湖北省黄石市德才中学高三数学文上学期期末试卷含解析

湖北省黄石市德才中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（） A．（） B． （1，2） C． （，1） D． （2，3）参考答案：考点： 函数零点的判定定理．专题： 计算题；压轴题．分析： 由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．解答： 解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．点评： 本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．2.用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为

（）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.设全集，集合，，则=（

）

A．

B．

C．

C．参考答案：C4.给出下列四个命题：（1）若α＞β且α、β都是第一象限角，则tanα＞tanβ；（2）“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R，使得＜0”；（3）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则（?p）∨q为真命题；（4）函数是偶函数．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：（1）若α＞β且α、β都是第一象限角，比如α=，β=，则tanα=tanβ，故（1）错；（2）这是含有一个量词的命题的否定，否定的规则是改变量词再否定结论，正确；（3）已知命题p：所有有理数都是实数，是真命题，q：正数的对数都是负数，为假命题，则（?p）∨q为假命题，不正确；（4）函数是奇函数，不正确．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．5.已知偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上根的个数是（

）A.个

B.个

C.个

D.参考答案：B由题意可得，.即函数为周期为的周期函数，又是偶函数，所以，在同一坐标系内，画出函数，的图象，观察它们在区间的交点个数，就是方程在上根的个数，结合函数图象的对称性，在轴两侧，各有个交点，故选.6.对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：……仿此，若的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（

）A．7

B．8

C．9

D．10参考答案：B7.已知函数，若在区间（0，16）内随机取一个数x0，则f（x0）＞0的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】由题意可得总的区间长度，解不等式可得满足条件的区间长度，由几何概型的概率公式可得．【解答】解：令f（x）=0，解得：x=4，故在区间（0，16）内随机取一个数x0，则f（x0）＞0的概率p==，故选：D．【点评】本题考查几何概型，涉及不等式的解法，属基础题．8.已知R，条件p：“”，条件q：“”，则p是q的

（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：【答案解析】A解析：由得，所以充分性满足，当a=b=1时，但条件不成立，所以必要性不满足，则选A.【思路点拨】判断充要条件时，应先明确条件和结论，由条件能推出结论，充分性满足，由结论能推出条件，则必要性满足..9.如果cosα=，且α是第四象限的角，那么cos（α+）=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵cosα=，且α是第四象限的角，∴sinα=﹣=﹣，∴cos（α+）=cosαcos﹣sinαsin=+×=．故选：C．10.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎡）为

A.48

B.64

C.80

D.120参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等比数列{an）满足an+1+an=3?2n﹣1，n∈N*，设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn＞kan﹣2对一切n∈N*恒成立，则实数k的取值范围为．参考答案：（﹣∞，）【考点】8K：数列与不等式的综合．【分析】根据等比数列的定义推知公比q=2，然后由等比数列的通项公式得到an=3?2n﹣1，n∈N*．进而根据等比数列的前n项和公式求得Sn===3（2n﹣1）；最后由不等式的性质和函数的单调性来求k的取值范围即可．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵an+1+an=9?2n﹣1，n∈N*，∴a2+a1=9，a3+a2=18，∴q===2，∴2a1+a1=9，∴a1=3．∴an=3?2n﹣1，n∈N*．则Sn===3（2n﹣1），∴3（2n﹣1）＞k?3?2n﹣1﹣2，∴k＜2﹣．令f（n）=2﹣，则f（n）随n的增大而增大，∴f（n）min=f（1）=2﹣=，∴k＜．∴实数k的取值范围为（﹣∞，）．故答案是：（﹣∞，）．【点评】本题考查了数列与不等式的综合．根据已知等式an+1+an=3?2n﹣1和等比数列的定义以及等比数列的前n项和公式推知an=3?2n﹣1，n∈N*．Sn=3（2n﹣1）是解题的关键，考查计算能力．12.已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为、、、F，延长与交于点P，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为_____________．参考答案：13.已知关于x的实系数一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＜b）的解集为R，则的最小值是．参考答案：8略14.设x,y的最小值为

。参考答案：答案:

15.函数f（x）=x3﹣3x2+1的单调减区间为．参考答案：（0，2）略16.已知等比数列满足，且，，成等差数列，则的最大值为

．参考答案：1024由已知得；

当或时得最大值.【点睛】本题有以下几个关键之处：1.利用方程思想求得首项和公比，进而求得通项；2.利用转化化归思想将问题转化为二次函数最值问题；3.本题易错点是忽视的取值是整数，而误取.

17.已知向量夹角为，且，则参考答案：试题分析：对两边平方得，即，解得.考点：向量运算.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设的最小值为k.（1）求实数k的值；（2）设m，，，求证：.参考答案：（1）；（2）见详解.【分析】(1)将函数表示为分段函数，再求其最小值.(2)利用已知等式构造出可以利用均值不等式的形式.【详解】（1）当时，取得最小值，即.（2）证明：依题意，，则.所以，当且仅当，即，时，等号成立.所以.【点睛】本题考查求含绝对值函数的最值，由均值不等式求最值.含绝对值的函数或不等式问题，一般可以利用零点分类讨论法求解.已知或(是正常数，)的值，求另一个的最值，这是一种常见的题型，解题方法是把两式相乘展开再利用基本不等式求最值.19.（本小题满分14分）已知函数R),其中.(1)若,求曲线在点的切线方程;（6分）(2)若在区间上，>0恒成立，求a的取值范围.（8分）参考答案：解:(1)当a=1时3;……

1分f′(x)′(2)=6.……

3分所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3=6(x-2),……

5分即.

……

6分(2)f′1).令f′(x)=0,解得x=0或.

……

7分以下分两种情况讨论:①若则.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

当时,f(x)>0等价于

即

……

9分解不等式组得-5<a<5.因此.……

10分②若a>2,则.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

当时,f(x)>0等价于

即

…

12分解不等式组得或.因此2<a<5.

…

13分综合①和②,可知a的取值范围为.……

14分20.已知圆O：x2+y2=4与x轴交于A，B两点，点M为圆O上异于A，B的任意一点，圆O在点M处的切线与圆O在点A，B处的切线分别交于C，D，直线AD和BC交于点P，设P点的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）曲线E与y轴正半轴交点为H，则曲线E是否存在直角顶点为H的内接等腰直角三角形Rt△GHK，若存在，求出所有满足条件的Rt△GHK的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）求得M的切线方程，求得C和D点坐标，联立求得P点坐标，即可求得曲线E的方程；（2）设直线GH和KH方程，联立分别求得丨GH丨，丨HK丨，由丨GH丨=丨HK丨，分类讨论，即可求得k的值，求得两条直角边所在直线方程．【解答】解：（1）设M（x0，y0），则M处的切线为x0x+y0y=4，则，，则P：，则E：=1（y≠0），曲线E的方程=1（y≠0）；（Ⅱ）由于直线GH不与坐标轴平行或垂直，可设lGH：y=kx+1，则lKH：y=﹣x+1，联立，整理得（1+4k2）x2+8kx=0，由于△＞0恒成立，设两个根为x1，x2，则丨GH丨=|，同理，丨HK丨=，|由丨GH丨=丨HK丨知：|k|（k2+4）=4k2+1，得：①k＞0时，得（k﹣1）（k2﹣3k+1）=0得：k=1或k=②k＜0时，得（k+1）（k2+3k+1）=0得：k=﹣1或k=综上，共分三种情况两条直角边所在直线方程为：y=±x+1；两条直角边所在直线方程为：y=x+1；两条直角边所在直线方程为：y=x+1．【点评】本题考查椭圆的标准方程，点轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式，考查计算能力，分类讨论思想，属于中档题．21.

已知函数。

（I）当a=－3时，求的解集；

（Ⅱ）当f（x）定义域为R时，求实数a的取值范围参考答案：（Ⅰ）时，①当时②当时，不成立③当时综上，不等式的解集为……5分（Ⅱ）即恒成立，，当且仅当时取等，，即的取值范围是．……10分

略22.（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：

甲厂

乙厂

9

0

3

9

6

5

8

1

8

45

6

9

0

3

1

50

3

2

1

0

3

规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品.（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数的分布列及其数学期望；（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求