专题6.2等差数列-高考数学一轮复习宝典（新高考专用）

第六章数列专题6.2等差数列理解等差数列的概念.n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．考点一等差数列基本量的运算考点二等差数列的判定与证明考点三等差数列的性质知识梳理1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差．(2)等差中项如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且有A＝eq\f(x＋y,2).2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d或Sn＝eq\f(na1＋an,2).3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列．第一部分核心典例题型一等差数列基本量的运算1．在数列中，，，，则18是数列中的（

）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【答案】C【详解】由，得是首项为2，公差为4的等差数列，所以，令，解得，所以18是数列中的第5项．故选：C2．在数列中，，，则（

）A．121 B．100 C．81 D．64【答案】C【详解】因为，所以，故数列是公差为的等差数列，因为，所以，则.故选：C3．在数列中，，，，则的值为（

）A．23 B．17 C．19 D．21【答案】D【详解】因为，所以数列为等差数列，公差为2，首项，所以故选：D.4．若数列满足，，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以.故选：D5．首项为的等差数列，中从第10项开始为正数，则公差的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为等差数列中从第10项开始为正数，，所以，即，解得，所以公差的取值范围为.故选：D.题型二等差数列的判定与证明6．下列说法正确的是（

）A．若数列的公差，则数列是递减数列B．若数列的前项和，则数列为等比数列C．若数列的前项和（为常数），则数列一定为等差数列D．数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列；【答案】A【详解】若数列的公差，即，所以数列是递减数列，A选项正确；若数列的前项和，则，当时，，此时有，但，所以数列不是等比数列，B选项错误；若数列的前项和（为常数），则，当时，，此时有，但，当时，，所以数列不一定为等差数列，C选项错误；数列是等比数列，为前项和，当公比，为偶数时，则均为0，不为等比数列，D选项错误.故选：A7．已知数列的前项和，则是（

）A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列【答案】A【详解】因为，所以当时，有，，得，当时，适合上式，因为，所以该数列是以2为公差的等差数列，故选：A8．已知数列满足，那么（

）．A．是等差数列 B．是等差数列C．是等差数列 D．是等差数列【答案】D【详解】由得，，，故，即有故数列是等差数列，故选：D9．现有下列命题：①若，则数列是等差数列；②若，则数列是等差数列；③若（b、c是常量），则数列是等差数列．其中真命题有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【详解】由，得，满足等差数列的定义，故①正确；，不是常数，不满足等差数列的定义，故②错误；，，，满足等差数列的定义，故③正确.故选：C10．若数列满足，，则此数列是（

）A．等差数列 B．等比数列C．既是等差数列又是等比数列 D．既非等差数列又非等比数列【答案】A【详解】由条件可知，所以数列是常数列，，所以，即，，所以数列是等差数列.故选：A题型三等差数列的性质11．已知是等差数列，，则等于（

）A．48 B．40 C．60 D．72【答案】B【详解】根据等差数列性质计算可得，解得；所以可得，故选：B12．在等差数列中，若，则（

）A．13 B．26 C．39 D．52【答案】D【详解】因为是等差数列，所以，解得，所以．故选：D．13．记等差数列的前项和为，若，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【详解】解：因为为等差数列，，即，解得，所以（为等差数列的公差）.故选：D.14．等差数列的前项和为，则的最大值为（

）A．60 B．50 C． D．30【答案】D【详解】由和，由于为等差数列，且，所以当时，,故的最大值为，故选：D15．已知等差数列是递增数列，且满足，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由等差数列的性质，，又，解得或，又是递增数列，所以，，.故选：C.第二部分课堂达标一、单选题1．设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第37项为（

）A．1 B．0 C．100 D．3700【答案】C【详解】根据题意，，又数列，是项数相同的等差数列，所以数列是常数列，所以数列的第37项为100.故选：C.2．已知数列，通项公式为，那么的最小值是（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】，，，数列是首项为，公差为2的等差数列，，前项和取到最小值时，，故选：B3．已知等差数列的前n项和为S，且，，则（

）A．2 B．2 C．4 D．6【答案】B【详解】设公差为，则，，联立可得，故.故选：B4．在数列中，，，则的值为（

）A．99 B．201 C．102 D．101【答案】B【详解】因为，所以是等差数列，且公差为，又，所以，故选：B．5．设是等差数列的前n项和，若，则（

）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】C【详解】由题意得，所以，所以.故选：C.6．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠．按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵．则年龄最小的儿子分到的绵是（

）A．65斤 B．82斤 C．184斤 D．201斤【答案】C【详解】设个儿子按年龄从小到大依次分绵斤，斤，斤，…，斤，则数列为公差为的等差数列.因为绵的总数为斤，所以，解得.故选：C.7．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，故.故选：A.8．已知数列和均为等差数列，是数列的前n项和，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【详解】根据题意，设等差数列，又因为是关于n的一次式，可得，则，所以.故选：B．二、多选题9．设等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（

）A． B．最大 C． D．【答案】AD【详解】因为，所以，得，即，则A正确.当时，，则，最小，故B错误.因为，所以，所以，对称轴为，所以，则C错误.因为，所以D正确.故选：AD10．公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（

）A． B．时，的最小值为2022C．有最大值 D．时，的最大值为4043【答案】CD【详解】对于：由可得，故等差数列的公差，故A错误；对于B：由A得，数列为单调递减数列，且，故时，的最小值为2023，故B错误；对于C：由A得，，故是关于的开口向下的二次函数，其有最大值，没有最小值，故C正确；对于D：因为数列的前2022项均为正数，且，，时，的最大值为4043，故D正确故选：CD三、填空题11．设为等比数列的前项和，若，，则【答案】【详解】设等比数列的公比为，则，.故答案为：.12．等差数列中，，则的前9项和为【答案】90【详解】因为，所以，又，所以，所以.故答案为：90四、解答题13．已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和.【详解】（1）设公差为，则，即解得或，所以或；（2）因为数列为递增数列，，，，所以；所以.14．记为等差数列的前项和，已知，.(1)求的通项公式；(2)数列满足，，求数列的前21项和.【详解】（1）设公差为，由题设有，解得，，所以.（2）由题设，.所以数列的前21项和为211.15．已知是等差数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式与前项和；(2)若，求数列的前项和.【详解】（