2023-2024学年山东省青岛市李沧区、胶州市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省青岛市李沧区、胶州市八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化、推动绿色发展的战略举措.2023年，中国新能源汽车产销量占全球比重超过60%，交出亮眼成绩单.下列新能源汽车标志是中心对称图形的是(

)A. B.

C. D.2.若a>b，则下列式子不一定成立的是(

)A.a+4>b+4 B.23.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(−2,1)，B(−1,3)，将线段AB平移后得到线段AA.−1 B.1 C.2 D.4.如图，直线y=kx+7经过点A(−A.x>−2

B.x<−2

5.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CFA.152°

B.132°

C.124°6.房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠B=60°，BC=2，点D是AA.3

B.2

C.5

7.关于x的不等式组x>ax>1的解集为x>A.a≥1 B.a>1 C.8.如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AB′C′，点P是yA.(0,−12)

B.(

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。9.等腰三角形一底角为50°，则顶角的度数为______度．10.一个关于x的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集为______．11.如图，线段AB与CD相交于点O，且∠BOD=60°，分别将AB和AC平移到CC′，B

12.风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞(yào)”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史.如图是一款风筝骨架的简化图，已知AB=AD，BC=C

13.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA

14.已知关于x的方程3x+a=x−815.国际航班免费托运行李箱的尺寸通常限制为长、宽、高三边之和不超过158厘米.某厂家生产符合免费托运的行李箱，已知行李箱的高为74厘米，长与宽的比为9：5，则行李箱的宽的最大值为______厘米．16.如图，直线AB/​/CD，∠AEF的平分线与∠EFC的平分线交于点P，与CD交于点

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题4分)

已知：如图，∠MON及边ON上一点A．

求作：在∠MON内部的点P，使得P18.(本小题13分)

(1)解不等式：−2x−4≤x+8；

(19.(本小题5分)

是否存在实数x，使得x−1<2x20.(本小题6分)

为深入践行绿色发展理念，引导师生尊重自然、爱护自然，在第46个植树节来临之际，某校组织师生积极开展了“′植‘此青绿，共‘树’未来”主题植树活动.学校决定用不超过1800元的费用购买甲、乙两种树苗共60棵，已知甲种树苗每棵36元，乙种树苗每棵25元，则学校最多可以购买多少棵甲种树苗？21.(本小题8分)

如图，在△ABC中，∠B=62°，∠BAC=76°，D为BC上一点，DE22.(本小题8分)

如图，在△ABC中，∠A=90°，∠BCA=60°，AC=6cm，动点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动；动点E同时从点C出发以2cm/s的速度向点23.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与AC边的延长线交于点E，∠E=24.(本小题10分)

2024年是中国农历甲辰龙年，某购物中心有A，B两种龙年吉祥物出售.B种每个售价比A种多2元；购买20个A种龙年吉祥物和30个B种龙年吉祥物共需花费360元．

(1)A，B两种吉祥物每件售价各是多少？

(2)某爱心团队计划购买A种吉祥物送给特教学校的学生们作为新年礼物，且购买数量超过50个，购物中心给出两种优惠方案：

方案一：每个均按原售价的8折优惠；

方案二：前30个按原售价付款，超过30个的部分每个按原售价的5折优惠．

爱心团队选择哪种方案购买更合算？

(3)若购买A，B两种龙年吉祥物共60个，且购买A种的数量不多于25.(本小题10分)

【定义新知】

给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”．

例如：不等式P：x>4是Q：x>2的子集．

同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”．

例如：不等式组M：x>2x>1是不等式组N：x>−2x>−1的子集．

【新知应用】

(1)请写出不等式x<2的一个子集______；

(2)若不等式组A：x+1>4x−1<5，不等式组B：2x−1>1x>−3，则其中不等式组______是不等式组M：x>2x>1的“子集”(填：A或B)；

(3)若关于x的不等式组x>ax>−1是不等式组x>2x>1的“子集”，则a的取值范围是______；

(4)答案和解析1.【答案】B

【解析】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，

选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，

故选：B．

根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转1802.【答案】C

【解析】解：A.∵a>b，

∴a+4>b+4，故本选项不符合题意；

B.∵a>b，

∴2a>2b，故本选项不符合题意；

C.当c=0时，ac2=bc2，故本选项符合题意；

D.∵a>b，c2+1≠03.【答案】D

【解析】解：∵B(−1,3)平移后得到点B′的坐标为(1,1)，

∴向右平移2个单位，向下平移2个单位，

∴a=−2+4.【答案】A

【解析】解：由图象可得：当x>−2时，kx+7>4，5.【答案】D

【解析】解：∵EF是BC的垂直平分线，

∴FB=FC，

∴∠FBC=∠ECF=28°，

∵BD平分6.【答案】A

【解析】解：∵BC⊥AC，∠B=60°，BC=2，

∴∠ACB=90°，∠A=30°，

∴AB=2BC=4，

∵点D是AB的中点，且DE⊥AC，

∴∠A7.【答案】C

【解析】解：∵关于x的不等式组x>ax>1的解集为x>1，

∴a的取值范围是：a≤8.【答案】C

【解析】解：由图可知A(1,1)，B(3,2)，

将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AB′C′，

则B′(2,−1)，

点A关于y轴对称的点A′(−1,1)，

连接A′B′交y轴于点P，

则点P即为所求的点，

设直线A′B′的解析式为：y=kx+b，

则1=−k+b−1=9.【答案】80

【解析】解：底角=50°，那么顶角=180°−2×50°=80°．10.【答案】x≤【解析】解：∵3处是实心圆点，且折线向左，

∴这个不等式的解集为x≤3．

故答案为：x≤311.【答案】a

【解析】解：∵将AB和AC平移到CC′，BC′的位置，

∴AB=CC′，AB//CC′，

∴∠CC12.【答案】2000

【解析】解：在△ABC与△ADC中，

AB=ADBC=CDAC=AC，

∴△ABC≌△ADC(SSS)，

∴∠BAO=∠DAO，

在△A13.【答案】2【解析】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C连接AA′，

∴AC=CA′，∠BAC=∠CA′B′，

∴∠CAA′=∠CA′A=4514.【答案】a>【解析】解：∵3x+a=x−8，

∴3x−x=−8−a，

∴2x=−8−a，

解得x=15.【答案】30

【解析】解：158−74=84(厘米)，

84×59+5=30(16.【答案】12

【解析】解：∵EM平分∠AEF，

∴∠AEM=∠FEM，

∵AB/​/CD，

∴∠AEM=∠FME，

∴∠FEM=∠FME，

∴FE=FM17.【答案】解：如图所示，点P即为所求．

【解析】依据点P到∠MON两边的距离相等，可得点P在∠MON的角平分线上；依据PA⊥ON，可得点P在过点A且与ON垂直的垂线上．作出∠MO18.【答案】解：(1)∵−2x−4≤x+8，

∴−2x−x≤8+4，

−3x≤12，

则x≥−4；

(2)∵2x−14≥−x【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；

(2)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；

19.【答案】解：不存在实数x，使得x−1<2x，且x2+3<−2，理由如下：

根据题意x−1<2x①x2+3<−2②，【解析】解不等式组x−1<20.【答案】解：设学校购买x棵甲种树苗，则购买(60−x)棵乙种树苗，

根据题意得：36x+25(60−x)≤1800，

解得：x≤【解析】设学校购买x棵甲种树苗，则购买(60−x)棵乙种树苗，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1800元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出21.【答案】解：△AFD是直角三角形．

理由如下：

∵AB=AD，

∴∠ADB=∠B=62°，

∴【解析】先根据等腰三角形的性质得出∠ADB=∠B，再由三角形内角和定理求出∠BAD的度数，进而得出∠DA22.【答案】解：(1)由题意得AD=t，CE=2t，

当t=2时，AD=2，CE=4，

∴CD=AC−AD=6−2=4，

过E作EH⊥AC于H，

在Rt△EHC中，∠EHC=90°，∠BCA=60°，

∴∠CEH=30°，

∴CH=2，EH=23，

∴△DEC的面积为12CD⋅EH=12×4×23=43；

【解析】(1)过E作EH⊥AC于H，利用t表示出CD以及CE的长，然后在直角△EHC中，利用直角三角形的性质求得23.【答案】(1)证明：∵AD垂直平分BC，

∴AB=AC，

∵EF⊥AB，∠E=30°，

∴∠BAC=90°−∠E=60°，

∴△ABC为等边三角形；

(2)BF与AE的数量关系是：BF=16AE，理由如下：

过点C作CH⊥EF于H，如下图所示：

设BF=a，AB=x，则AF=AB−BF=x−a，

由(1)可知：△ABC为等边三角形，【解析】(1)根据AD垂直平分BC得AB=AC，再根据EF⊥AB，∠E=30°得∠BAC，由此即可得出结论；

(2)过点C作CH⊥EF于H，设BF=a，AB24.【答案】解：(1)设A种吉祥物每件售价a元，则B种吉祥物每件售价(a+2)元．

根据题意，得20a+30(a+2)=360，

解得a=6，

6+2=8(元)，

∴A种吉祥物每件售价6元，B种吉祥物每件售价8元．

(2)设购买数量为x个，按方案一购买需要y1元，按方案二购买需要y2元．

根据题意，y1=0.8×6x=4.8x，y2=6×30+0.5×6(x−30)=3x+90．

y1−y2=4.8x−(3x+90)=1.8【解析】(1)设A种吉祥物每件售价a元，则B种吉祥物每件售价(a+2)元，根据题意列方程并求解即可；

(2)设购买数量为x个，按方案一购买需要y1元，按方案二购买需要y2元，分别写出y1、y2关于x的表达式，再比较二者大小即可；

(3)设购买A种吉祥物m个，则购买B种吉祥物(60−m)个，根据题意列关于m的一元一次不等式并求其解集，设购买25.【答案】x<1(答案不唯一)

A

a≥2【解析】解：(1)∵x<1的任意一个解都是不等式x<2的一个解，

∴不等式x<2的一个子集为：x<1.(答案不唯一)．

故答案为：x<1.(答案不唯一)．

(2)解不等式组A得：3<x<6；

解不等式组B得：x>1；

解不等式组M得：x>2．

∵不等式组A的任意一个解，都是不等式组M的一个解，