高考数学二轮专题复习教案函数与方程的思想方法

函数与方程的思想方法一、知识整合函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通过方程进行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.3．(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点。(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。(4)函数f(x)＝（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。二、例题解析Ⅰ．运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。例1已知，（a、b、c∈R），则有（）(A)(B)(C)(D)解析法一：依题设有a·5－b·＋c＝0∴是实系数一元二次方程的一个实根；∴△＝≥0∴故选(B)法二：去分母，移项，两边平方得：≥10ac＋2·5a·c＝20ac∴故选(B)点评解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。练习1已知关于的方程－（2m－8）x+－16=0的两个实根、满足＜＜，则实数m的取值范围_______________。答案：；x21y0x21y0（A）(B)(C)(D)答案：A.3求使不等式≤·对大于1的任意x、y恒成立的a的取值范围。Ⅱ：构造函数或方程解决有关问题：例2已知，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的取值范围。解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]原题转化为：>0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）当x＝2时，不等式不成立。∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3]问题转化为g(m)在m∈[，3]上恒对于0，则：；解得：x>2或x<－1评析首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量m，不等式的左边恰是m的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键。例3为了更好的了解鲸的生活习性，某动物保护组织在受伤的鲸身上装了电子监测装置，从海洋放归点A处，如图（1）所示，把它放回大海，并沿海岸线由西向东不停地对它进行了长达40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动），然后又在观测站B处对鲸进行生活习性的详细观测，已知AB＝15km，观测站B的观测半径为5km。观测时刻t（分钟）跟踪观测点到放归点的距离a（km）鲸位于跟踪观测点正北海岸西海岸西东图1AB1010.9992021.4133031.7324042.001(1)据表中信息：①计算出鲸沿海岸线方向运动的速度；②试写出a、b近似地满足的关系式并画出鲸的运动路线草图；（2）若鲸继续以（1）－②运动的路线运动，试预测，该鲸经过多长时间（从放归时开设计时）可进入前方观测站B的观测范围？并求出可持续观测的时间及最佳观测时刻。（注：≈6.40；精确到1分钟）解析（1）由表中的信息可知：①鲸沿海岸线方向运动的速度为：（km/分钟）②a、b近似地满足的关系式为：运动路线如图（2）以A为原点，海岸线AB为x轴建立直角坐标系，设鲸所在位置点P（x，y），由①、②得：，又B（15，0），依题意：观测站B的观测范围是：≤5（y≥0）又∴≤25解得：11.30≤x≤17.70由①得：∴该鲸经过t＝＝113分钟可进入前方观测站B的观测范围持续时间：＝64分钟∴该鲸与B站的距离d＝＝当d最小时为最佳观测时刻，这时x＝＝14.5，t＝145分钟。练习4．已知关于的方程－2=0有实数解，求实数的取值范围。（答案：0≤≤4－）Ⅲ：运用函数与方程的思想解决数列问题例4设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，>0，<0，（1）求公差d的取值范围；（2）指出、、…，中哪一个最大，并说明理由。解析（1）由得：，∵＝>0＝<0∴<d<－3（2）∵d<0，是关于n的二次函数，对称轴方程为：x＝∵<d<－3∴6<<∴当n＝6时，最大。三、强化练习1．展开式中的系数为____________.2．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列,则()A1BCD3.设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（）A5BCD4．已知锐角三角形ABC中，。Ⅰ.求证；Ⅱ.设，求AB边上的高。5．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为。Ⅰ.分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；Ⅱ.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验,求至少有一个是一等品的概率。6．设，，曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点Ｐ到曲线对称轴距离的取值范围是（）7.设双曲线C：与直线相交于两个不同的点A、B。Ⅰ.求双曲线C的离心率的取值范围；Ⅱ.设直线与轴的交点为P，且，求的值。数形结合思想在解题中的应用一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。二、例题分析例1.分析：，例2.解：法一、常规解法：法二、数形结合解法：例3.A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个分析：出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。例4.分析：例5.分析：构造直线的截距的方法来求之。截距。例6.分析：以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截例7.MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（）分析：①设椭圆另一焦点为F2，（如图），又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，∴ON是△MF1F2的中位线，②若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。例8.分析：例9.解法一（代数法）：，解法二（几何法）：例10.分析：转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。解：第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）相切于第一象限时，u取最大值三、总结提炼数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。【模拟试题】一、选择题：1.方程的实根的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.3.设命题甲：，命题乙：，则甲是乙成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.不充分也不必要条件4.适合且的复数z的个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.4个5.若不等式的解集为则a的值为（）A.1 B.2 C.3 D.46.已知复数的最大值为（）A. B. C. D.7.若时，不等式恒成立，则a的取值范围为（）A.（0，1） B.（1，2） C.（1，2] D.[1，2]8.定义在R上的函数上为增函数，且函数的图象的对称轴为，则（）A. B.C. D.二、填空题：9.若复数z满足，则的最大值为___________。10.若对任意实数t，都有，则、由小到大依次为___________。11.若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___________。12.函数的最小值为___________。13.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是___________。三、解答题：14.若方程上有唯一解，求m的取值范围。15.若不等式的解集为A，且，求a的取值范围。16.设，试求下述方程有解时k的取值范围。【试题答案】一、选择题1.C提示：画出在同一坐标系中的图象，即可。2.D提示：画出的图象情形1：情形2：3.A4.C提示：|Z－1|=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，显然点Z对应的复数满足条件，另外，点O对应的复数O，因其辐角是多值，它也满足，故满足条件的z有两个。5.B提示：画出的图象，依题意，从而。6.C提示：由可知，z2对应的点在以（0，0）为圆心，以2为半径的圆上，而表示复数对应的点的距离，结合图形，易知，此距离的最大值为：7.C提示：令，若a>1，两函数图象如下图所示，显然当时，要使，只需使，综上可知当时，不等式对恒成立。若，两函数图象如下图所示，显然当时，不等式恒不成立。可见应选C8.A提示：f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位而得到的，又知f(x+2)的图象关于直线x=0（即y轴）对称，故可推知，f(x)的图象关于直线x=2对称，由f(x)在（）上为增函数，可知，f(x)在上为减函数，依此易比较函数值的大小。二、填空题：9.提示：|Z|=2表示以原点为原心，以2为半径的圆，即满足|Z|=2的复数Z对应的点在圆O上运动，（如下图），而|z+1－i|=|z－（－1+i）|表示复数Z与－1+i对应的两点的距离。由图形，易知，该距离的最大值为。10.提示：由知，f(x)的图象关于直线x=2对称，又为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f(x)的图象，易知的大小。11.提示：设，画出两函数图象示意图，要使方程有四个不相等实根，只需使12.最小值为提示：对，联想到两点的距离公式，它表示点（x，1）到（1，0）的距离，表示点（x，1）到点（3，3）的距离，于是表示动点（x，1）到两个定点（1，0）、（3，3）的距离之和，结合图形，易得。13.提示：y=x－m表示倾角为45°，纵截距为－m的直线方程，而则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距，即。三、解答题：14.解：原方程等价于令，在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意，当且仅当两函数的图象在[0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为[－3，0]{1}。注：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。15.解：令表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x轴的上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，表示过原点的直线系，不等式的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值。由于不等式解集因此，只需要∴a的取值范围为（2，+）。16.解：将原方程化为：，∴令，它表示倾角为45°的直线系，令，它表示焦点在x轴上，顶点为（－a，0）（a，0）的等轴双曲线在x轴上方的部分，∵原方程有解，∴两个函数的图象有交点，由下图，知∴∴k的取值范围为分类讨论思想在解题中的应用一、知识整合1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。5.含参数问题的分类讨论是常见题型。6.注意简化或避免分类讨论。二、例题分析例1.一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（）A.B.C.D.分析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,当a=0时，直线过原点，此时直线方程为；当时，设直线方程为，方程为。例2．分析：因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A进行分类。解：这与三角形的内角和为180°相矛盾。例3.已知圆x2+y2=4，求经过点P（2，4），且与圆相切的直线方程。分析：容易想到设出直线的点斜式方程y-4=k(x-2)再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率k，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点P的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点P的直线分两种情形：（1）斜率存在时，…（2）斜率不存在…解（略）：所求直线方程为3x-4y+10=0或x=2例4.分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论。解：例5.分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因此应根据运算需求分类讨论，对x分类。解：例6.分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。解：综上所述，得原不等式的解集为；；；；。例7.已知等比数列的前n项之和为，前n+1项之和为，公比q>0，令。分析：对于等比数列的前n项和Sn的计算，需根据q是否为1分为两种情形：故还需对q再次分类讨论。解：例8.分析：解：（1）当k=4时，方程变为4x2=0，即x=0，表示直线；（2）当k=8时，方程变为4y2=0，即y=0，表示直线；（i）当k<4时，方程表示双曲线；（ii）当4<k<6时，方程表示椭圆；（iii）当k=6时，方程表示圆；（iv）当6<k<8时，方程表示椭圆；（v）当k>8时，方程表示双曲线。例9.某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能工人；（3）选出的6人中含2名全能工人；（4）选出的6人中含有3名全能工人。解：三、总结提炼分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例：（1）“方程有实数解”转化为时忽略了了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为△≥0；（2）等比数列的前项和公式中有个别情形：时，公式不再成立，而是Sn=na1。设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。(4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为，但有个别情形：a=0时，再不能如此设，应另行考虑。【模拟试题】一.选择题：1.若的大小关系为（）A. B.C. D.；2.若，且，则实数中的取值范围是（）A. B.C. D.3.设A=（）A.1 B. C. D.4.设的值为（）A.1 B.0 C.7 D.0或75.一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（）A.B.C.D.6.若（）A.1 B. C. D.不能确定7.已知圆锥的母线为l，轴截面顶角为，则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值为（）A. B.C. D.以上均不对8.函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.二.填空题9.若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是______________。10.若，则a的取值范围为________________。11.与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________。12.在50件产品中有4件是次品，从中任抽取5件，至少有3件次品的抽法共有______________种（用数字作答）13.不等式的解集为_____________。三.解答题：14.已知椭圆的中心在原点，集点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线与此椭圆有公共焦点，且其实轴比椭圆的长轴小8，两曲线的离心率之比为3：7，求此椭圆、双曲线的方程。15.设a>0且，试求使方程有解的k的取值范围。【试题答案】一.选择题1.C 2.D 3.D 4.D 5.C 6.A 7.D 8.B提示：1.欲比较p、q的大小，只需先比较的大小，再利用对数函数的单调性。而决定的大小的a值的分界点为使的a值：a=1，当a>1时，此时当即。可见，不论a>1还是0<a<1，都有p>q。2.若，即若可见当都有，故选（D）3.若若，则，4.由是1的7次方根，可得显然，1是1的7次方根，故可能；若，则故选（D）5.设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,当a=0时，直线过原点，此时直线方程为；当时，设直线方程为，方程为6.由于是总有，故选（A）7.当时，最大截面就是轴截面，其面积为；当时，最大截面是两母线夹角为的截面，其面积为可见，最大截面积为，故选（D）8.当时，满足题意综上可知，故选（B）二.填空题9.（提示：若长为4的边作为圆柱底面圆周的展开图，，则；若长为2的边作为圆柱底面圆周的展开图，则）10.（提示：对a分：两种情况讨论）11.（提示：分截距相等均不为0与截距相等均为0两种情形）12.4186种（提示：对抽取5件产品中的次品分类讨论：（1）抽取的5件产品中恰好有3件次品；（2）抽取的5件产品中恰好有4件次品，于是列式如下：=4140+46=4186）13.若，则解集为若，则解集为（提示：设解之得对a分类：时，）三.解答题14.解：（1）若椭圆与双曲线的焦点在x轴上，可设它们方程分别为，依题意（2）若焦点在y轴上，则可设椭圆方程为双曲线方程为，依题意有15.解：原方程可化为令则对原方程的解的研究，可转化为对函数图象的交点的研究下图画出了的图象，由图象可看出（1）当直线时，与双曲线无交点，此时即当时，原方程无解；（2）当直线图象与双曲线渐近线重合，显然直线与双曲线无交点，即当k=0时，原方程无解；（3）当直线的纵截距满足，即时，直线与双曲线总有交点，原方程有解。综上所述，当化归与转化的思想在解题中的应用一、知识整合1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。3．转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。4．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。二、例题分析例1．某厂20XX年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（）A.m>NB.m<NC.m=ND.无法确定[分析]每月的利润组成一个等差数列{an}，且公差d＞0，每月的投资额组成一个等比数列{bn}，且公比q＞1。，且，比较与的大小。若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d是关于n的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式bn=a1qn-1是关于n的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出ai≥bi则＞，即m＞N。[点评]把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。例2．如果，三棱锥P—ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P—ABC的体积．分析：如视P为顶点，△ABC为底面，则无论是S△ABC以及高h都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．解：如图，连结EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以VP－ABC=VP－ECD+VA－ECD=S△ECD•AE+S△ECD•PE=S△ECD•PA=•BC·ED·PA=．评注：辅助截面ECD的添设使问题转化为已