常微分方程22解的存在唯一性定理省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

§2.2解存在唯一性定理和

逐步迫近法

/Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod/

1/37概念和定义存在唯一性定理内容提要/ConstantAbstract/§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2/37本节要求/Requirements/

掌握逐步迫近方法本思想

深刻了解解存在唯一性定理条件与结论§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod3/37一、概念与定义/ConceptandDefinition/1.一阶方程初值问题(Cauchyproblem)表示§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod4/372.利普希兹条件

函数称为在矩形域:…………(3.1.5)关于y

满足利普希兹(Lipschitz)条件，假如存在常数L>0使得不等式对全部都成立。L

称为利普希兹常数。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod5/37二、存在唯一性定理

定理1假如f(x,y)

在R上连续且关于y满足利普希兹条件,则方程(3.1.1)存在唯一连续解定义在区间,且满足初始条件这里§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod6/37定理1证实需要证实五个命题：

命题1求解微分方程初值问题等价于求解一个积分方程

命题2结构一个连续逐步迫近序列

命题3证实此逐步迫近序列一致收敛

命题4证实此收敛极限函数为所求初值问题解

命题5证实唯一性§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod7/37定理1证实命题1

设是初值问题解充要条件是是积分方程……(3.1.6)定义于上连续解。证实:微分方程初值问题解满足积分方程（3.1.6）。积分方程（3.1.6）连续解是微分方程初值问题解。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod8/37证明因为是方程(3.1.1)解，故有:两边从积分得到:把(3.1.2)代入上式,即有:所以,是积分方程在上连续解.§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod9/37反之，假如是(3.1.6)连续解，则有：………(3.1.8)微分之，得到:又把

代入(3.1.8)，得到:所以，是方程(3.1.1)定义于上，且满足初始条件(3.1.2)解。命题1证毕.同理，可证在也成立。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod10/37现在取，结构皮卡逐步迫近函数序列以下:§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod11/37xyox0x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+h§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod12/37命题2

对于全部(3.1.9)中函数在上有定义、连续，即满足不等式:证明:

（只在正半区间来证实，另半区间证实类似）当n=1

时,§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod13/37即命题2当n=1时成立。现在用数学归纳法证实对于任何正整数n

，命题2都成立。即当n=k

时，在也就是满足不等式在上有定义,连续上有定义，连续，而当n=k+1

时，上有定义，连续。在§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod14/37

即命题２在n=k＋１时也成立。由数学归纳法得知命题２对于全部n

均成立。命题３在上是一致收敛。命题２证毕函数序列考虑级数:它部分和为：§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod15/37为此，进行以下预计，由逐步迫近序列(3.1.9)有:§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod16/37设对于正整数n,不等式成立，于是，由数学归纳法得到：对于全部正整数k，有以下预计:§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod17/37由此可知，当时(3.1.14)右端是正项收敛级数普通项，由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法),级数(3.1.11)在上一致收敛,因而序列也在上一致收敛。命题3证毕§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod18/37则也在又可知现设上连续，且由(3.1.10)命题4

是积分方程(3.1.6)定义于证明:由利普希兹条件以及在上一致收敛于上连续解。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod19/37因而，对(3.1.9)两边取极限,得到:即即知序列在一致收敛这就是说,是积分方程(3.1.16)定义于上连续解。命题4证毕§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod20/37命题5也是积分方程(3.1.6)定义于

上一个连续解,则证实若首先证实也是序列一致收敛极限函数。为此，从进行以下预计§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod21/37现设则有§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod22/37有故由数学归纳法得知对于全部正整数n

，有下面预计式§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod23/37所以，在上有:是收敛级数公项,故时因而在上一致收敛于依据极限唯一性，即得:命题5证毕综合命题1-5，即得到存在唯一性定理证实。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod24/37例求初值问题第三次近似解。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod25/37附注/Remark/1）假如在R

上存在且连续,则f(x,y)

在R上关于

y

满足利普希兹条件，反之不成立。证在R上连续，则在R上有界，记为L由中值定理故

f(x,y)

在R上关于y满足利普希兹条件。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod26/37这条件是充分条件，而非必要条件。例1R为中心在原点矩形域但故

f(x,y)

在R上关于y满足利普希兹条件。在R上存在且有界

f(x,y)

在R上关于y满足利普希兹条件。在R上存在且无界

f(x,y)

在R上关于y不满足利普希兹条件。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod27/372)定理1中两个条件是确保CauchyP存在唯一充分条件，而非必要条件。例2

当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。f(x,y)

在以原点为中心矩形域中不连续，但解存在唯一§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod28/37例3

当Lipscitz条件不满足时，解也可能存在唯一。f(x,y)

在(x,0)任何邻域内不满足Lipscitz条件，但解存在唯一不可能有界§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod29/37xy§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod30/37

例4

设方程(3.1)为线性方程则当P(x),Q(x)

在区间上连续，则由任一初值所确定解在整个区间上都存在。3）若f(x,y)在带域中连续，且对y满足Lipschitz条件，则在整个区间中存在唯一满足条件方程解。记§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod31/374)一阶隐式方程解存在唯一性定理2假如在点某一邻域中，对全部变元连续，且存在连续偏导数；则上述初值问题解在某一邻域存在。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod32/37实际上，由条件知所确定隐函数在邻域内存在且连续，且在邻域内连续，在以为中心某一闭矩形区域D中有界，所以f(x,y)在D中关于y满足Lipschitz条件。由解存在唯一性定理，解y(x)

存在唯一，存在区间中

h

可足够小。同时，有§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod33/37三、近似计算和误差预计

第

n

次近似解第

n

次近似解误差公式§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod34/37例4方程定义在矩形域试确定经过点(0,0)解存在区间，并求在此区间上与真正解误差不超出0.05近似解表示式。解满足解存在唯一