右平移到

△ECD,若四边形ABZX7的面积为9,则点C的坐标为_(4,3)一

【考点】K3：三角形的面积；03：坐标与图形变化-平移

【专题】552：三角形；67：推理能力

【分析】根据平移的性质得出四边形是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，

根据四边形ABAC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标.

(解答］解：•.•把AOAB沿x轴向右平移到AECD,

••・四边形是平行四边形，

:.AC=BD,A和。的纵坐标相同，

•.•四边形4咒)C的面积为9,点A的坐标为(1,3),

:.3AC=9,

AC=3，

/.C(4,3),

故答案为(4,3).

【点评】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移

的距离是解题的关键.

12.(2019•深圳)如图，在正方形ABCD中，BE=1,将BC沿CE翻折，使8点对应点刚

好落在对角线AC上，将沿/1F翻折，使。点对应点刚好落在对角线AC上，求防=

x/6_.

【考点】正方形的性质；翻折变换(折叠问题)

【专题】平移、旋转与对称

【分析】作于点M.根据折叠的性质与等腰直角三角形的性质得出

EX=EB=AX=1,ZEXC=ZB=90°,AM=DF=YF=\,由勾股定理得到

AE=yjAX2+EX2=72.那么正方形的边长AB=五〃=&+1,EM=&-1,然后利用勾

股定理即可求出E/L

【解答】解：如图，作于点〃.

•.•四边形A3CD是正方形，

ZBAC=ZCAD=45°.

•.•将8c沿CE翻折，8点对应点刚好落在对角线AC上的点X,

.,.欧=£B=AV=1,Z£YC=ZB=90°,

AE=《AX?+EX2=72.

将AD沿AF翻折，使。点对应点刚好落在对角线AC上的点丫，

：.AM=DF^YF=\,

.,.正方形的边长48=尸〃=0+1,EM=0-1,

：.EF=4EM2+FM2=7(72-I)2+(72+1)2=y/6.

故答案为述.

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形

状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了正方形的性质以及勾股定理.求

出£核与nw是解题的关键.

13.（2019•广州）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则

该圆锥侧面展开扇形的弧长为_2&万_.（结果保留力）

【考点】MP-.圆锥的计算；U3：由三视图判断几何体；U1：简单儿何体的三视图；KW：

等腰直角三角形；MN-.弧长的计算

【专题】55C：与圆有关的计算

【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长=底面圆的周长即可解决问题.

【解答】解：•••某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，

.•.斜边长为2夜，

则底面圆的周长为207，

该圆锥侧面展开扇形的弧长为2©r,

故答案为2拒万.

【点评】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题

型.

14.（2019•广州）一副三角板如图放置，将三角板4把绕点A逆时针旋转。（0。＜。＜90。），

使得三角板ADE的一边所在的直线与8C垂直，则a的度数为_15。或60。_.

【考点】旋转的性质

【专题】线段、角、相交线与平行线

【分析】分情况讨论：®DE±BC;②ADJ_3c.

【解答】解：分情况讨论：

①当£>EJ_8C时，ABAD=180°-60°-45°=75°,.•.a=90°-ZBAD=15°；

②当A£）_L3C时，«=90°-ZC=90o-30o=60°.

故答案为：15。或60。

【点评】本题主要考查了旋转的定义、旋转角的求法以及一副三角板的各个角的度数，理清

定义是解答本题的关键.

15.（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示,

小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形

（图1）拼出来的图形的总长度是_°+助_（结果用含°,人代数式表示）.

I—a-I|----------------------总长---------------------1

图1图2

【考点】P8：利用轴对称设计图案

【专题】2A：规律型

【分析】用9个这样的图形的总长减去拼接时的重叠部分，即可得到拼出来的图形的总长度.

【解答】解：由图可得，拼出来的图形的总长度=9a-8（a-6）=a+助.

故答案为：a+8b.

【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的

性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案.

16.（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼瓦）的水平间距CO=156米，在实验楼

顶部3点测得教学楼顶部A点的仰角是30。，底部C点的俯角是45。，则教学楼AC的高度

是_(15+156)_米(结果保留根号).

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【专题】解直角三角形及其应用

【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形.本题涉及到两个直角三角形A6EC、

进而可解即可求出答案.

【解答】解：过点8作3E_LAB于点E,

在RtABEC中，NCBE=45°,BE=15百;可得CE=BExtan450=156米.

在RtAABE中，ZABE=30°,3E=15g,可得AE=B£：xtan3O°=15米.

故教学楼AC的高度是AC=156+15米.

答：教学楼AC的高度是(156+15)米.

【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图

形利用三角函数解直角三角形.

17.(2018•广州)如图，旗杆高AB=8%,某一时亥I,旗杆影子长8c=16m，则tanC=-.

~2~

【考点】解直角三角形的应用；平行投影

【专题】几何图形

【分析】根据直角三角形的性质解答即可.

【解答】解：•.,旗杆高AB=8〃2,旗杆影子长3C=16〃7,

BC162

故答案为：-

2

【点评】此题考查解直角三角形的应用，关键是根据正切值是对边与邻边的比值解答.

18.（2017•深圳）如图，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,RtAMPN,

ZMPN=90°,点P在AC上，PM交AB于点E,PN交BC于点、F,当PE=2Pb时,

AP=3

【分析】如图作P。，A8于Q,PRLBC于R.由,推出丝=%=2,可

得PQ=2PR=2BQ,由PQ//8C,可得AQ:QP:AP=AB:BC:AC=3:4:5，设尸Q=4x,

则AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,可得2x+3x=3,求出x即可解决问题.

【解答】解：如图作尸。_LA8于Q,PRLBC于•R.

二四边形PQ8R是矩形,

NQPR=90°=NMPN,

/QPE=/RPF，

bQPEs\RPF,

.PQ_PE

•♦---=---=',

PRPF

二.PQ=2PR=2BQ,

・.・PQ//BC,

:.AQ:QP:AP=AB:BC:AC=3:4:5,设尸。=4x,贝ijAQ=3x,AP=5x,BQ=2x,

「.2x+3x=3,

3

...X=一，

5

:.AP=5x=3.

故答案为3.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

19.（2017•广州）如图，RtAABC中，ZC=90°,8c=15,tanA="，则AB=17

【考点】T7：解直角三角形

【分析】根据N4的正切求出AC,再利用勾股定理列式计算即可得解.

【解答】解：RtAABC中，NC=90。，tanA=—,8c=15,

8

1515

---=一,

AC8

解得AC=8,

根据勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=V82+152=17.

故答案为：17.

【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，主要利用了锐角的正切等于对边比邻边.

三、解答题（共10小题）

20.（2021•深圳|）在正方形ABC。中，等腰直角A4EF,ZAFE=9Q°,连接CE,H为CE

中点，连接B”、BF、HF,发现H和々BE为定值.

BH

(1)①”=灰

BH

®ZBBF=

③小明为了证明①②，连接AC交友）于O,连接O”，证明了空和空的关系，请你按

AFB0

他的思路证明①②.

（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2,—=—,

ADFA

ABDA=4EAF=6（0°<（9<90°）.

求①型=:（用々的代数式表示）

HD----

②必=.（用左、e的代数式表示）

HD----

图1图2

【答案】（1）①血;②45。；③见解答过程；（2）①2；②二‘二.cos吆

kk

【考点】相似形综合题

【专题】推理能力；图形的相似

【分析】（1）由A4E尸和AABO都是等腰直角三角形可证尸，从而得到对应边

成比例，对应角相等，进行转化即可；

（2）将等腰直角三角形换成两个相似三角形，任然有ADC归SWF,从而得出①，作

/FD?

产于M,由①得——=一，设F£）=2r,HD=kt,通过勾股定理表示出HW、MF、

HDk

HF的长即可得出②.

【解答】解：①应;②45。；

③由正方形的性质得：—=V2,O为AC的中点，

B0

又•.,”为CE的中点,

:.OH//AE,OH=—AE,

2

・.・A4E厂是等腰直角三角形,

/.AE=y/2AF,

.吗

OHBO

\OH//AE,

Z.COH=ZC4E，

:.ZBOH=ZBAF,

/.—=>/2,ZHBO=NFBA,

BH

.•.ZHBF=ZHBO+Z.DBF=/DBA=45°;

(2)①如图2,连接AC交3。于点O,连接O”，

由(1)中③问同理可证：MX)H^^DAF,

.FDAD2

一~HD~~DO~~kJ

②由①知：MX)H^^DAF,

:.ZHDO=NFDA,

"HDF=ABDA=。,

在中，—=-,

HDk

设DF=2，,HD=kt,

作/于M,

...HM=DHxsin6=ktsin®,DM=ktcos3,

/.MF=DF-DM=(2-kcos0)t,

在RtAHMF中，由勾股定理得：

HF=42-4火cos。+4,

FH_JF2-4&COS6+4

---=----------------.

DHk

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，关键是模型的应用，由共顶点的两个相

似三角形产生的第二对相似，能够准确地从复杂图形中找到基本图形是解题的关键.

21.(2021•深圳)如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位.

(1)过直线，“作四边形ABCD的对称图形；

(2)求四边形A88的面积.

【答案】(1)见解答过程；

(2)8.

【考点】作图-轴对称变换

【专题】平移、旋转与对称；作图题；几何直观

【分析】(1)依据轴对称的性质得出四边形45co各顶点的对称点，再顺次连接各顶点即

可；

(2)依据四边形ABCD的面积=5.9+，比0进行计算，即可得到四边形43co的面积.

【解答】解：(1)如图所示，四边形A'UC'D即为所求；

（2）四边形A8C£>的面积=5»初+5林0>=/*4xl+/x4*3=8.

【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图，解决问题的关键是利用轴对称的性质得到对

称点的位置.

22.（2021•广东）如图，边长为1的正方形A88中，点E为AD的中点.连接3E,将AA3E

沿跳折叠得到AF3E,即交AC于点G,求CG的长.

【答案】壬.

7

【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）

【专题】矩形菱形正方形；推理能力

【分析】延长班1交8于H,连接证明AED“SAS4£,推出段=空=2.,推出

ABEA2

DH=~,CH=-,由C/7/A45,推出史=C乜=3,可得结论.

44GAAB4

【解答】解：延长3尸交CD于，，连接E4.

•.•四边形438是正方形，

:.AB//CD,ZD=ZZMB=90°,AD=CD=AB=l,

AC=dAD。+CD。=Vl2+12=72,

由翻折的性质可知，AE=EF,NEAB=NEFB=90。,ZAEB=/FEB,

•.•点E是AO的中点，

:.AE=DE=EF,

ZD=ZEFH=90。,

在RlAEHD和RtAEHF中，

[EH=EH

\ED=EF'

RtAEHD=RtAEHF(HL),

.-.ZDEH=ZFEH,

;.ZHEB=90。，

­.­ZDEF+ZAEF=180°.

/.2NDEH+2ZAEB=180°,

.­.ZDE//+Z/4£B=90°,

・・・NAEB+ZAB£*=90。，

：.ZDEH=ZABE,

AEDH^ABAE，

EDDH1

••---=----=一,

ABEA2

13

:.DH=-,CH=—，

44

•・・CH//AB,

,CGCH3

GA-4'

.“_33&

77

【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定

和性质等知识，解题的关键是求出DH,CH,利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

23.(2021•广东)如图，在RtAABC中，ZA=90°,作8c的垂直平分线交AC于点£),延

长AC至点E,使CE=AB.

(1)若AE=1,求43。的周长；

(2)若A£>=48£),求tanNABC的值.

3

B

C

【答案】（1）1;

(2)也.

【考点】解直角三角形：线段垂直平分线的性质

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力；应用意识；等腰三角形与直角三角形