苏科版九年级上第一次月考数学试卷含解析 (六)

九年级(上)第一次月考数学试卷

一、精心选一选(本题满分30分，共有10道小题，每小题3分)

1.用配方法解一元二次方程x2-4x=5时，此方程可变形为()

A.(x+2)2=1

B.(x-2)2=1

C.(x+2)2=9

D.(x-2)2=9

2.某厂1月份生产原料a吨，以后每个月比前一个月增产x%,3月份生产原料的吨数是

()

A.a(1+x)2

B.a(1+x%)2

C.a+a*x%

D.a+a*(x%)2

3.如图，OO的直径AB=10,E在。O内，且OE=4,则过E点所有弦中，最短弦为()

A.4

B.6

C.8

D.10

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

5.中，M为篇的中点，则下列结论正确的是()

A.AB>2AM

B.AB=2AM

C.AB<2AM

D.AB与2AM的大小不能确定

6.如图，将OO沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧前上一点，则NAPB

A.45°

B.30°

C.75°

D.60°

7.如图，直径为10的。A经过点C和点O,点B是y轴右侧。A优弧上一点，NOBC=30。,

则点C的坐标为（）

8.如图，△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为

直径的圆与BC的位置关系是（）

A.相交

B.相切

C.相离

D.无法确定

9.如图所示，小范从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为a的方向行走，走

到场地边缘B后，再沿着与半径0B夹角为a的方向折向行走.按照这种方式，小范第五

次走到场地边缘时处于弧AB上，此时ZAOE=48。，则a的度数是（）

A.60°

B.51°

C.48°

D.76°

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6,0）、B（0,6）,00的半径

为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作。。的一条切线PQ,Q为切

点，则切线长PQ的最小值为（）

A.V7

B.3

C.372

D.V14

二、填空题（本大题共8小题，每小题.2分，共16分.）

11.若方程（m-1）x2-4满足条件.

12.正十二边形每个内角的度数为.

13.己知。O的半径为r,弦AB=0r,则AB所对圆周角的度数为.

14.若圆锥的侧面展开图是半径为6cm的半圆，则此圆锥的底面面积为

15.如图，AD为。O的直径，NABC=75°,且AC=BC,则NBED=.

B

16.如图，AB是。O的直径，C、D是OO上的点，NCDB=20。，过点C作。。的切线交

AB的延长线于点E,则NE=，.

17.如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A、P

之间拉一条长为12cm的无伸缩性细线，一端固定在点A,握住另一端点P拉直细线，把它

全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为.

18.如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF,其中C、D的坐标分别为（1,0）

和（2,0）.若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这

个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45,2）的是点.

三、解答题（共10小题，满分84分）

19.解下列方程：

（1）x2-4x=0

(2)x2-8x-10=0(配方法)

(3)X2+6X-1=0

(4)2X2+5X-3=0.

20.如图，已知△ABC,AC=3,BC=4,ZC=90°,以点C为圆心作OC,半径为r.

(1)当r取什么值时，点A、B在OC外.

(2)当r在什么范围时，点A在0C内，点B在0C外.

21.已知:如图,AB为00的直径，点C、D在。。上，且BC=6cm,AC=8cm,NABD=45-(1)

求BD的长；

(2)求图中阴影部分的面积.

22.在同一平面直角坐标系中有6个点：

A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(-2,-3),F(0,-4).

(1)画出△ABC的外接圆。P,则点D与。P的位置关系；

(2)△ABC的外接圆的半径=,△ABC的内切圆的半径=.

(3)若将直线EF沿y轴向上平移，当它经过点D时，设此时的直线为h.判断直线h与

23.如图，AB是。。的直径，弦CD_LAB于点E,且CD=24,点M在。0上，MD经过

圆心0,联结MB.

(1)若BE=8,求。。的半径；

(2)若NDMB=ND,求线段0E的长.

24.如图，有两条公路0M,0N相交成30。，沿公路OM方向离两条公路的交叉处。点80

米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，

已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉

机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？

25.如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2,腰长为3,一个底角为60。.正△ABC的边长为

1,它的一边AC在MN上，且顶点A与M重合.现将正△ABC在梯形的外面沿边MN、

NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动.

(1)请在所给的图中，画出顶点A在正△ABC整个翻滚过程中所经过的路线图；

(2)求正△ABC在整个翻滚过程中顶点A所经过的路径长；

(3)求正△ABC在整个翻滚过程中顶点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、

PQ所围成图形的面积S.

0

26.动手操作:

0

图①图②图③图④图⑤

如图①，把长为1、宽为h的矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A，与点__________重合,

点B，与点重合；

探究发现：

如图②，圆柱的底面周长是40,高是30,若在圆柱体的侧面绕一圈丝线作装饰，从下底面

A出发，沿圆柱侧面绕一周到上底面B,则这条丝线最短的长度是；

实践与应用：

如图③，圆锥的母线长为4,底面半径为与，若在圆锥体的侧面绕一圈彩带做装饰，从圆锥

3

的底面上的点A出发，沿圆锥侧面绕一周回到点A.求这条彩带最短的长度是多少？

拓展联想：

如图④，一颗古树上下粗细相差不大，可以看成圆柱体.测得树干的周长为3米，高为18

米，有一根紫藤自树底部均匀的盘绕在树干上，恰好绕8周到达树干的顶部，你能求出这条

紫藤至少有多少米吗？

27.如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正

半轴上，NBAD=60。，点A的坐标为(-2,0).

(1)求C点的坐标；

(2)求直线AC的函数关系式；

(3)动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照AfDfC玲BfA的顺序在菱

形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒.求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的

圆与对角线AC相切？

28.已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O(0,0)、A(5,0)、B(m,

2)、C(m-5,2).

(1)问：是否存在这样的m,使得在边BC上总存在点P,使NOPA=90。？若存在，求出m

的取值范围；若不存在，请说明理由.

(2)当NAOC与NOAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.

-江苏省无锡市江阴市周庄中学九年级(上)第一次月考

数学试卷

一、精心选一选(本题满分30分，共有10道小题，每小题3分)

1.用配方法解一元二次方程x2-4x=5时，此方程可变形为()

A.(x+2)2=1

B.(x-2)2=1

C.(x+2)2=9

D.(x-2)2=9

考点：解一元二次方程-配方法.

专题：配方法.

分析：配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍

数.

解答：解：x2-4x=5,x?-4x+4=5+4,(x-2)2-9.故选D.

点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.

2.某厂1月份生产原料a吨，以后每个月比前一个月增产x%,3月份生产原料的吨数是

()

A.a(1+x)2

B.a(1+x%)2

C.a+a»x%

D.a+a*(x%)2

考点：由实际问题抽象出一元二次方程.

分析：1月到3月发生了两次变化，其增长率相同，故由1月份的产量表示出2月份的产量，

进而表示出3月份的产量.

解答：解：月份产量为a吨，以后每个月比上一个月增产x%,

,2月份的产量是a(1+x%),

则3月份产量是a(1+x%)2.

故选B.

点评：本题考查了代数式的列法，涉及的知识是一个增长率问题，关键是看清发生了两次变

化.

3.如图，0O的直径AB=10,E在OO内，且OE=4,则过E点所有弦中，最短弦为()

A.4

B.6

C.8

D.10

考点：垂径定理；勾股定理.

分析：根据,勾股定理求出CE,根据垂径定理求出CD=2CE,即可求出答案.

解答：解：OC=1AB=3X10=5,

22

22=3

在RtAOEC中，CE={12_n2=^5-4，

OE±CD,OE过O,.

CD=2CE=6,

即最短弦是6,

故选B.

点评:本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,解此题的关键是求出CE长和得出CD=2CE.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

分析：利用确定圆的条件、内心的性质、等弧的定义及四点共圆的知识分别判断后即可确定

正确的选项.

解答：解：①直径是弦，正确；

②经过三个点一定可以作圆，错误；

③三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等，错误；

④半径相等的两个半圆是等弧，正确；

⑤菱形的四个顶点在同一个圆上，错误；

故选B.

5.中，M为杷的中点，则下列结论正确的是（）

A.AB>2AM

B.AB=2AM

C.AB<2AM

D.AB与2AM的大小不能确定

考点：圆心角、弧、弦的关系；三角形三边关系.

分析：以及等弧所对的弦相等，以及三角形中两边之和大于第三边，即可判断.

解答：解：连接BM.

•••M为标的中点,

AM=BM,

AM+BM>AB,

AB<2AM.

故选C.

点评：本题考查了等弧所对的弦相等，以及三角形中两边之和大于第三边，正确理解定理是

关键.

6.如图，将OO沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心0,点P是优弧彘上一点，则NAPB

B.30°

C.75°

D.60°

考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）.

专题：计算题；压轴题.

分析：作半径OC_LAB于D,连结OA、OB,如图，根据折叠的性质得OD=CD,则OD=1

2

OA,根据含30度的直角三角形三边的关系得到NOAD=30。，接着根据三角形内角和定理可

计算出NAOB=120。，

然后根据圆周角定理计算NAPB的度数.

解答：解：作半径OC_LAB于D,连结OA、OB,如图，

,将OO沿.弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O,

OD=CD,

OD=1OC=AOA,

22

・•.ZOAD=3rO°,

而OA=OB,

/.ZCBA=30°,

ZAOB=120°,

ZAPB=lzAOB=60°.

2

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这

条弧所对的圆心角的一半.也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质.

7.如图，直径为10的0A经过点C和点O,点B是y轴右侧0A优弧上一点，NOBC=30。,

则点C的坐标为（）

考点：圆周角定理；坐标与图形性质；含30度角的直角三角形.

分析：首先设0A与x轴另一个的交点为点D,连接CD,由NCOD=90。，根据90。的圆周

角所对的弦是直径，即可得.CD是。A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆

周角相等，即可求得NODC的度数，继而求得点C的坐标.

解答：解：设OA与x轴另一个的交点为点D,连接CD,

•••ZCOD=90°,

CD是。A的直径，

即CD=10,

ZOBC=30°,

ZODC=30°,

OC=1CD=5,

2

二点C的坐标为：（0,5）.

故选A.

点评：此题考查了圆周角定理与含30。角的直角三角形的性质.此题难度适中，注意掌握辅

助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用.

8.如图，△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为

直径的圆与BC的位置关系是（）

A.相交

B.相切

C.相离

D.无法确定

考点：直线与圆的位置关系.

专题：压轴题.

分析：首先根据三角形面积求出AM的长，进而得出直线BC与DE的距离，进而得出直线

与圆的位置关系.

解答：解：过点A作AM_LBC于点M,交DE于点N,

AMxBOACxAB,

AM=^^=4.8,

10

••,D、E分别是AC、AB的中点，

DEIIBC,DE=」BC=5,

2

AN=MN=£M,

2

MN=2.4,

以DE为直径的圆半径为2.5,

r=2.5>2.4,

「•以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交.

故选：A.

B

M

点评：本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理比较出BC到圆心的距离与半径的

关系是解题的关键.

9.如图所示，小范从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径0A夹角为a的方向行走，走

到场地边缘B后，再沿着与半径0B夹角为a的方向折向行走.按照这种方式，小范第五

次走到场地边缘时处于弧AB上，此时NAOE=48。，则a的度数是（）

B.51°

C.48。

D.76°

考点：圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质.

分析：连接0D,要求a的度数，只需求出NAOB的度数，根据已知条件，易证

ZAOB=ZBOC=ZCOD=ZDOE,所以可以求出a的度数.

解答：解：连接OD,

ZBAO=ZCBO=a,

ZAOB=ZBOC=ZCOD=ZDOE,

・・,ZAOE=48°,

ZAOB=—__=78。，

4

2

故选B.

点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组

成的三角形是等腰三角形等知识是解答此题的关键.

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(6,0)、B(0,6),的半径

为2(O为坐标原点)，点P是直线AB上的一动点，过点P作OO的一条切线PQ,Q为切

B.3

C.372

D.V14

考点：切线长定理.

分析：连接0P.根据勾股定理知PQ2=Op2-OQ2,当OP_LAB时，线段OP最短，即线段

PQ最短.

解答：解：连接OP、OQ.

PQ是。O的切线，

OQ±PQ；

根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2,

•.•当POLAB时，线段PQ最短；

又•••A(-6,0)、B(0,6),

OA=OB=6,

/.AB=6A/2

OP=1AB=3&,

2

•••OQ=2,

PQ=,0p2

点评：本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点.运用切线

的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关

问题.

二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分.)

11.若方程(m-1)X2-4满足条件m£l.

考点：一元二次方程的定义.

分析：一元二次方程的一般形式是ax?+b-1x0

解得mwl.

点评：本题容易忽视的问题是m-1x0.

12.正十二边形每个内角的度数为150。.

考点：多边形内角与外角.

分析：首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解.

解答：解：正十二边形的每个外角的度数是：螫二=30。，

12

则每一个内角的度数是：180。-30。=150。.

故答案为：150。.

点评：本题考查了多边形的计算，掌握多边形的外角和等于360度，正确理解内角与外角的

关系是关键.

13.已知。O的半径为r,弦AB=J》，则AB所对圆周角的度数为45。或135°.

考点：圆周角定理；等腰直角三角形.

专题：计算题.

分析：根据题意画出相应的图形，过。作OC_LAB,D、E为圆周上的点，连接AD,BD,

AE,BE,NAEB与NADB为弦AB所对的圆周角，由垂径定理得到C为AB的中点，表

示出AC与BC,由半径为r,得到三角形AOC与三角形BOC都为等腰直角三角形，可得

出NAOC与NBOC为45度，求出NAOB为90度，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角

的2倍，即可求出AB所对圆周角的度数.

解答：解：根据题意画出相应的图形，

过O作OC_LAB,D、E为圆周上的点，连接AD,BD,AE,BE,

可得C为AB的中点，即AC=BC=1AB=Y2,

_22

OA=OB=r,AC=BC=2^r,

2

△AOC与4BOC都为等腰直角三角形，

ZAOC=ZBOC=45°,

ZAOB=90°,

ZAEB=45°,ZADB=135°,

则AB所对的圆周角的度数为45。或135°.

故答案为：45。或135。

点评：此题考查了垂径定理，圆周角定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂

径定理是解本题的关键.

14.若圆锥的侧面展开图是半径为6cm的半圆，则此圆锥的底面面积为犯.

考点：圆锥的计算.

专题：计算题.

分析：利用圆的周长公式和弧长公式求解.

解答：解：设底面半径为R,

则底面周长=2RTI=Ax2nx6,

2

R=3cm.

圆锥的底面积为9n.

故答案为9n.

点评：本题利用了圆的周长公式和弧长公式求解.解题的关键是牢记公式.

15.如图，AD为00的直径，NABC=75。，且AC=BC,则_NBED=135°.

考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系.

分析：由AD为。。的直径，NABC=75。，且AC=BC,可求得NABD=90。，ZD=ZC=30°,

继而可得NCBD=15。，由三角形内角和定理，即可求得答案.

解答：解：:AD为。。的直径，

ZABD=90°,

AC=BC,ZABC=75°,

ZBAC=ZABC=75°,

ZC=180°-ZABC-ZBAC=30",ZCBD=ZABD-ZABC=15°,

ZD=ZC=30°,

ZBED=180°-ZCBD-ZD=135°.

故答案为：135。.

点评：此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理.此题难度不大,

注意掌握数形结合思想的应用.

16.如图，AB是00的直径，C、D是00上的点，ZCDB=20°,过点C作00的切线交

AB的延长线于点E,则NE=血.

考点：切线的性质.

分析：首先连接0C,由切线的性质可得OC_LCE,又由圆周角定理，可求得NC0B的度数,

继而可求得答.案..

解答：解：连接0C,

•••CE是。0的切线，

OC±CE,

即NOCE=90",

•••ZC0B=2zCDB=40°,

ZE=90°-ZCOB=50".

故答案为：50。.

点评：此题考查了切线的性质与圆周角定理.此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意

数形结合思想的应用.

17.如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A、P

之间拉一条长为12cm的无伸缩性细线，一端固定在点A,握住另一端点P拉直细线，把它

全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为地.

考点：弧长的计算.

分析：图中每个扇形的圆心角是60。，利用弧长公式即可求解.

解答：解：图中扇形的圆心角是60。，则点P运动的路径长是：60.X2+60兀X4+

180180

60兀X6*60兀X8+60兀X10+60兀><12=］如

180180180180-,

故答案是：14K.

点评：本题考查了弧长公式，正确理解弧长公式，确定每个弧的半径是关键.

18.如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF,其中C、D的坐标分别为（1,0）

和（2,0）.若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这

个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45,2）的是点

考点：正多边形和圆；坐标与图形性质；旋转的性质.

专题：压轴题；规律型.

分析：先连接AD,过点F,E作FG_LA，D,E，Hd_A，D,由正六边形的性质得出A，的坐标,

再根据每6个单位长度正好等于正六边形滚动一周即可得出结论.

解答：解：如图所示：

当滚动到AzD±x轴时，E、F、A的对应点分别是E\F\A\连接A，D,点F\E，作FG_LA，D,

E,H±A,D,

•••六边形ABCDEF是正六边形，

ZAFG=3O°,

/.A，G=JAF=。，同理可得HD=X

222

A'D=2,

D（2,0）

」.A，（2,2）,OD=2,

正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，

从点（2,2）开始到点（45,2）正好滚动43个单位长度，

6

.•.恰好滚动7周多一个，

.•.会过点（45,2）的是点B.

故答案为：B.

点评：本题考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质，根据题意作出辅助线，利用正六边形

的性质求出A，点的坐标是解答此题的关键.

三、解答题(共10小题，满分84分)

19.解下列方程：

(1)x2-4x=0

(2)x2-8x-10=0(配方法)

(3)X2+6X-I=0

(4)2X2+5X-3=0.

考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法.

专题：计算题.

分析：(1)利用因式分解法解方程；

(2)利用配方法解方程；

(3)利用求根公式法解方程；

(4)利用因式分解法解方程.

解答：解：(1)x(x-4)=0,

所以xi=0,X2=4；

(2)x2-8x+16=10+16

(x-4)2=26,

x-4=+^26>

xi=4+V26-X2=4-^/26；

(3)X2+6X-1=0

A----6-±-2-7-1-0

2

x=-3±V10_

所以xi=-3+A/10>X2=-3-V10；

(4)(x+3)(2x-1)=0

x+3=0或2x-1=0

所以xi=-3,X2=—.

2

点评：本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0,再把左边通过因

式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两

个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次

方程的问题了(数学转化思想).也考查了求根公式法和配方法解一元二次方程.

20.如图，已知△ABC,AC=3,BC=4,ZC=90°,以点C为圆心作。C,半径为r.

(1)当r取什么值时，点A、B在OC外.

(2)当r在什么范围时，点A在0C内，点B在0C外.

考点：点与圆的位置关系；勾股定理.

分析：（1）要保证点在圆外，则点到圆心的距离应大于圆的半径，根据这一数量关系就可得

到r的取值范围；

（2）根据点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内和点到圆心的距离应大于圆的半径，

则点在圆外求得r的取值范围.

解答：解：（1）当0<r<3时，点A、B在0c外；

（2）当3<r<4时，点A在。C内，点B在。C外.

点评：能够根据点和圆的位置关系得到相关的数量关系.

21.已知:如图,AB为00的直径，点C、D在。O上，且BC=6cm,AC=8cm,NABD=4在

求BD的长；

（2）求图中阴影部分的面积.

考点：圆周角定理；勾股定理；扇形面积的计算.

分析：（1）由AB为0O的直径，得到NACB=90。，由勾股定理求得AB,0B=5cm.连0D,

得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；

（2）根据S阴影=S扇彩-SAOBD即可得到结论.

解答：解：（1）：AB为。。的直径，

ZACB=90。，

BC=6cm,AC=8cm,

AB=10cm.

0B=5cm.

连0D,

•••OD=OB,

ZODB=ZABD=45".

ZBOD=90".

BD={oB2+0D2=5&cm.

(2)S阴彩=S南形-SAOBD=-^-H*52--1x5x5=——^2cm2.

36024

点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的

面积，连接0D构造直角三角形是解题的关键.

22.在同一平面直角坐标系中有6个点：

A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(-2,-3),F(0,-4).

(1)画出△ABC的外接圆QP,则点D与OP的位置关系点在圆上;

(2)△ABC的外接圆的半径=、而，△ABC的内切圆的半径=江泥.

(3)若将直线EF沿y轴向上平移，当它经过点D时，设此时的直线为h.判断直线h与

OP的位置关系，并说明理由.

考点：圆的综合题.

专题：综合题.

分析：(1)分别找出AC与BC的垂直平分线，交于点P,即为圆心，求出AP的长即为圆

的半径，画出圆P,如图所示，求出D到圆心P的距离，与半径比较即可做出判断；

(2)求出三角形ABC的外接圆半径，内切圆半径即可；

(3)利用待定系数法求出直线EF的解析式，利用平移性质及题意确定出直线h解析式，

求出圆心P到h的距离d,与半径r比较，即可得出直线与圆的位置关系.

解答：解：(1)画出△ABC的外接圆0P,如图所示，

DP=22=r,

1•■7(-2+1)+(-2)^5=

.♦.点D与。P的位置关系是点在圆上；

(2)△ABC的外接圆的半径=遂，△ABC的内切圆的半径=2+4；2'=3-娓;

(3)设直线EF解析式为y=kx+b,

-2k+b=-3

把E和F坐标代入得:

b二-4

解得：k=--,b=-4,

2

,1•直线EF解析式为y=-lx-4,

由平移性质及题意得：直线h解析式为y+2=-1(x+2),即x+2y+6=0,

2

圆心P(0,-1)到直线的距离d=上空1=3近＜后r,

V55

直线h与。P相交.

点评：此题属于圆的综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离

公式，点与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系，熟练掌握公式及性质是解本题的关键.

23.如图，AB是。0的直径，弦CD_LAB于点E,且CD=24,点M在。O上，MD经过

圆心O,联结MB.

(1)若BE=8,求。0的半径；

(2)若NDMB=ND,求线段OE的长.

考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理.

分析：（1）根据垂径定理求出DE的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径；

（2）根据OM=OB,证出NM=NB,根据NM=ND,求出ND的度数，根据锐角三角函数

求出0E的长.

解答：解：（1）设。。的半径为x,则OE=x-8,

CD=24,由垂径定理得，DE=12,

在RtAODE中，OD2=DE2+OE2,

x2=（=NB,

ZDOE=2zM,

.又NM=ND,

ZD=30。，

在RSOED中,1■-DE=12,ND=30°,

OE=4-\/3-

点评：本题考查的是垂径定理、勾股定理和圆周角定理的综合运用，灵活运用定理求出线段

的长度、列出方程是解题的关键，本题综合性较强，锻炼学生的思维能力.

24.如图，有两条公路OM,ON相交成30。，沿公路OM方向离两条公路的交叉处。点80

米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，

已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉

机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？

考点：点与圆的位置关系；作图一应用与设计作图.

专题：应用题.

分析：过点A作AC_LON,求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一

台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到

D点噪音才消失.

解答：解：如图，

过点A作AC_LON,

•••ZMON=30°,OA=80米,

AC=40米，

当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB=50,

由勾股定理得：BC=30,

第一台拖拉机到D点时噪音消失，

所以CD=30.

由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校

没有噪音影响.

所以影响时间应是：90+5=18秒.

答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒.

点评：本题考查的是点与圆的位置关系，根据拖拉机行驶的方向，速度，以及它在以A为

圆心，50米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对小学产生噪音的时间.

25.如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2,腰长为3,一个底角为60。.正△ABC的边长为

1,它的一边AC在MN上，且顶点A与M重合.现将正△ABC在梯形的外面沿边MN、

NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动.

(1)请在所给的图中，画出顶点A在正△ABC整个翻滚过程中所经过的路线图；

(2)求正△ABC在整个翻滚过程中顶点A所经过的路径长；

(3)求正△ABC在整个翻滚过程中顶点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、

PQ所围成图形的面积S.

考点：圆的综合题；等腰梯形的性质；弧长的计算；旋转的性质.

分析：(1)根据将正AABC在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚翻滚到有一个顶点与

Q重合即停止滚动，转动过程中始终是以半径为1的弧，据此画出圆弧即可.

(2)根据翻滚路线结合弧长公式求出即可；

(3)根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可.

解答：解：(1)如图所示：

(2)点A所经过的路线长：120^Xlx4+18QKX1=Hn；

1801803

(3)如图所示:

根据正三角形边长为1,则高AD为：cos3(T=包，则AD=1

AC2

故面积为：［＜卜近，

22

围成的图形的面积：3个圆心角为120。的扇形+2个正三角形的面积+一个半圆面积，

（根据要求正△ABC在整个翻滚过程中顶点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、

PQ所围成图形的面积5,则最后一段弧没有和PQ围成闭合的图形，故可以不求这部分面

积）

所以点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S为：

点评：本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题,

解题的关键是正确地得到点A的翻转角度和半径.

26.动手操作:

点巳重合；

探究发现：

如图②，圆柱的底面周长是40,高是30,若在圆柱体的侧面绕一圈丝线作装饰，从下底面

A出发，沿圆柱侧面绕一周到上底面B,则这条丝线最短的长度是强；

实践与应用：

如图③，圆锥的母线长为4,底面半径为微，若在圆锥体的侧面绕一圈彩带做装饰，从圆锥

的底面上的点A出发，沿圆锥侧面绕一周回到点A.求这条彩带最短的长度是多少？

拓展联想：

如图④，一颗古树上下粗细相差不大，可以看成圆柱体.测得树干的周长为3米，高为18

米，有一根紫藤自树底部均匀的盘绕在树干上，恰好绕8周到达。树干的顶部，你能求出这

条紫藤至少有多少米吗？

考点：圆锥的计算；圆柱的计算.

专题：计算题.

分析：容易得出点A与点A，，B与B，重合；

矩形的对角线即为这条丝线最短的长度，由勾股定理即可得出答案；

连接AA，，根据弧长公式可得出圆心角的度数，由勾股定理可得出AA，；

将大树近似的看作圆柱将其展开，可得出紫藤的最短长度.

解答：解：动手操作：易得点A与点A，，B与B，重合；

探究与发现：圆柱的底面周长是矩形的长，

.•,圆柱的底面周长是40,高是30,

.•.矩形的对角线为50,

这条丝线最短的长度是50,

实践与应用：

连接AA\

・底面周长为练，二弧长=更2£&="，

31803

n=120唧NAOA'=120°,

ZA=30°,

作OBJLAA，于B,在RtAOBA中，

OA=4,OB=2,

AB=2«,

AA，=4通

拓展联想：

方法一：如图，紫藤的长为：+（3X8）2=30米;

方法二：紫藤绕树干的周长为：J（号）2+32=当

则8周的周长为：8xK=30米，

4

故答案为A,B,50.

点评：本题考查了圆锥的计算、圆柱的计算以及其实际应用，综合性较强难度偏大.

27.如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正

半轴上，NBAD=60。，点A的坐标为（-2,0）.

（1）求C点的坐标；

（2）求直线AC的函数关系式；

（3）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照AfD玲CfB玲A的顺序在菱

形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒.求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的

圆与对角线AC相切？

考点：圆的综合题.

分析：（1）在RSAOD中，根据0A的长以及NBAD的正切值，即可求得0D的长，从而

得到D点的坐标，然后由菱形的邻边相等和对边相互平行来求点C的坐标；

（2）根据点A、C的坐标，利用待定系数法可求得直线AD的解析式.

（3）由于点P沿菱形的四边匀速运动一周，那么本题要分作四种情况考虑：

在火必OAD中，易求得AD的长，也就得到了菱形的边长，而菱形的对角线平分一组对角，

那么NDAC=ZBAC=ZBCA=NDCA=30°；

①当点P在线段,AD上时，若OP与AC相切，由于NPAC=30。，那么AP=2R（R为OP的

半径），由此可求得AP的长，即可得到t的值；

②③④的解题思路与①完全相同，只不过在求t值时，方法略有不同.

解答：解：（1）1•点A的坐标为（-2,0）,ZBAD=60°,ZAOD=90°,

OD=OA»tan60o=2A/3>AD=4,

点D的坐标为（0,2«）,

又；AD=CD,CDIIAB,

C（4,2炳）;

（2）设直线AC的函数表达式的y=kx+b（k#0）,

•••A（-2,0）,C（4,2遂），

（0=-2k+b

2V3=4k+b

故直线AC的解析式为：y=2^x+