湖南省常德市大南湖联校高三数学理摸底试卷含解析

湖南省常德市大南湖联校高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的单调递增区间是(

)A.(-∞,-1]

B.［2,+∞)

C.[,2]

D.[-1,]参考答案：C略2.设全集U={},A={1,2,3,4,},B={4,5,6,7,8},则A∪B)=

（A）{9}(B){1,2,3}

(C){5,6,7,8}(D){1,2,3,4,5,6,7,8}参考答案：A略3.已知a、b、c、d是实数，e是自然对数的底数，且eb=2a﹣1，d=2c+3，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为(

) A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：B考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式．专题：导数的概念及应用．分析：由题意可得点（a，b）在y=ln（2x﹣1）图象上，点（c，d）在直线y=2x+3上，平移直线y=2x+3到与y=ln（2x﹣1）相切，切点到直线y=2x+3距离的平方即为所求．解答： 解：由题意可得点（a，b）在ey=2x﹣1即函数y=ln（2x﹣1）图象上，同理可得点（c，d）在直线y=2x+3上，对y=ln（2x﹣1）求导数可得y′=，令=2可解得x=1，代入y=ln（2x﹣1）可得y=0，∴曲线y=ln（2x﹣1）上的点（1，0）到直线y=2x+3的距离为=∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）2=5故选：B点评：本题考查函和导数，涉及转化的思想和距离公式的几何意义，属中档题．4.在平行四边形ABCD中，设,，,,则下列等式中不正确的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.若直线平分圆,则的最小值是(

)A．1

B．5

C．

D．参考答案：D略6.若函数是R上的奇函数，且对于则的解集是（

）A、

B、

C、

D．参考答案：A略7.如图，抛物线y2=2px（p＞0）和圆x2+y2﹣px=0，直线l经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于A，B，C，D四点，|AB|?|CD|=2则p的值为（）A． B．1 C．

D．2参考答案：D【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，设A（x1，y1），D（x2，y2），讨论若直线的斜率不存在，则直线方程为x=，求出A，B，C，D的坐标，求得AB，CD的长，解方程可得p；若直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x﹣），代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合抛物线的定义和圆的定义，可得p的方程，即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=2px焦点F（，0），准线方程为x=﹣，圆（x﹣）2+y2=p2的圆心是（，0）半径r=，设A（x1，y1），D（x2，y2），过抛物线y2=4px的焦点F的直线依次交抛物线及圆（x﹣）2+y2=p2于点A，B，C，D，A，D在抛物线上，B，C在圆上①．若直线的斜率不存在，则直线方程为x=，代入抛物线方程和圆的方程，可直接得到ABCD四个点的坐标为（，p），（，），（，﹣）（，﹣p），所以|AB|?|CD|=p?p=2，解得p=2；②．若直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x﹣），因为直线过抛物线的焦点（，0），不妨设A（x1，y1），D（x2，y2），由抛物线的定义，|AF|=x1+，|DF|=x2+，把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得k2x2﹣（pk2+2p）x+p2k2=0，由韦达定理有x1x2=p2，而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，所以|BF|=|CF|=r=p，从而有|AB|=|AF|﹣|BF|=x1，|CD|=|DF|﹣|CF|=x2，由|AB|?|CD|=2，即有x1x2=2，由p2=2，解得p=2．故选：D．【点评】本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，属于中档题．8.设a＝log34，，则a，b，c的大小关系是(

)A.a>b>c

B.a>c>b

C.b>c>a

D.c>b>a参考答案：A9.（5分）（2015?陕西一模）设x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围为（）A．[﹣3，3]B．[﹣3，﹣2]C．[﹣2，2]D．[2，3]参考答案：【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z的几何意义为区域内的点D（﹣2，0）的斜率，由图象知DB的斜率最小，DA的斜率最大，由，解得，即A（﹣1，2），则DA的斜率kDA=，由，解得，即B（﹣1，﹣2），则DB的斜率kDB=，则﹣2≤z≤2，故的取值范围是[﹣2，2]，故选：C【点评】：本题主要考查线性规划和直线斜率的基本应用，利用目标函数的几何意义和数形结合是解决问题的基本方法．10.已知幂函数的图像经过点，则的值为A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（文科）已知函数正项等比数列满足，则

．参考答案：12.在的展开式中常数项是

。（用数字作答）参考答案：4513.如图所示，作一个边长为1的正△ABC，且AB与x轴的夹角为5°，易知向量和，令与x轴同向的单位向量为i，则有，仿照以上方法，推广以上结论可得，若则___参考答案：观察正三边形有三项，角度呈等差数列，公差为120°公差与多边形内角的补角一一对应，即推广后得到正n边形有n项，角度依旧等差，14.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是

参考答案：24【考点】伪代码．【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24．15.已知，则与的夹角为______________参考答案：略16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别a,b,c,若.则直线被圆所截得的弦长为____________．

参考答案：略17.

过点的直线与圆：交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程是：

．参考答案：答案：x+y=3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：的离心率为，且过点，动直线l：交椭圆C于不同的两点A、B，且（O为坐标原点）.（1）求椭圆C的方程.（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.参考答案：（1）由题意可知，所以，即，①又点在椭圆上，所以有，②由①②联立，解得，，故所求的椭圆方程为.（2）设，，由，可知.联立方程组，消去化简整理得，由，得，所以，，③又由题知，即，整理为.将③代入上式，得.化简整理得，从而得到.19.已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值．【解答】解：（1）∵，f′（1）=1，f（1）=ae+1∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（ae+1）=x﹣1，又直线过点（0，﹣1）∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣

…（2）若a＜0，∵（x≠0），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（﹣∞，0）上无极值；当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（0，1）上无极值；在x∈（1，+∞）时，令H（x）=aex（x﹣1）+x2，则H′（x）=（aex+2）x，∵x∈（1，+∞），∴ex∈（e，+∞，）∵a为负整数∴a≤﹣1，∴aex≤ae≤﹣e∴aex+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上单调减，又H（1）=1＞0，H（2）=ae2+4≤﹣e2+4＜0∴?x0∈（1，2），使得H（x0）=0

…且1＜x＜x0时，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x0时，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；∴f（x）在x0处取得极大值

（*）又H（x0）=aex0（x0﹣1）+x02=0，∴代入（*）得：，∴不存在负整数a满足条件．…（3）设g（x）=aex（x﹣1）+x2，则g′（x）=（aex+2）x，因为a＞0，所以，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点．又g（0）=﹣a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x1∈（0，1），使g（x1）=0再由g（x）在（0，+∞）上单调递增知，当x∈（0，x1）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，故故f′（x）=，f（x）单调递增；所以函数f（x）在x1处取得极小值．…当x＜0时，ex＜1，且x﹣1＜0，所以g（x）=aex（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，函数y=x2+ax﹣a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0，故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，再由g（x）在（﹣∞，0）上单调递减知，当x∈（﹣∞，x2）时，g（x）＞0，故f′（x）=，f（x）单调递增；当x∈（x2，0）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；所以函数f（x）在x2处取得极大值．综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值．…20.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，分别为线段的中点.（Ｉ）求证：；（II）求证：.

参考答案：（Ⅰ）连接AC交BE于点O，连接OF，不妨设AB=BC=1,则AD=2四边形ABCE为菱形又（Ⅱ）,,21.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点。（1） 求三棱锥A-MCC1的体积；（2）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC。参考答案：（1）解：-------------------------------------4分(2)把面与面展成平面得，当A1M+MC取最小值时M为的中点。由勾股定理得：,又,，面,面所以面,而面所以同理,又,面,面所以B1M⊥平面MAC------------------------------------------------------------------------12分略22.已知曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（+θ）=2（1）将曲线C上各点的纵坐标伸长为原来的两倍，得到曲线C1，写出曲线C1的极坐标方程．（2）射线θ=与C1、l的交点分别为A、B，射线θ=﹣与C1、l的交点分别为A1、B1，求△OAA1与△OBB1的面积之比．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C的参数方程中用代y，可得曲线C1的参数方程，化为普通方程和极坐标方程即可得到；（2）由极