圆一般方程教学设计

圆一般方程教学设计

第1篇：圆的一般方程教学设计

一、学习目标

学问与技能：在娴熟记忆圆的标准方程的基础上，能通过配方法

将方程

配方，从而得出此方程表示圆的条件，记住此条件，并会求圆心

和半径；娴熟进行标准方程和一般方程之间的互化；通过比较得出求

圆方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。

过程与方法：通过对方程

表示圆的条件的探究，培

圆的一般方程教学设计

养学生探究发觉和解决问题的实力，通过比较例题，感悟归纳和

总结的学习方法。

情感看法与价值观：通过对数学思想和方法的渗透，让学生感受

解决问题的不同思索角度和过程，激励学生乐观思索，勇于探究的精

神。

二、重点难点：探究方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。

三、学法提示：探究式；比较归纳式

四、学习过程：包括相关预习、学习探究、反馈和展示、启发点

拨、归纳小结、释疑答难、训练巩固、点拨校正、作业等。

1、自主预习（用10分钟时间阅读教材内容，勾画自己的怀疑,

查阅相关的资料协助解决怀疑，记录自己一些独特的见解，完成学业

质量模块测评的环节1,包括基础学问的记忆、思维提升的推断及A、

B、C不同层级的练习）

2、思索探究（引入）：

问题L圆的标准方程是什么？你能正确绽开吗？

此时重点视察和发觉后进生的练习过程，刚好地予以真诚的语言

鼓舞或者一个确定的眼神、一个手势，让这些学生从一起先投入到我

能学会的自信念当中来。

问题2：方程方程

表示圆的条件；求圆方程在解决这两个问题之前老师紧接着问：

由问题1你能想到解决这两个问题的方法吗？或者由这两个方程的

形式特点你想到了什么方法来处理这两个方程？这样培育学生擅长

发觉问题之间的内在联系的意识，也培育学生视察分析问题的实力。

这样学生自然接受配方法处理，第一个表示一个圆，其次个不表

示任何图形。

问题3：将问题2一般化，方程

都表示圆吗？在什么条件下表示圆？

3、小组展示

先给学生5分钟自主探究（因为涉及到分状况探讨，可能有一半

学生会出错），而后各个小组在小组长的展示下相互完善，达成共识。

4、点拨，渗透分类探讨思想的时机和标准。

5、自主解答，训练感悟。

求过三点0(0,0),M(l,1),N(4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆

心和半径。要求：8分钟之内完成；依据已有学问多联系解决，方

法不限。

8分钟之后提问一名完成的学生来展示方法和过程，之后再调动

学生的乐观性来充分展示自己的过程。

6、归纳总结

圆的一般方程是什么？条件是什么？求圆的方程的方法有哪些?

对比例

2、例

3、例4回答

对于待定系数法的应用，你还想到了哪些学问？请总结用待定系

数法解题的步骤。

7、学生提问，答疑解惑

8、巩固练习。(1)推断方程(2)已知圆C的圆心在直线圆C

的标准方程。

五、作业布置：L正式作业课本P124：1,2；2.笔记整理

=0表示什么图形(配方法，分类探讨思想)

并且经过原点和A(2,1),求

第2篇：圆的一般方程

圆的一般方程

教学目标(一)学问教学点

使学生驾驭圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标

准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导

出圆的方程.

（二）实力训练点

使学生驾驭通过配方求圆心和半径的方法，娴熟地用待定系数法

由已知条件导出圆的方法，娴熟地用待定系数法由已知条件导出圆的

方程，培育学生用配方法和待定系数法解决实际问题的实力.

（三）学科渗透点

通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的

基础学问和基本方法打下坚固的基础.

教学重点：⑴能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;

（2）能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程.

教学难点：圆的一般方程的特点.

教学疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F>0.活动设

计

讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板.教学过程

（一）复习引入新课

前面，我们已探讨了圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2,现将绽开可

得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见，任何一个圆的方程都可以写成

x2+y2+Dx+Ey+F=0.请大家思索一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的

曲线是不是圆？下面我们来深化探讨这一方面的问题.复习引出课题

为“圆的一般方程”.

（二）圆的一般方程的定义

1.分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹

将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：

(1)

⑴当D2+E2-4F>0时，方程⑴与标准方程比较，可以看出方程

半径的圆；

⑶当D2+E2-4FV0时一，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而

它不表示任何图形.

这时，老师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、

法.

2.圆的一般方程的定义

团当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程.

(三)圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：

问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.

(2)

与圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0).

(3)

的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论.

当二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：⑴x2和y2

的系数相同，不等于零，即A=CwO；(2)没有xy项，即B=0；

(3)D2+E2-4AF>0.

它才表示圆.条件⑶通过将方程同除以A或C配方不难得出.老

师还要强调指出：

⑴条件(1)、⑵是二元二次方程⑵表示圆的必要条件，但不是充

分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程⑵表示圆的充要

条件.(四)应用与举例

同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也

含有三个系数D、E、F,因此必具备三个独立的条件，才能确定一个

圆.下面看一看它们的应用.

例

1求下列圆的半径和圆心坐标：(l)x2+y2-8x+6y=0,

(2)x2+y2+2by=0.

此例由学生演板，老师纠错，并给出正确答案：⑴圆心为(4,-3),

半径为5；(2)圆心为(0,-b),半径为|b|,留意半径不为b.

同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法,

这要娴熟驾驭.例

2求过三点0(0,0)、A(L1)、B(4,2)的圆的方程.解:设所求

圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由0、A、B在圆上，则有

解得：D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0.例

2小结:

1.用待定系数法求圆的方程的步骤：

⑴依据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)依据条件列

出关于a、b、r或D、E、F的方程；

⑶解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就

得要求的方程.

2.关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，

假如由已知条件简洁求圆心的坐标、半径或须要用圆心的坐标、半径

列方程的问题，往往设圆的标准方程；假如已知条件和圆心坐标或半

径都无干脆关系，往往设圆的一般方程.再看下例：

例

3求圆心在直线I：x+y=O上,且过两圆C10x2+y2-2x+lOy-24=O

和C2回x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.

(0,2).

设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为两点在所求圆上，且圆

心在直线I上所以得方程组为

故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10.

这时，老师指出：

(1)由已知条件简洁求圆心坐标、半径或须要用圆心的坐标、半径

列方程的问题，往往设圆的标准方程.

⑵此题也可以用圆系方程来解：设所求圆的方程为：

x2+y2-2x+10y-24+入(x2+y2+2x+2y-8)=0(入A1)整理并配方得：

由圆心在直线I上得入=-2.

将入=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为

x2+y2+6x-6y+8=0.此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留

下悬念.

的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线.此例请两位学生演

板，老师巡察，并提示学生:

⑴由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设

曲线上任一点M(x,y),由求曲线方程的一般步骤可求得；

⑵应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径,

画出图形.(五)小结

1.圆的一般方程的定义及特点；2.用配方法求出圆的圆心坐

标和半径；3.用待定系数法，导出圆的方程.

五、布置作业

1.求下列各圆的一般方程：

⑴过点A(5,1),圆心在点C(8,-3)；(2)过三点A(-l,5)、B(5,

5)、C(6,-2).

2.求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆

心在直线x-y-4=0上的圆的方程.

3.等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求

另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.

4.A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，

且使回APB/BPC,求动点P的轨迹.

作业答案：

1.(l)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=02.x2+y2-x+7y-32=0

3.所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(xw3,xw5),轨迹是以

4.以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a,0),

C(c,0)(a>0,c>0),P(x,y),可得方程为:

(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0.

当a=c时，则得x=O(ywO),即y轴去掉原点；当arc时,则得(x-

与x轴的两个交点.

第3篇：数学教案(圆的一般方程)

教学简案

圆的一般方程

1、学问目标：(工)在驾驭圆的标准方程的基础上，理解记忆圆

的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心和半径，驾驭

方程x22iy2[?.Dx2)Ey3FB0表示圆的条件；

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，

能用待定系数法求圆的方程。

(3)利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。

2、实力目标：通过对方程x2.?iy2，!Dx团EyZFM)表示圆的条件的探

究，培育学生探究、发觉及分析解决问题的实际实力。

3、情感目标：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提

高学生的整体素养，激励学生创新，勇于探究。

圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间互化，依据已

知条件确定方程中的系数D、E、Fo

对圆的一般方程的相识、驾驭和应用。讲授法，分析法。多媒

体协助教学

一、情景创设问题1：

在平面直角坐标系中，以C(a,b)为圆心，r为半径的圆的方程是

什么？

1问题2：

将圆的标准方程绽开整理后，能发觉哪些特征？（找寻新学问的

生长点）

结论：（多媒体显示）

将（x0a）2圉（丫曲）2就2绽开得x2By232axB2byHa2Hb2Hr2l?|0,我们发

觉任何圆都能表示为一个具有以下特征的x,y的二次方程：

（1）x2和y2项的系数同为1；

（2）不出现交叉乘积的二次项xy。

问题3：

x2团y202x34y06团0是圆的方程？若是，写出圆心坐标和半径；若

不是，则说明理由

二、探究探讨

二元二次方程x2By2aDx3Ey3FaO表示圆的条件是什么？

（创设一种鼓舞的宽松的氛围，让学生充分发表自己的观点，老

师适当引导。）

二元二次方程x2ay22jDx3Ey3FB0,通过配方后可以化为

D2E2D2HE234F（xffl）0（yta）0

224（1）当D2GJE2H4FE0时,方程表示以＞为半径的圆;

DE1冠）为圆心，D20E2EJ4F222（2）当D20E2H4咫0时，方程表示

一个点佃DE,C3）；22（3）当D2配224F加时，方程没有实数解，因而

方程不表示任何图形。板书：圆的一般方程：x2[2y2®Dx伽EyB甩0

(D23E234F0O)

2指出：(1)圆心佃DEI,0),半径D2QJE2MF；222(2)圆的标

准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程

形式上的特点；

(3)给出圆的一般方程，会写出它的圆心和半径；若给出相关

条件，则能求出圆的方程。

三、应用举例

例

1、推断下列方程是否表示圆，假如是，并求出各圆的半径和圆

心坐标：

(1)x2[3y2H6xQ|0；

(2)2x2B2y2B4x|38yai20O；

(3)2x2>2y2>]4x[?]8y[2jlOaO；(4)x2Hy2216x01000；

(5)x2H2y2l?)4xa8yai0o

(解略)

例

2、求以0(0,0),A(1,1),B(4,2)为顶点的三角形的外接圆方程，并求

出它的圆心和半径。

(分析：应用圆的一般方程x2[3y2出DxSIEyaFBO,将已知三点的坐

标代

入这个方程，得到一个三元一次方程组，解这个三元一次方程组,

即可求得

圆的一般方程，对圆的一般方程配方即可求半径长和圆心坐标。

同时，将这

种求圆的一般方程的方法称为"待定系数法〃。)

四、课内练习

1、判定下列方程中，哪些是圆的方程？假如是，求出它们的圆

心和半径：

(1)2x2出2y2a4x515210；

(2)x2；加2[33xH4阳12?0；

3(3)x2B2y204xB2y053O；

(4)Hx2t?j2y2a4xH2yal；

(5)3x2?：4xy3(x02y)2>4

2、求过三点A(2,2),B(5,3),C(3,-1)的圆的方程。

五、课内拓展

若圆x2Ky2aDxaEy3FaO与y轴相切于原点，则D,E,F应满意什

么条件？若圆与y轴相切呢？

学生探讨，各抒已见，相互补充，完善结论。

我们还可以接着探究：如当圆与x轴相切；过原点；原点在圆内；

等等状况时，系数D、E、F应满意的条件。

八、归纳小结

(老师引导，由学生总结一节课的收获，然后显示幻灯片同时老

师总结。)

五、布置作业

(1)课堂作业：《数学指导用书》第25页课外习题1(1)(2)

(3)(4)、

2、4o(2)课外作业：《数学指导用书》第26页课外习题

5、

6、7o

第4篇：圆的一般方程教案初中

圆的一般方程教案初中

数学基础模块下册8.3.2圆的一般方程

1.驾驭圆的一般方程，能推断一个二元二次方程是否是圆的方

程.2.能依据圆的一般方程求出圆心坐标和半径，会用待定系

数法求圆的方程.3.进一步培育学生数形结合的实力，综合应用学

问解决问题的实力.圆的一般方程.

二元二次方程与圆的一般方程的关系.

这节课主要接受讲练结合的方法.首先由圆的标准方程绽开得到

圆的一般方程，然后探讨一个二元二次方程满意什么样的条件才能表

示圆.最终通过例题，让学生初步感悟待定系数法和求曲线方程的一

般步骤.

1

第八章直线和圆的方程2

数学基础模块下册3

第八章直线和圆的方程4

圆的一般方程

一、教学目标

1.探讨并驾驭圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为

圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径.

2.能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题，解题

过程中能分析和运用圆的几何性质.

二、教学重点与难点

圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；依据详细条件选

用圆的方程为教学难点.

三、教学过程（一）复习并引入新课

师：请大家说出圆心在点（a,b）,且半径是r的圆的方程.生:

（X—a）2+（y—b）2=r2.

师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？

生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式.师：

直线方程的一般式是ax+by+c=O吗？

生a：是的.

生b：缺少条件a2+b2Ho.

师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式〃那样的“一

般方程”呢？

（书写课题：“圆的一般方程”的探求）（二）探究新知

师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一

下.大家知道，我们相识一般的东西，总是从特殊入手.如探求直线

方程的一般形式就是通过把特殊的公式（点斜式，两点式……）绽开整理

而得到的.想求圆的一般方程，怎么办？生：可仿照直线方程试一

试！把标准形式绽开，整理得

x2+y2—2ax—2by+a2+b2—r2=0.令d=-2a,e=-2b,f=a2+b2—

r2,有：x2+y2+dx+ey+f=0（*）

师：从（*）式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成（*）的

形式.那么能否下结论：x2+y2+dx+ey+f=0就是圆的方程？生a：不

确定.还得考虑：x2+y2+dx+ey+f=0能否写成标准形式.

生b：也可以像直线方程一样，要有确定条件.

师：那么考虑考虑怎样去找寻条件？

生：配方.

师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？

（放手让同学探讨，老师适当指导，然后由同学说，老师板书.）

22

将（*）式配方得:？d??e?d2+e2-4f?x+2??+?y+2??=4.（?）

1.当d2+e2—4f>0时，比较（回）式和圆的标准方程知：（*）式表示

以

?del?-2,-?

2??2d2+e2-4f为半径的圆；

2.当d2+e2-4f=0时，（*）式只有实数解x=-d2,y=-e2,

即（*）式表示一个点？d?-2,-e?

2??（有时也叫点圆）

3.当d2+e2-4f<0时，（*）式没有实数解，因而它不表示任何图

形.

老师总结：当d2+e2-4f>0时，方程x2+y2+dx+ey+f=0叫圆的一

般方程.

师：圆的一般方程有什么特点？

生a：是关于x、y的二元二次方程.

师：刚才生a的说法对吗？

生b：不全对.它是关于x、y的特殊的二元二次方程.师：特

殊在什么地方？

（通过争辩与举反例后，由老师总结）

师：1.x2,y2系数相同，且不等于零.2.没有xy这样的

二次项.

（追问）：这两个条件是"方程ax2+by2+dx+ey+f=0表示圆"的什么条

件？

生：必要条件.

师：还缺什么？

生：d2+e2-4f>0.

练习：推断以下方程是否是圆的方程：

①x2+y2—2x+4y—4=0②2x2+2y2—12x+4y=0

③x2+2y2—6x+4y—1=0

④x2+y2-12x+6y+50=0

三、应用举例

师：先请大家比较一下圆的标准方程(x—a)2+(y—b)2=r2与~*般

方程x2+y2+dx+ey+f=0在应用上各有什么优点？

生：标准方程的几何特征明显一一能看出圆心、半径；一般方程

的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程.

师：怎样推断用“一般方程〃表示的圆的圆心、半径.de?l生：

圆心？-?,r=d2+e2-4f.-,?22?

2生b：不用死记，配方即可.

师：两种形式的方程各有特点，我们应对详细状况作详细分析、

选择.四•例题讲解

例1.求过三点o(0,0),ml(l,l),m2(4,2)的圆的方程;

分析：由于o(0,0),ml(：L,l),m2(4,2)不在同一条直线上，因此经过

o,ml,m2三点有唯一的圆.

解：法一：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0,

回o,ml,m2三点都在圆上，

回o,ml,m2三点坐标都满意所设方程，把o(0,0),ml(L：L),m2(4,2)

代入所设方程，

?f=0?得：？d+e+f+2=0?4d+2e+f+20=0??d=-8?解之

得：？e=6?f=0?

所以，所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0.

法二：也可以求oml和0m2中垂线的交点即为圆心，圆心到o

的距离就是半径也可以求的圆的方程：x2+y2-8x+6y=0.

法三：也可以设圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=己将点的坐标代入

后解方程组也可以解得(x-4)2+(y+3)2=2

5五、小结

六、作业：

1.求下列各圆的圆心坐标和半径：

①x2+y2—2x—5=0

②x2+y2+2x—4y-4=0

③x2+y2+2ax=0

④x2+y2—2by—2b2=0

七、教学反思

4.1.2圆的一般方程

教材分析

本节内容是必修其次册第四章第一节圆的方程的其次课时内容.

圆的一般方程属于解析几何学的基础学问，是探讨二次曲线的起先,

对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在学问上

还是思想方法上都起着承前启后的作用.课时安排

本节内容用1课时的时间完成，主要探讨圆的一般方程的特征和

待定系数法求法，以及对.教学目标

重点：圆的一般方程及待定系数法求圆的方程.

难点：待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解.学问点:

圆的一般方程及一般方程的特点，待定系数法.

实力点：用代数方法探讨几何问题的实力、数形结合思想的理解

和待定系数法的运用.

教化点：培育学生勇于思索、主动探究学问、合作沟通意识、在

体验数学美的过程中激发学生的学习爱好.拓展点：利用坐标法思想

求解动点的轨迹方程.

教具打算多媒体课件、三角板、圆规

课堂模式学案导学、自主探究

一、复习引入

老师提问，学生回答.

问题L怎么求过点o(0,0),m(l,l)n(4,2)的圆的方程,并求这个圆

的半径长和圆心坐标？

生：待定系数法设圆的标准方程或求圆的圆心坐标和半径.圆的

方程是(x-4)+(y+3)=25,圆心坐标是(4,-3),半径是5.复习巩固加强记忆.

问题2:将上面求得的方程绽开，我们得到的是一个什么样的

方程？圆的方程都是这样的吗？22

x+y-2ax-2by+a+b-r=0,生：绽开得到的是x+y-8x+6y=0.圆的标准方

程绽开式是：

是二元二次方程.

由详细到一般，引导学生找到分析问题的方法和结论.

师：圆的方程总能表示成x+y+dx+ey+f=O这样的方程，那么方程

x+y+dx+ey+f=O表示的是圆吗？我们这节课就来探究这个问题.

使新学问建立在学生已有的学问之上，是旧学问的应用与延

长.2222222222

2二、探究新知

老师给出问题，引导学生分析，师生共同完成探讨.问题L方程

x+y-2x+4y+l=0,x+y-2x-4y+6=0,x+y-2x+4y+5=0分别表示什么图形？

利用详细问题探讨，降低探究问题的难度，按部就班地引导学生

完成探究，形成分类探讨、等价转化等数学思想.

老师提示配方法，配方和绽开由学生完成，老师最终展示结果,

再探讨得到的方程.

生：方程x+y-2x+4y+l=0可化为：(x」)+(y+2)=4,表示以(1,万为

圆心，2为半径长的圆；

方程x+y-2x-4y+6=0可化为：(x-l)+(y-2)=-l,不表示圆；

方程x+y-2x+4y+5=0•可化为：(x-l)+(y+2)=0,不表示圆.师：满意

方程、•的点的坐标是什么？

生：没有满意方程的点，满意方程•的点的坐标是(1,-2).师：那

么方程、•表示什么图形？

生：方程不能表示任何图形，方程•表示点

相识到方程x+y+dx+ey+f=O可能表示圆，但不确定，促使学生进

一步探究在什么条件下，确定表示圆；接受从特殊到一般，由详细到

抽象的认知方式.

问题2：方程x+y+dx+ey+f=O在什么条件下表示圆？

突破教学难点.

在问题1的探讨基础上，这个问题由学生分组探讨，独立完成,

老师赐予适当的指导.2222222222222222222222

d2e2d2+e2-4f生：把x+y+dx+ey+f=O配方得：(x+)+(y+)=2242

2师：方程是否表示圆与什么有关？

使问题化难为易，突破难点，也让学生充分了解分类思想在数学

中的重要地位，强化学生的视察、思索实力，之后得到圆的一般方程

的完整表述.

生：与d+e-4f的取值正负有关.22de,)

为半径的圆.22

dede22团当d+e-4f=0时一，方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个

点(-,-).2222回当d+e-4f>0时，方程表示以(-22

回当d+e-4f<0时一，方程没有实数解，因此它不表示任何图形.

22师：当d+e-4f>0时.，方程x+y+dx+ey+f=0叫做圆的一般方

程.2222

三、理解新知

思索1：圆的一般方程与一般的二元二次方程

ax+bxy+cy+dx+ey+f=O有什么关系？

接受类比法加深在探讨问题中由简洁到困难，由特殊到一般的化

归思想的相识.加深对圆的二次方程的结构相识.

生：二元二次方程ax+bxy+cy+dx+ey+f=O中a,c相等，b=0时就是

圆的一般方程.师：圆的一般方程的特点是：(1)x和y的系数相等,

且等于1；(2)没有xy项.归纳学问，.强调的概念的本质，深化学生

对圆的一般方程的理解.有利于学生理清学问脉络，让学生理解记忆

圆的一般方程的代数特征.

思索2：圆的一般方程与圆的标准方程各有什么特点？

通过让学生比较体会，，强化学生的视察、思索实力，提高学生

分析问题和解决问题的实力.生：圆的标准方程中能体现圆的圆心坐

标和半径长，圆的一般方程表明圆的方程是个特殊的二元二次方程.

师：圆的标准方程的几何特征明显，圆的一般方程的代数特征明显.

可以进一步加深学生用代数方法探讨几何问题的相识222222

四、运用新知

例1推断下列二元一次方程是否表示圆的方程？假如是，恳求

出圆的圆心及半径。

(1)x+y-6x=0(2)x+y-2ax-2ay+3a=0

(3)x+y+2ax-b=0(4)4x+4y-4x+12y+ll=0

进一步熟识圆的一般方程的特征和配方法转化为标准方程和标

准方程的几何特征.加深对所学学问的理解应用，使学生驾驭基础学

问.

本题由学生自己完成.2222222222

(x-3)+y=9,表示圆心坐标是(3,0),半径长是3的圆.解：(1)

方程可以变为：

(x-a)+(y-3a)=a.a=0时，方程表示点。0)；awOH寸，方程表示圆

心(2)方程可以变为：

坐标是(a,a),半径长是|a|的圆.22222

(x+a)+y=a+b.a+b=O时，方程表不点(0,0)；a+bwO时,方程表(3)

方程可以变为：

示圆心坐标是(-a,0),半径长是a+b的圆.(4)方程可以变为：

x+y-x+3y+

巩固练习：课本pl241

例2求过点oO0),m(l,l)n(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径

长和圆心坐标.

进一步熟识圆的一般方程，通过本题的练习，使学生驾驭待定系

数法求解圆的一般方程的步骤.让学生画出图象，结合引例的方法,

探讨确定用待定系数法求圆的一般方程.学生板书，教

222222222222111231=0,即：(x-)+(y+)2=-,方程不表示任何图形.4224

师订正.

解：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0

包0,0),b(l,l),c(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解,代

入方程得到：

?f=0??d+e+f+2=0即d=-8e=6f=o?4d+2e+f+20=0?

团所求圆的方程为x+y-8x+6y=0

团圆心坐标为(4,-3),r=

2222de、-=4、-=-32222师：还可以将x+y+dx+ey+f=O化为圆的标

准方程：(x-4)+(y+3)=25,求圆的圆心坐

标和半径长.

师：待定系数法求圆的方程确定设圆的一般方程吗？待定系数法

求圆的方程的大致步骤是什么？

强调方法的本质，加深学生对方法的理解应用.

生：团依据条件，选择是标准方程还是一般方程；回依据条件列出

关于a,b,r或d,e,f的方程组；国解

出a,b,r或d,e,f并将其代入其相关方程。

巩固练习：课本pl233

例3已知线段ab的端点b的坐标是(4,3),端点a在圆上(x+l)+y=4

运动，求线段ab的中点m的

轨迹方程.22

驾驭运用代入法求解曲线的轨迹方程的步骤，培育学生运用学问

的实力.

老师引导学生分析条件中的关系，老师板书，学生总结解题步骤.

师：求线段ab的中点m的轨迹方程是指引m的坐标(x,y)满意的

关系式.已知条件中知道哪个点的坐

标？

生：点a的坐标满意方程(x+l)+y=4.师：点a和点m有什么关系？

生:点m是线段ab的中点•师:可以利用中点坐标公式表示m,a,b

坐标之间的关系，利用点a的坐标满意的方程表示点m的坐标的关

系.

解：设点m的坐标是(x,y),点a的坐标是(xO,yO),由于点b的坐

标是(4,3),且m是线段ab的中点，22

所以有：x=x0+4y+4，y=0,即：x0=2x-4，y0=2y-3①22

2222因为点a在圆(x+l)+y=4上运动，所以点a的坐标满意方程

(x+l)+y=4

即：(x0+l)+y0=4@

把①代入②，W：(2x-4+l)+(2y-3)=4整理，得(x-)2+(y-)2=l

所以，点m的轨迹是以(2222323233,)为圆心，半径长是1的圆.22

师：这个求点的轨迹的方法叫代入法，利用与所求点有关系的点

的坐标所满意的方程求解轨迹方程.求点的轨迹的一般步骤是：国建立

适当的坐标系，用有序数对(x,y)表示曲线上随意一点m的坐标；回

写出适合条件的点m的集合；回列出方程f(x,y)=O；国化方程f(x,y)=O

为最简形式.

总结归纳，把方法系统化，形成实力.

巩固练习：课本pl2

43五、课堂小结

师：本节课学习了圆的一般方程，探讨了的哪些问题，用到哪些

思想方法？

生：学习了圆的一般方程x+y+dx+ey+f=O的代数特征.探讨了圆的

一般方程和标准方程的互化，待定系数法求解圆的一般方程和代入法

求解曲线的轨迹方程.

启发引导学生进行归纳整理，培育学生宏观驾驭学问的实力，有

利于学生理清本节课的重难点，深化对圆的一般方程的理解，帮助学

生从感性相识上升为理性相识，把学问转化为实力，形成数学方法和

数学思维.2

2六、布置作业

1,5,81.必做作业：课本pl44a

,3选作作业：课本pl24bl

巩固基础学问，设置分层作业，满意每一位学生，增加学生学习

数学的愿望和信念.2.课后练习自主学习丛书4.1.

2七、教后反思本节课通过学生的主体参与，使学生深切体

会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对圆的一般方程相识的

再次深化，归纳总结用待定系数法解题的基本步骤，提炼分类探讨,

化归转化，数形结合等数学思想.但是，对于点的轨迹方程的求解未

能讲解透彻，使得学生有些一知半解，应当在直线的方程和圆的方程

的教学中加强学生对坐标法的相识.

第5篇：直线的一般方程教学设计

“直线方程的一般式”教学设计

无锡市堰桥中学周志峰

一、教材分析

1、教材的地位和作用

直线的一般方程是苏教版必修2其次章2.L2的内容，在这之前

学生已经学习了直线方程的四种特殊形式，初步相识到这四种形式运

用的限制性，这为直线的一般方程的提出供应了必要条件，同时也反

映了直线一般方程在刻画直线时所起到的一般性意义。从另一个角度

讲，本节课的学习是对初中二元一次方程学问的系统性的探讨，通过

构建平面上的直线与x,y的二元一次方程一一对应关系，意识到方程

与图形的关系，这也为学习圆锥曲线方程等学问打基础.具有承上启

下的作用.

2、教学目标

（1）驾驭直线方程一般式Ax®ByKBO（A,B不同时为0）的特征,

特殊表示斜率不存在与斜率为0时与A、B间的对应关系

（2）理解直线方程五种形式之间的内在联系及所能代表直线的

区分，从整体上把握直线方程

（3）会从方程的角度探讨直线，探究直线和二元一次方程关系,

形成代数与几何相结合的数学思想方法

3、教学重点、难点

（1）教学重点：驾驭直线的一般式方程，能从一般式中得到直

线的相关性质；充分理解直线一般式方程的优越性。（2）教学难

点：直线一般式方程的引入

二、学情分析

学生已经学习了直线方程的四种形式，对各种形式有了一个初步

的相识，但在解题实力特殊是抽象思维实力方面比较欠缺，本节课的

学习须要学生有较强的探究实力与分类探讨的思想意识，学生学起来

有一点困难，须要老师的有力引导。

三、教法与学法

（一）教法：

本节课以问题链为思索索引，对提出的问题进行分析、探讨、归

纳，在整个活动中体现以老师为主导，以学生为主体的教学理念，培

育学生视察、分析、归纳、应用的实力

（二）学法：

通过本节课的学习，让学生感受到自主探究学习的学习方式对于

驾驭学问点，形成系统学问的重要性，逐步驾驭自主获得学问的学习

方法。

四、教学过程

（一）创设问题情境

问题L已知直线I上的两点A?a?l,3瓦B（2a,4）（a为常数，求直

线I的方程）学生回答：

工、两点式：但3xB（ag）B4田32a0（am1）1仅加21）ag问题2：以上两

种形式形式上能统一吗？有没有限制范围？

2、点斜式:y03W学生回答：x0Ba01Hyta2aB4BO,限制范围为a团1,

即直线X02不包括在内

问题3：直线x[32是否符合方程x30a[?ll?y田2aM00,说明什么问

题？学生回答：符合，说明方程x击a伽1出窕2a团430包含了斜率不存

在的直线，更具普遍性，弥补了其它形式的缺陷。

问题4：直线的四种形式是否都可以化成类似于

的形式，能突破全部的限制范围吗？

学生回答：可以化为AxZByBSlO的形式，能突破斜率不存在，截

距不存在的限制

（二）新知归纳

学问点1：平面内的每一条直线都可以用关于x,y的二元一次方

程来表示？学问点2：每一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直

线吗？老师给出二元一次方程的一个例子，如2x[33y2）坨0,将其转化

成直线方程的其它四种形式，利用适当的形式得到相关性质，并从二

元一次方程中得到直线相关性质的一些结论和公式，再拓展到

（不同时为）的更加一般化的情形，求斜率、截距等相

Ax3ByHQ?]0A/B0

关性质，从而产生对相关系数的探讨，得到学问点：

（不同时为）

AxBByHC30A/B0

当BZ0时-，表示斜率为一AC,在y轴上的截距为伍的直线；特殊

地，当BBA0O时、表示垂直于y轴的直线

当呢0且A加时一，表示垂直于x轴的直线疝团

（三）新知应用

CA例

1、求直线I:3x?5yai5加的斜率以及它在x轴、y轴上的截距，并

作图

例

2、设直线I的方程为x®my32mz6国0,依据下列条件分别确定m

的值（1）直线I在x轴上的截距为俗3；（2）直线I的斜率为1

练习：苏教版必修2课本p.87.的练习1-5

（四）课堂小结

（1）直线方程的五种形式及其特点.（2）直线的一般式方程

的形式特征。（3）本节课学习了哪些数学思想方法

（五）作业：苏教版必修2课本p.87—88.的感受理解

2、

3、

4、

5、

10、11

第6篇：圆的标准方程获奖教学设计

圆的标准方程教学设计

教材分析

本节内容位于曲线的方程和方程之后，是求详细曲线的方程。同

时，本节课的探讨方法为以后学习椭圆、双曲线、抛物线供应了一个

基本模式，因此，可以把圆看作是圆锥曲线的前奏曲。学情分析

圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又驾驭了

求曲线方程的一般方法的基础上进行探讨的.但由于学生学习解析几

何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够娴熟，在

学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的实力，合作沟通的

意识等方面有待加强.教法分析

为了充分调动学生学习的乐观性，本节课接受“问题一探究〃教学

法，用环环相扣的问题将探究活动层层深化，使老师总是站在学生思

维的最近进展区上.学法分析

通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通

过求圆的标准方程，理解必需具备三个独立的条件才可以确定一个圆.

通过应用圆的标准方程，熟识用待定系数法求解的过程.依据上述分

析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标:

教学目标

基础目标：（1）理解圆的标准方程的推导；

（2）驾驭圆的标准方程。会依据圆的方程，求圆心和半径；反

之，会依据圆心和半径写圆的标准方程；

（3）依据不同条件建立圆的标准方程，以及运用圆的标准方程解

决一些简洁的实际问题；

（4）进一步熟识求曲线方程的方法。

提高目标：培育学生数形结合，由特殊到一般的数学思想；加深

对待定系数法的理解；促进学生自主的、制造性的学习。

体验目标：通过利用已学学问学会分析、解决问题，品尝胜利的

喜悦，增加学生学习数学的爱好，并激发学生学习数学的自信念。

教学重点与难点

⑴重点：圆的标准方程的求法及其应用.⑵难点：会依据不同的

已知条件求圆的标准方程

教学过程

一、复习引入

1、课前复习填写学案（学案见附录）

老师设问：①求曲线方程的一般步骤

②圆的定义

③两点间的距离公式

学生回答问题，为圆的标准方程的推导作好打算。

2、创设情景引入新课

老师打算一圆拱模型和卡车模型，作卡车穿过拱桥的试验。

老师设问：装有货物的卡车能否穿过拱桥？与那些因素有关？

学生通过视察，找到与圆拱有关，引入新课：探讨圆的方程

二、探究学习

(-)圆的标准方程

1、老师预设：让学生画圆

学生活动：学生各画一个圆并比较，让学生亲身感知确定圆的要

素，说明圆心和半径确定一个圆；

2、老师预设：学生画出以(2,3)为圆心，2为半径的圆；圆

确定了，圆的方

程也就确定了。

学生推导该圆的方程

老师在学生基础上梳理思路，强调建立方程的依据。

3、由特殊到一般，得出以(a,b)为圆心，半径为r的圆的

标准方程

(x-a)2+(y-b)2=r2

老师引导学生视察方程，分析、归纳出方程的特征。

方程特征：(1)二元二次方程，x,y的系数均为1；

(2)含有a,b,r三个参数；

(3)已知方程可以找出圆心和半径。

4、随堂练习

老师预设：练习1找出下列圆的圆心和半径

(1)x2+(y+l)2=16(2)(2x-2)2+(2y+4)2=4(3)(x+l)2+(y+2)2=m2

学生练习，依据圆的方程找圆心和半径，完成后，学生作答。老师

据学生状况点评。

老师预设：练习2写出下列各圆的方程

(1)、圆心在原点，半径为r

(2)、经过在点(5,1),圆心在点(8,-3)

学生完成练习并自评，初步体验求圆的标准方程，关键是找到圆

心和半径。

(二)例题分析

老师预设：在练习2基础上巩固提高，依据不同条件求圆的标准

方程

例1写出圆心在点(1,3),且与x轴相切的圆的方程。

学生先独立思索，老师在作提示，强调数形结合的思想。

老师口头作简洁变式，将X轴改为Y轴。学生说出答案，再由特

殊到一般。变式:求以C(1,3)为圆心，和3x-4y-7=0相切的圆。

学生独立完成变式，师作简要点评。

老师预设：已知切线可求圆的方程，反之，已知圆的方程，如何

来求切线的方程呢？

例2已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆上一点M(3,4)的切

线方程。学生活动：学生先独立思索，再和其他同学探讨，看能找

出几种解法。老师活动：老师巡察，了解学生状况，参与到学生的

探讨中。

老师请学生展示各自解法，并对学生的解法作出评价，从中提炼

出渗透的数学思想和方法，如：数形结合，待定系数等。

老师预设：一题多变，变更点的位置，若点在坐标轴上。

变式1：已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆上一点M(5,0)

的切线方程。

学生活动：作图干脆写出切线的方程

老师预设：由特殊到一般，依据以上两问启发学生分类探讨。

变式2:已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)

的切线方程。学生活动：写出切线方程。老师归纳分类探讨的依据。

老师预设：若圆上的点改在圆外，切线有几条？怎样求？

变式3：已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆外一点M(1,7)

的切线方程。变式4：已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆外一点

M(5,3)的切线方程。学生活动：思索问题

师强调，待定系数时留意斜率存在。课后思索题：解决本节引

入提出的问题

三、小结：

1、驾驭圆的标准方程

2、运用圆的标准方程解决一些简洁问题

四、课堂练习

1、圆(2x-2)2+(2y-4)2=(-3)2的圆心为-------------------，半径

为

2、圆心在x轴上且与y轴相切，半径为2的圆的标准方程为

3、圆心为(1,2)且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为