专题25双曲线的简单几何性质9种常见考法归类（原卷版）

专题25双曲线的简单几何性质9种常见考法归类1、双曲线的简单几何性质（1）双曲线的几何性质（2）等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝eq\r(2).注：（1）双曲线的“虚轴”：在双曲线的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，令y＝0，可得x＝±a，因此双曲线与x轴有两个交点；而令x＝0，方程没有实数根，说明双曲线与y轴没有交点．为了方便画图，把点B1(0，－b)，B2(0，b)也画在y轴上，称线段B1B2为双曲线的虚轴．此处应注意：双曲线有两个顶点，而椭圆有四个顶点．（2）双曲线的渐近线特点：双曲线的渐近线是两条直线．随着x和y趋向无穷大，双曲线的各支将与渐近线无限接近，但永远没有交点．由双曲线的渐近线方程只能确定a与b的比值，无法确定双曲线的焦点在哪一条坐标轴上．（3）如何用几何图形解释c2＝a2＋b2？a，b，c在双曲线中分别表示哪些线段的长？由于c2＝a2＋b2，a，b，c就是右图中Rt△OAB的三边长，它们从另一个角度反映了参数a，b，c的几何意义．2、直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．3、弦长公式斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2).4、由双曲线的标准方程求几何性质已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等.注意与椭圆的相关几何性质进行比较.5、由几何性质求双曲线标准方程的解题思路（1）由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1mn>0.（2）常见双曲线方程的设法.①渐近线为y＝±eq\f(n,m)x的双曲线方程可设为eq\f(x2,m2)－\f(y2,n2)＝λλ≠0，m>0，n>0；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝mm≠0，A>0，B>0.②与双曲线eq\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－\f(x2,b2)＝1a>0，b>0共渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝λ或eq\f(y2,a2)－\f(x2,b2)＝λλ≠0.③与双曲线eq\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1a>0，b>0离心率相等的双曲线系方程可设为eq\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝λλ>0或eq\f(y2,a2)－\f(x2,b2)＝λλ>0，这是因为由离心率不能确定焦点位置.④与椭圆eq\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1a>b>0共焦点的双曲线系方程可设为eq\f(x2,a2－λ)－\f(y2,λ－b2)＝1b2<λ<a2.6、求双曲线的离心率或其取值范围的思路（1）求解双曲线的离心率一般有两种方法.①由条件寻找a，c所满足的等式，常用的公式变形为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(1,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2))，其中a>0，b>0.②依据条件列出含a，c的齐次方程，利用e＝eq\f(c,a)转化为含e或e2的方程，解方程即可，注意依据e>1对所得解进行取舍.（2）求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和eq\f(c,a)＝e得到关于ee时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化.7、若直线y＝kx＋m(m≠0)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)只有一个公共点，则此时直线与双曲线不一定相切.(1)当k＝±eq\f(b,a)时，直线与双曲线恰有一个交点，此时直线与双曲线渐近线平行，并与双曲线的一支交于一点，此时的位置关系是相交不是相切．(2)当k≠±eq\f(b,a)，且直线与双曲线方程联立后的方程的Δ＝0时，直线与双曲线恰有一个公共点，此时的位置关系是相切．8、直线与双曲线位置关系的判断方法：(1)方程思想的应用判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)．当二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点)；当二次项系数不等于0时，若Δ>0，则直线与双曲线有两个公共点，若Δ＝0，则直线与双曲线只有一个公共点，若Δ<0，则直线与双曲线无公共点．(2)数形结合思想的应用a．直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．b．直线斜率一定时，通过平移直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．（3求直线与双曲线的相交弦长，一般将两方程联立，通过消元化为一元二次方程，结合根与系数的关系求解．9、中点弦问题的两种处理方法eq\x(\a\al(方程,法))→eq\x(\a\al(联立方,程组消,去一个,未知数))→eq\x(\a\al(得到一,元二次,方程，,利用根,与系数,的关系))→eq\x(\a\al(代入中,点坐标,公式))→eq\x(\a\al(求出参,数的值,或求出,直线方,程))→eq\x(\a\al(使问题,解决))eq\x(\a\al(点,差,法))→eq\x(\a\al(设端点,（x1，y1），,（x2，y2）,代入双,曲线方,程))→eq\x(\a\al(两式作,差后采,用“平,方差”))→eq\x(\a\al(代入中,点坐标,公式))→eq\x(\a\al(得直线,的斜率，,建立点,斜式方,程))→eq\x(\a\al(使问题,解决))10、双曲线的综合问题双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况.另外，设而不求、韦达定理、消参也是常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度.eq\a\vs4\al()考点一由双曲线的标准方程求几何性质考点二由双曲线的几何性质求标准方程考点三判断点和双曲线的位置关系考点四双曲线的离心率问题（一）求双曲线的离心率问题（二）求双曲线离心率的取值范围（三）由双曲线的离心率求参数考点五双曲线的渐近线问题考点六直线与双曲线位置关系的判定考点七直线与双曲线的相交弦问题考点八与双曲线有关的最值问题考点九与双曲线有关的定点、定值问题考点一由双曲线的标准方程求几何性质1．（2023·全国·高二随堂练习）求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程和离心率．(1)；(2)；(3)；(4)．2．（2023春·新疆和田·高二校考期中）椭圆和双曲线的焦距分别为（

）A．和 B．和 C．和 D．和3．【多选】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线，则（

）A．双曲线E的实轴长为24 B．双曲线E的焦距为26C．双曲线E的渐近线的斜率为 D．双曲线E的渐近线的斜率为4．（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知双曲线，则下列选项正确的是（

）A．渐近线方程 B．顶点坐标C．离心率 D．焦距为35．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（

）A．9 B．－9 C． D．6．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数a的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023秋·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合，则的值为（

）A．2 B．4 C． D．考点二由双曲线的几何性质求标准方程8．（2024秋·山东临沂·高三校联考开学考试）已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（

）A． B． C． D．9．（2023秋·广东东莞·高三校考阶段练习）已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（

）A． B．C． D．10．（2023·全国·高二专题练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为．11．【多选】（2023秋·海南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线方程为（

）A． B． C． D．12．（2023·全国·高二课堂例题）求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以直线为渐近线，过点；(2)与椭圆有公共焦点，离心率为.13．（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)，经过点；(2)与双曲线有相同的焦点，且经过点．14．（2023秋·全国·高二期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)与椭圆有公共焦点，且过点；(2)焦点在轴上，焦距为，渐近线斜率为；(3)离心率，且经过点；(4)经过点，且一条渐近线的方程为．15．（2023·全国·高二专题练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)，经过点；(2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点；(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．考点三判断点和双曲线的位置关系16．（2023·全国·高一专题练习）已知双曲线方程下列说法中正确的有（

）A．焦点坐标B．该双曲线的图象过点C．焦距为10D．双曲线上存在点P，使得且17．（2023秋·高二课时练习）点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．考点四双曲线的离心率问题求双曲线的离心率问题18．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（

）A．5 B．C． D．19．（2023秋·江苏连云港·高三校联考阶段练习）已知双曲线，直线与双曲线C交于M，N两点，直线与双曲线C交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率等于．20．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为.21．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为22．（2023秋·河南焦作·高二校考阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限，为等边三角形，则双曲线的离心率e为.23．（2023·全国·高二专题练习）已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．24．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线（，），直线的斜率为，且过点，直线与轴交于点，点在的右支上，且满足，则的离心率为（

）A． B．2C． D．25．（2023秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）设、分别为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．26．（2023·全国·高二随堂练习）如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，A，B分别是，在第二、四象限的公共点．若四边形为矩形，求的离心率．27．（2023秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗市第三中学校考阶段练习）如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为.求双曲线离心率的取值范围28．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知双曲线的实轴为，对上任意一点P，在上都存在点Q，使得，则C的离心率的取值范围为．29．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是．30．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．31．（2023春·江西·高二校联考开学考试）双曲线的左焦点为，，为双曲线右支上一点，若存在，使得，则双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．32．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：上有不同的三点A，B，P，且A，B关于原点对称，直线PA，PB的斜率分别为，，且，则离心率e的取值范围是．33．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．34．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知过点可作出双曲线（，）的两条切线，若两切点都在双曲线C的某一支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．由双曲线的离心率求参数35．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的离心率大于，则m的取值范围是.36．（2023·全国·高二专题练习）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为37．（2023·全国·高二专题练习）若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为.38．（2023·全国·高二专题练习）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是.39．（2023秋·全国·高二期末）已知双曲线．(1)若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线的离心率为，求实数的取值范围．考点五双曲线的渐近线问题40．（2023秋·江苏南京·高二金陵中学校考阶段练习）双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．41．（2024·全国·高三专题练习）双曲线的两条渐近线的夹角为（

）A． B． C． D．42．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的离心率为，若点与点都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．43．（2023秋·高二课时练习）求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的标准方程.44．（2023秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为．45．（2023秋·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）已知双曲线的一个焦点在直线上，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的方程为．46．（2023·全国·高二随堂练习）已知双曲线的两条渐近线为，若顶点到渐近线的距离为1，求该双曲线的方程．47．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知双曲线（，）的离心率为，若直线与无公共点，则e的取值范围是.考点六直线与双曲线位置关系的判定48．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．49．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线E的两个焦点分别为，并且E经过点.过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，则直线l的方程为.50．（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线，直线，求直线l与双曲线C的公共点的坐标．51．（2023·全国·高三专题练习）过点作双曲线：的两条切线，切点分别为，求直线的方程．52．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的范围．考点七直线与双曲线的相交弦问题53．（2024·全国·高三专题练习）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长．54．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为.55．（2023春·安徽芜湖·高三芜湖一中校考阶段练习）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有4条，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．56．【多选】（2024·全国·高三专题练习）已知直线经过双曲线（，）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为（

）A． B．C． D．57．（2023春·新疆和田·高二校考期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点(1)求双曲线的方程；(2)求的面积.58．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求.59．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为．(1)求双曲线的方程；(2)直线与双曲线交于两点，若，求的值．60．（2023秋·高二课时练习）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（

）A． B． C． D．61．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．62．（2023·全国·高三专题练习）已知倾斜角为的直线l与双曲线C：交于A，B两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线l的方程．考点八与双曲线有关的最值问题63．（2023春·浙江·高二校联考期末）双曲线右焦点为，离心率为，，以为圆心，长为半径的圆与双曲线有公共点，则最小值为（

）A． B． C． D．64．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是.65．（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知双曲线的实轴长为，离心率为.动点P是双曲线C上任意一点.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点，求线段的中点Q的轨迹方程；(3)已知点，求的最小值.66．（2023·全国·高二专题练习）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，.若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为.67．（2023·吉林·统考二模）在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线的距离比是常数2.(1)求动点的轨迹方程；(2)若直线与动点的轨迹交于P，Q两点，且（为坐标原点），求的最小值.68．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线()左、右焦点为，其中焦距为，双曲线经过点．(1)求双曲线的方程；(2)过右焦点作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线，其中，垂足为为射线与双曲线右支的交点，求的最大值．69．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点为双曲线右支上一动点，过点与双曲线相切的直线，直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求的面积的最小值．考点九与双曲线有关的定点、定值问题70．（2023秋·江西南昌·高三江西师大附中校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为4，离心率为．过点的直线l与双曲线C交于A，B两点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明．71．（2023秋·福建厦门·高三厦门大学附属科技中学校考阶段练习）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)若为双曲线的左焦点，过点作直线交的左支于，直线交直线于点.设直线的斜率分别，求证：为定值.72．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练