2024年初二上册数学期末考试专项复习25平方根（提高）知识讲解

2024年初二上册数学期末考试专项复习平方根（提高）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】【高清课堂：389316平方根，知识要点】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、（2015秋•张家港市校级期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案．【答案与解析】解：根据题意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8；故a=5，b=2；又∵2＜＜3，∴c=2，∴a+b+c=5+2+2=9，∴9的平方根为±3．【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用．举一反三：【变式】已知2－1与－＋2是的两个不同的平方根，求的值.【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2互为相反数.解：当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，所以＝2、为何值时，下列各式有意义？(1)；(2)；(3)；(4)．【答案与解析】解：(1)因为，所以当取任何值时，都有意义．(2)由题意可知：，所以时，有意义．(3)由题意可知：解得：．所以时有意义．(4)由题意可知：，解得且．所以当且时，有意义．【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．举一反三：【变式】已知，求的算术平方根．【答案】解：根据题意，得则，所以＝2，∴，∴的算术平方根为．类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．(1)；(2)．【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)；(2)．【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．类型三、利用平方根解方程4、（2016春·沾益县校级期中）求下列方程中的值.（1）（2）【答案与解析】解：（1）∵∴∴∴（2）∵∴∴∴∴【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的：（1）若，则＝______；（2），则＝______；（3）若则＝______；（4）若，则＝______．【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）；（4）±2.类型四、平方根的综合应用【高清课堂：389316平方根：例5】5、已知、是实数，且，解关于的方程．【答案与解析】解：∵、是实数，，，，∴，．∴－3，．把－3，代入，得－＋2＝－4，∴＝6．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出、的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．举一反三：【高清课堂：389316平方根：例5练习】【变式】若，求的值．【答案】解：由，得，，即，．①当＝1，＝－1时，．②当＝－1，＝－1时，．【高清课堂：389316平方根：例6】6、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3(＞0)，则宽为2，依题意得...∵＞0，∴.∴长方形纸片的长为.∵50＞49,∴.∴,即长方形纸片的长大于20.由正方形纸片的面积为400,可知其边长为20,∴长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答:小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.举一反三：【变式】（2015春•台安县月考）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？【答案】解：设篮球场的宽为xm，那么长为m，由题意知，所以x2=225，因为x为正数，所以x==15，又因为=900＜1000，所以按规定在这块空地上建一个篮球场．立方根【学习目标】1.了解立方根的含义；2.会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】【高清课堂：389317立方根、实数，知识要点】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.【典型例题】类型一、立方根的概念1、（2016春•吐鲁番市校级期中）下列语句正确的是（）A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0B．一个数的立方根不是正数就是负数C．负数没有立方根D．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0【思路点拨】根据立方根的定义判断即可.【答案】D；【解析】A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或-1，故错误；B．一个数的立方根不是正数就是负数，错误，还有0；C．负数有立方根，故错误；D．正确.【总结升华】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义.举一反三：【高清课堂：389317立方根实数，例1】【变式】下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．是的立方根C．立方根等于本身的数只有0和1 D．【答案】D.类型二、立方根的计算【高清课堂：389317立方根实数，例2】 2、求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）【答案与解析】解：（1）（2）（3）（4）（5）【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】计算：（1）______；（2）______；（3）______．（4）______.【答案】（1）－0.2；（2）；（3）；（4）.类型三、利用立方根解方程3、（2015春•北京校级期中）（x﹣2）3=﹣125．【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可．【答案与解析】解：（x﹣2）3=﹣125，可得：x﹣2=﹣5，解得：x=﹣3．【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x﹣2看成一个整体．举一反三：【变式】求出下列各式中的：（1）若＝0.343，则＝______；（2）若－3＝213，则＝______；（3）若＋125＝0，则＝______；（4）若＝8，则＝______．【答案】（1）＝0.7；（2）＝6；（3）＝－5；（4）＝3．类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积.【答案与解析】解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为，可列方程解得设烧杯内部的底面半径为，可列方程,解得6.答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长4.【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗)【答案】.实数与近似数—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解无理数及实数的意义；2.了解无理数的概念、实数的分类,无理线段的作法；3.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度；4.体会近似数在生活中的实际应用.【要点梳理】【高清课堂：389317实数，知识要点】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.（3）注意是一个有理数，因为它是一个分数，所有的分数都是有理数.=3.1428571428571……，切不可因为它的值接近，就说它是无理数.要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类①按定义分：实数②按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.无理线段的作法无理线段可以在数轴上表示出来，一般是把被开方数拆成m2+n2的形式，例如：①，特点是被开方数可化为一个完全平方数+1的形式；②，特点是被开方数可以化成两个平方数的和的形式；③，特点是被开方数可以化成几个平方数的和的形式.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.要点五、近似数及精确度1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是大于5还是小于5,4舍5入.2.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：①精确度是指近似数与准确数的接近程度.②精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米.【典型例题】类型一、实数概念 1、指出下列各数中的有理数和无理数：【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数；π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有无理数有……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，.举一反三：【高清课堂：389318实数复习，巩固练习3】【变式】下列说法错误的是（）①无限小数一定是无理数；②无理数一定是无限小数；③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.A．①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】C；类型二、实数大小的比较2、比较和0.5的大小．【答案与解析】解：作商，得．因为，即，所以．【总结升华】若，均为正数，则由“，，”分别得到结论“，，，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.举一反三：【变式】比较大小：；；；；；；.【答案】＜；＞；＜；＜；＜；＞；＜.类型三、实数的运算3、化简：(1)；(2)；(3).【答案与解析】解：；；.【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质同样适用.举一反三：【变式】（2015春•北京校级期中）计算：．【答案】解：原式=4+﹣﹣﹣4=﹣．4、（2016春·双城市期末）已知满足：，求的值．【思路点拨】根据已知等式，利用非负数的性质求出x，y，z的值，代入原式计算即可得到结果．【答案与解析】解：∵，∴∴，解得：，则原式=．【总结升华】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．举一反三：【变式】已知，求的值．【答案】解：由已知得，解得．∴＝.类型四、近似数及精确度【高清课堂：近似数356850典型例题1】5、用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数.(1)0.0198(精确到0.001)；(2)0.34082(精确到千分位)；(3)64.49(精确到个位)；（4）（精确到0.01）；【答案与解析】精确到哪一位，应观察它的下一位是进还是舍.（1）0.0198≈0.020；（2）0.34082≈0.341；（3）64.49≈64；（4