高三数学（理）一轮复习习题：听课答案第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入

第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入

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1.编写意图

本单元内容是高中数学中的工具性知识，在近几年高考中主要考查三个方面:一是平面向量本

身知识的基础题，多以选择题、填空题的形式出现，难度不大;二是以向量作为工具，考查与其他

知识点的交汇与整合，以解答题为主;三是复数的概念及其运算,大多为选择题，较为简单.

因此,编写时主要考虑以下几方面:(1)每课时的例题、习题以巩固基础知识为主,重点是引导学

生用向量知识解决有关长度、夹角、垂直等问题,掌握应用向量知识解决这类问题的方法;(2)

适当配备平面向量综合问题的“新热点”题型，其形式为向量与其他知识的综合，但严格控制

难度，用于加强学生对各个知识点之间联系的渗透,构建知识网络提高综合应用能力;(3)复数

考查基本运算，要掌握常规方法和常规运算.

2.教学建议

本单元的内容着重体现其应用性、工具性，复习中应注意下面几点：

(1)向量的运算在高考中一定会有考查，并且难度较大，在复习中要注意对该部分知识进行拓

展和提升;(2)向量的数量积在高考中一般会考查一道选择题或者填空题,在大题中也有涉及，

但是考查难度不大,注意常规方法和常规运算的训练;(3)复数在高考中一般位于前几道题的

位置，难度不大,注意基本概念的理解和基本运算的DI练.

3.课时安排

本单元共4讲和一个小题必刷卷(七)，每讲建议1课时完成，小题必刷卷(七)课外完成，共需4

课时.

第24讲平面向量的概念及其线性运算

考试说明L了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.

2.理解向量的几何意义.

3.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

4.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.

5.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

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考情分析

考点考查方向考例考查热度

平面向量的概

概念辨析、应用等

念

平面向量的线力口、减、数乘运算及其2016全国卷773,2015

性运算应用全国卷17

根据向量共线确定参数

共线向量2015全国卷〃13

值、应用等

真题再现

■［2017-2013］课标全国真题再现

1.［2015•全国卷刀设。为"交所在平面内一点或=3而厕（）

A•前二?屈哆后

SAD^-AB-AC

33

CAD=-AB+-AC

33

DAD=-AB-AC

33

［解析］A由题意知而=尼+方=前若近=前+|（尼-丽=3前号北

2.［2015•全国卷27］设向量4。不平行,向量加+。与”2。平行/实数/1=.

［答案］|

［解析］因为加"与a+26平行，所以存在唯一实数力使得加+。=标+2功,所以仁Z以解得

A=t=~.

2

■［2016-2015］其他省份类似高考真题

［2016・北京卷］设a,。是向量则"//二/〃’是"/a"/=/a-“的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

［解析］D若/a/=/6/成立，则以a,6为邻边组成的平行四边形为菱形,a",a-b表示的是该菱

形的对角线,而菱形的对角线不一定相等，所以/a+5/=/a-5/不一定成立，从而不是充分条件;反

之，若/a+6/=/a-例或立，则以为邻边组成的平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所

以/a/=/伪不一定成立，从而不是必要条件.故选D.

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.大小方向大小长度句质/0011

相同长度相同长度相反-a不确定的任意的

平行

2和三角形平行四边形b+aa+(b+G相反向量

三角形”(-6)向量数乘而囚同相同相反

0Aa+Ab

3.b=Aa

对点演练

1.D1［解析］AC-RD+CD-AB+DE+EF+FA^(AC+CD+DE+EF+FA)-(AB+BD)^DA.

2.(4)［解析］根据向量的概念可知(4)错误.

3.|(a+Z?)［解析］AB+BM=AM,AC+CM=AM,CM=-W,.-AM=^(AB+AC)=^a+b］.

4.2［解析］因为豉与e不共线，且a=豉e与b=-2豉Me共线，所以存在gR,使

豉但市-2豉3㈤=-2〃豉+心也得［1=如，所以4=2.

5.②［解析］对于。由于刀与瓦?是相反向量,所以而+BA=0,。昔误;对于②，由于ail。且

/a/>/勿>0,所以当a,6同向时,a+b的方向与a的方向相同，当a,6反向时,a+b的方向仍与a

的方向相同，②正确;对于③，因为不确定沅的方向与a的方向是否相同,所以③e昔误.

6.等腰梯形［解析］而言而表示而与正共线，但两件瓯/所以四边形28。是梯形，又

而/孤/所以四边形26。是等腰梯形.

7.［2,6］［解析］当a与6方向相同时任勿=2,当a与6方向相反时,/a-勿=6,当a与b不共

线时,2</a-勿<6,所以/a-切的取值范围为［2,6］.此题易忽视a与。方向相同和a与6方向相

反两种情况.

【课堂考点探究】

例1［思路点拨］(1)将已知等式整理成a4b的形式，再根据向量共线定理判断;(2)利用平面

向量的有关概念判断.

(1)C⑵②②［解析］(1)由已q=0得力得，0,即a=卷/附0,则a与6共线且方向相反,

因此当向量a与6共线且方向相反时，能使卷珞=0成立.选项A中向量a与6的方向相同,

选项B中向量a与6共线，方向相同或相反，选项C中向量a与5的方向相反，选项D中向量

a与。互相垂直，故选C.

⑵⑪F正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.

正确.当b=0时ailb,b\\c但a与c不一定平行.

③正确.a与6是非零向量,6与-6反向，若a与5同向厕a与-6反向.

@正确.因为荏与前共线，且荏与前有公共点民所以4日。三点在同一条直线上.

变式题⑴D(2)A［解析］⑴A中,四与灰的长度相等，但方向不同，所以A错误;B中,而

与丽的长度相等，但方向不同，所以B错误;C中，即与方的长度相等，但方向相反，所以C错

误;D中，而与方的长度相等，方向也相同，即丽丽.故选D.

(2)对于⑦因为屈屈，所以两/孤原说与反共线，又因为48C。是不共线的四个点，

所以四边形26。为平行四边形;反之，若四边形26。为平行四边形，则而与反共线且

质/孤/所以说=反，故⑦正确根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一

定相同，故两个单位向量不一定相等，故多昔误.向量都与瓦?互为相反向量，故,昔误.对于④

因为a=b,所以a力的长度相等且方向相同，又6=G所以&c的长度相等且方向相同，所以a,c

的长度相等且方向相同，即a=C故④正确.故选A.

例2［思路点拨］(1)首先根据条件4A0=屈+2前构造平行四边形历然后结合三角形相

似的性质求解;(2)以向量4B/C为邻边作平行四边形，通过判断平行四边形的形状来确定△

/踩的形状.

⑴D⑵直角三角形［解析］(1)如图所示，延长ZC至I」点£使ZC="以Z8/尸为邻边作平

行四边形26历对角线交6c于点口故4A0=荏+2AC=旗，即点。在AEh.^AOB

与必。C的高分别为8c至U的距离.由平行四边形的性质得△/口＞△&四目相似比为

1/2,即CD:BD=1:2,又因为的底边均为ZO,高的比等于BD:DC=2:1,所

以"06与"OC的面积之比为2.1.

⑵由两+AC/^/AB及何知，以向量屈，而为邻边的平行四边形的两条对角线相等,则此平

行四边形为矩形，故AC,即8c为直角三角形.

例3［思路点拨］(1)首先利用三角形法则与向量共线的性质表示出向量4E,然后利用三角形

法则表示出而.(2)由前三屈号左确定点。的位置，从而确定两三角形面积的关系.

(1)B(2)B［解析］(1)由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得

AE^AD,AD=屈+BD^D=BA+冠贝丽=^(BA,福，所以

AD=荏+BD=荏瓦?若森所以荏三(前瓦?若前)，所以

次兄?+族年5号通亭1亭?=|丽卓荏一幅故选B.

⑵由4。=己"8g/C得点。在平行于的中位线上,从而有SAABD^SRABG又S^ACD^S^ABC1

所以£so=（1-）£48cWS“8G所以产=点故选B.

z363□4BO3

例4［思路点拨］利用户是直线6/V上一点，可设加=〃前,然后用Z77,n及屈，前表示出向量

存，对照已知条件即可求得。的值.

A［解析］：AN^NC,.'ANW前；P是直线BN上一点，.设丽="前厕

AP-ZB=〃（前漏），即Q=（1-n）AB+nAN=（1-ri）ABdAC^mAB£前，则〃=3,所以

44

/77-1-0=-2.故选A.

强化演练

1.A［解析］丽+FC=（EC-BC）+（FB+BC）=EC+FB=^AB-f-AC=^（AB+AC）=前，故选A.

2.A［解析］由题意得赤+0C=20D,X0B+0C^-20A=2而,所以而=而，故选A.

3.D［解析］而=而-标=|而+正=|（近+|而）~|（同+而）=］同?阮，故选D.

4.V2［解析］设立?=a,赤=6,以瓦?，砺为邻边作平行四边形。4c耳则

］BAl=la-bl，］OCl=la+bl.:加/=/勿=1,且任勿=/〃：画片/句=//%.平行四边形OACB

是正方形〃:庇/二庭/=让,即后+勿=仅

5.2［解析］因为。是6C的中点所以荏+AC=2而，即mAM+nAN=2前厕

而=刎前+|〃前.又因为。，例，三点共线，所以刎6〃=1,即m+n=2.

例5［思路点拨］根据平面向量共线定理，引入实数〃使得2豉市豉”le）,然后通过比较

系数建立方程组求解.

A［解析］若向量a与6共线,则存在实数〃使得2豉-改豉则有e［2：］解得a=方

故选A.

例6［思路点拨］(1)首先根据向量加减法法则寻找ABCQ四点中任意三个点对应向量间

的关系，然后利用共线定理进行判断;⑵首先将A6c三点共线问题转化为前与无共线问题,

然后利用向量共线定理求解.

(1)A(2)D［解析］

(1)AB=a+5b豌=-3a+6b而=4a-b,.^BD=BC+CD=(-3a+6b)+(4a-Z?)=a+Sb=AB,..A,

8。三点共线，故选A.

⑵由A8C三点共线相荏与亚共线，则存在实数，，使得荏=屈，则有］解得

»=〃=-1或2,故选D.

强化演练

1-A［解析］②a=|b,.：a,Z?共线;②a=-6(T611Tti.)=-66,.：a力共线;③6=-2(a-㈤不存在

/leR,使得a=Ab成立〃不共线.故选A.

2.D［解析］由前向+撰?得而出=缁,.,前=金抽〃:点户在射线26上，故选D.

\/X.D\/\.D

3.D［解析］由题意知，存在实数4使a=Xb^豉+kez与伙会+0),由向量相等得解

得《=土1,故选D.

4.B［解析］设F是6C边的中点,则/初+0C)=或由题意得而=瓯所以

而三荏=；须而?)=；荏咛砺,又因为8,。。三点共线所以：4=1,解得鸟故选B.

2444C44C3

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【备选理由】例1对共线定理加深理解，例2、例3是两个综合性较强的题目,可供学有余力

的学生选用.

H1［配合例5使用］［2017•北京海淀区期中］在必交中，点。满足前=2荏寂顾)

A.点。不在直线8c上

B.点。在线段6c的延长线上

C.点。在线段8c上

D.点。在线段）的延长线上

［解析］D由同=2屈就=前-AB=AB-/今BD与瓦故点。在线段CB的延长线上，故选

D.

例2［配合例4使用］［2017•上海黄浦区二模］如图所示/胡C=拳圆M与Z6/C分别相

切于点D,EAD=1点户是圆例内任意一点（含边界），且Q=而5+加（％yGR）厕x+y的取

值范围为)

A.[l,4+2V3]B.[4-2V3,4+2网

C.[l,2+V3]D.[2-V3,2+V3]

［解析］B连接Z"并延长，线段2股及其延长线分别交圆河于Q,7两点，连接。£与交

于点凡显然航吊标号裾此时x+y=l.由于/。=/£=1/必［=*,.乂例=2,。例=遮；点P

是圆河内任意一点（含边界）,；2/4力走2瓶,且当4月例三点共线时x+y取得最值.当P

位于Q点时/Q=2厕而=竽版=（4-2百）版=（2方）前+（2/）版，此时x+p

2

取得最小值4-2低同理可得，当点Q位于7■点时，市=（2+V3）AD+（2+百）荏，此时x+y取得

最大值4+2遮.故选B.

例3［配合例3使用］［2017乐山调研］如图，已知26是圆。的直径，点C。是圆弧Z6的

两个三等分点，屈=2而=/?,则前=()

K.a—bB±a-6

22

C.a-6D^a+b

22

［解析］D连接0c由点C。是圆弧26的两个三等分点彳导N/OC=NCO0=N

600=60。,且A。4c和人。。均为边长等于圆。的半径的等边三角形，所以四边形OACD为

菱形,所以同=A0+AC=^AB+AC=m+匕,故选D.

第25讲平面向量基本定理及坐标表示

考试说明L了解平面向量的基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

4.理解用坐标表示平面向量共线的条件.

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考情分析

考点考查方向考例考查热度

平面向量的基

基本定理的应用2017全国卷血2

本定理

计算、求参数值等

平面向量的坐2017全国卷m2,2017

标运算全国卷R12

共线向量的坐判断共线、根据共线

2014全国卷110

标表示求参数值等

真题再现

■[2017-2013]课标全国真题再现

1.[2017•全国卷期在矩形Z6C。中,26=1,20=2,动点。在以点C为圆心且与6。相切的

圆上.若衣=AAB+//而，则A+/J的最大值为()

A.3B.2V2

C.V5D.2

[解析]A如图，建立平面直角坐标系则40,1),以0,0),a2,0),以2,1),设外%勿,根据等面积公

式可得圆的半径是即圆的方程是(片2)2=(又族=(x,y-l),AB=(0,-1),ZD=(2,0),若满足

-_X

AP=A4B+由，则解得“=5'所以X+〃W-P+1.设Z=9P+L即白y+1-z=0,又点

,A=1-y,222

也勿在圆(片2)2切力上，所以圆心到直线|-y+l-z=0的距离比。即措.，解得l<z<3,

所以z的最大值为3,即X+4的最大值为3,故选A.

2.[2014•全国卷1｝已知抛物线C/=8x的焦点为£准线为/P是/上一点,Q是直线PF与C

的一个交点者而=4而，则/07=()

A；B.3

C.2-D.2

［解析］B由题知42,0),设凡-2,4府，次)，则而=(4。而=%2次),由丽=4的，得

-4=4(加-2),解得x0=1,根据抛物线定义得/Q〃=/+2=3.

・［2017-2016］其他省份类似高考真题

【课前双基巩固】

知识聚焦

L不共线有且只有2=九豉+/2&基底

2.(1)(AI+x2,yi+y2］(M-迎＞1夕)(彳所以四)

⑵(9-xi,yz-yi)J(X2-*I)2+(%-乃)2

3.M度-及总=0

对点演练

1.(-3,5)［解析］设Q%力则所=(x-2,片3)=(-5,2),.,｛：；二2'解得匕二5'即点Q的坐标

为(35).

2.-2豉［解析］以向量3!的起点为原点，向量豉的箭头方向为x轴的正方向建立平面直

角坐标系.设网格正方形的边长为L则豉=(1,0),。=(1,1)Q=(-3,1).设8=/m+外,则

(31)=ML0)+M-Ll)=(x»M，.•心;3解得匕=；2,4=-2剪」改.

3.g,-0［解析］设M%劝，由条件知荏=(4,-1),AM=(x+Ly-2).由屈=3万1得屋：:=：，

解得［［则4M1条"!).

4.0［解析］因为”不共线，所以附3解得《则,+片0.

5.2［解析］易知all与c不共线力与c不共线，所以能构成基底的组数为2.

6.土GI，*)［解析］由已知得说=(12,-5),所以质/=13,因此与近共线的单位向量为

纭南=土(||,京).本题在求同的坐标时易出现用4点坐标减去6点坐标的错误.

7.4［解析］由a=Q,2),6=(-2,M),且allb,得1xm-2x(-2)=0,解得6=4本题在利用向量

平行的条件列方程时，易出现1xm+2x(-2)=0的错误.

【课堂考点探究】

例1［思路点拨］⑴基底中的向量不能共线;(2)利用点F为直线踩上一点,设出屁=XBC,

然后结合条件利用向量相等得出系数的关系,从而解得系数的值.

(1)C(2)C［解析］(1)根据平面向量基本定理知,臼,无不能共线，选项A,B,D中的豉，改均为

共线向量，故可以排除A,B,D,验证知选项C中的向量符合题意.

⑵点F为直线跋上一点，可设而=嬴，因为前=而，所以

AD=AE+ED=(1+A)AE=(1+A)(AB+xBC)=(1+A)AB+(1+^xBC=(1+A)(l-x)AB+(1+A)xAC

=3屈+4/.由平面向量基本定理得收+々(>2=3,解得，一?看攵选C.

((1+A)x=4,(,x=7-

变式题C［解析］设通=a,而=6,贝!J荏=|9+/?,荏=9号6.又因为正二^+为所以

AC=l(AE+硝，则A=〃=|,所以A+〃专故选C.

例2［思路点拨］(1)利用向量的加减法与数乘的坐标运算法则直接计算即可;(2)设Rx,〃，利

用已知条件得出关于％产的方程组，进而求解.

⑴B(2)D［解析］⑴)夕=(R-(泊)=(-L2).

⑵设点R为为则丽=(10-%-2-劝,西=(-2-%7-”,所以A"”=一2(2办解得凭二:故选D.

l-2-y=-2(7-y),U-由

变式题(1)B(2)D［解析］⑴因为”6=(2,"析，所以仅；.=t,解得t=£故选B.

(2)由题意可得a-26+3c=(5,-2)-2(4,-3)+3(%.=(13+3%4+3劝=0,则解得

f17即c=(号,故选D.

V—3，

例3［思路点拨］Q)利用两向量共线的坐标运算求解;(2)利用向量共线的坐标运算建立关于

力的等式求解.

⑴C(2)B［解析］⑴由条件知2无6=(1,1),对于C,：癖+l+N+l=2F+2>0,.•.向量c与

2a也一定不共线，故选C.

⑵由题知所=(5,4),因为而II6,所以5/1+5=-8A+4,解得/!=/故选B.

变式题(1)A(2)C［解析］⑴由题得荏=(5,-5)X=(|,6-3)；46C三点共线，二荏与

前共线,•：5("3)=§,解得加耳故选A.

⑵由已知得〃a"=(2〃-l,3〃+2),a-26=(4,-1),则(口>(2〃-1)4(3〃+2)=0,解得〃=由故选

C.

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【备选理由】向量坐标化后，几何问题就化为代数计算问题,下面两例题据此而选，供在适当考

点使用.

例1［配合例1使用］如图所示，在△OAB中，反=^OA^D三砺/。与8c交于点例设

4Z

OA-a^OB=b，以a,b为基底表示丽.

解:设力^=ma+nb^m,n^.R)则询=OM:OA=(m-»a+nb,父而=OD-j?=^b-a,AM,D三氤

共线,所以吧=7,即6+2"=1.而而=前况=(a+nb,CB=OB-反=^a+b,又因为

-1-44

2

1

C例8三点共线，所以学音即4m+a=l.由图I:解得m=_,__

37'所以丽=”土也

71=5，

例2［配合例2使用］如图所示，平面内有三个向量双丽，乐而与万的夹角为120。,市与

方的夹角为150。,且»7/=廊/=1,瓯/=2W,若前^AOA+/MB(4〃WR)厕A+p=()

A.lB.-6

C.-D.6

2

［解析］B以。为坐标原点，函的方向为x轴正方向，与就垂直向上的方向为y轴正方向，建

立平面直角坐标系.由尻/=屐/=1,何/=2再可得4L0),6(1耳),0-3,羽)，又

心1C

__A.--〃=-3,(_n

OC=AOA瓯可得方程组/解得"—'所以A+〃=6故选B.

例3［配合例2使用］已知a0,0),4L2),6(4,5)及而向，漏试问：

(1)1为何值时,P在x轴上?在y轴上?在第二象限？

(2)四边形046『能否成为平行四边形?若能，求出相应的？值;若不能，请说明理由.

解:⑴90,0),41,2),6(4,5),

.,.OA=(1,2),AB=(3,3),

OP=OA+tAB^l+3t,2+3f).

若。在x轴上，则2+3£0,解得手号

若户在y轴上，则1+3仁0,解得t=5

若户在第二象限，则

解得■!＜［＜■!.

⑵色?=(1,2),PB=P0+0B=(3-343-33

若四边形》仍为平行四边形，

则耐=而，而产*=1，无解,

(3-3t=2

二四边形。482不能成为平行四边形.

第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例

考试说明1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

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考情分析

考点考查方向考例考查热度

2017全国卷

713,2017全国卷

1712,2016全国卷

平面向量的求向量的数量积、夹角、

713,2016全国卷★★★

数量积模等相关问题

M3,2014全国卷

715,2014全国卷

“3,2013全国卷〃13

平面向量垂判断垂直、根据垂直求2016全国卷〃3,2013

直的条件参数值等全国卷113

平面向量的在三角函数、解析几何

综合应用中的应用等

真题再现

■［2017-2013］课标全国真题再现

U2017•全国卷〃］已知6c是边长为2的等边三角形,为平面Z6C内一点，则

腐•(而+丽)的最小值是()

A.-2B《

C'D.-l

［解析］B建立如图所示的平面直角坐标系则2(0,0)42,0),01,㈣设/刀外则

PX-(PB+PC)=(-%j/)-[(2-x,-y}+(1-A;V3=(x,y)-(2x-3,2y-V3)=X2x-3)+y(2y-^3)=2*-3

3月在平面ABC

内部,此时而•(而+而)取得最小值，最小值为橙

2.[2016•全国卷刃已知向量a=(l,M),6=(3,-2),且(”为，6,则6=()

A.-8B.-6

C.6D.8

[解析]Da+b=&m2)「.(a+gb,.{a+b)-b=12-2(m-2)=0,解得m=8.

3.[2016•全国卷①]已知向量瓦?=(冷),阮=(莪)，则()

A.30°B.45°

C.60°D.120°

［解析］AcosN，SC=g^甘《好乂；与又住［0。,180。］〃2/跋=30。.

4.[2014•全国卷〃]设向量a力满足/a"/=VTU,/a-6/=V^,则ab=()

A.lB.2

C.3D.5

［解析］A由已知得=10,/a-"=6,两式相减彳导4a0=4,所以a-b=l.

5.［2017•全国卷I］已知向量a,6的夹角为60。,间=2阳=\,则a+2bl=.

［答案］2V3

［解析］la+2bl=^!~a2+4ab+4b2=j4+4x2xlx|+4-2V3.

6.［2016•全国卷刀设向量a=(6,l),b=(l,2),且白+纱=舒+冲厕m=.

［答案-2

［解析］由已知条件彳导才6=0,即〃+2=0,即m=-2.

7.［2013•全国卷1｝已知两个单位向量a力的夹角为60°,c=fa+Q-姐若bc-0,则

t=.

［答案］2

［解析］因为何=/勿=106苦,所以6右=回治+(1-姐所以t=2.

8.［2013•全国卷77］已知正方形28。的边长为2,£为。的中点，则荏•丽=.

［答案2

［解析］如图，建立直角坐标系，则荏=(L2),丽=(22),获-BD=2.

■［2017-2016］其他省份类似高考真题

1.［2016•山东卷］已知非零向量Z77,"满足4/m/=3阿cos<m,">W若"_L("7切厕实数t

的值为()

A.4B.4

C.-D.-

44

［解析］B由4/切=3/〃可设/6/=3,//7/=4.

又77±(f/77+/7),COS<m,n>

.,./7-(f/77+/7)=O,BP及4x3苫+16=0,解得t=A.

2.［2016•天津卷］已知△/女；是边长为1的等边三角形，点分别是边286C的中点，连接

并延长到点£使得。£=2日测初诙的值为()

A［B1

’8

QD.装

［解析］BBC=前-AB,AF=AD+DF=^AB-1-DE^AB-t^AC<BC萧=(尼-万)•(

|荏封)=』xlxlxi--4-xlxl，=工1心=2

22244244288

3.［2017•天津卷］在"8C中/Z=60°/8=3/C=2.若丽=2尻，荏=/l前-荏(/IGR),且

力D/E=4,则A的值为.

［答案］看

［解析］:海-XC=3x2xcos60°=3,AD=|AB+|^4C,.-.AD-AE=(|^B+|lC

){AAC-XB)=(x3咛x43x9(x3=4解得X三.

4.［2017•山东卷］已知⑶会是互相垂直的单位向量若旧备-改与豉+/会的夹角为60°,则实

数力的值是.

［答案］f

［解析］由题意不妨取豉=(l,0)e=(0,l),由条件可设3=百豉-改=(遮,-1)力=豉+/。=(1/),

所以cos<a,b>=cos60。所以遮4MT中,解得力二£

22V1+443

5.［2016浙江卷］已知向量a,b,/a/=l,/勿=2.若对任意单位向量e,均有/a-e/+/Z>e/4倔则a-b

的最大值是.

［答案］|

［解析］由人a")-e/4/a-e"汝e/wV^得白"/4逐,即//+%+2/bw6,所以故a-b的

最大值为去

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.(1)励例tos8/a//b/cos000-a=0(2)②励:os/例:os。②b在a的方向上的

投影而tos6⑶韭零31.b

2.①ab=ba②X(3b)a-{Ab)③ac+bc

3.①Ia"os0②ab=0③/a〃勿-/a〃勿/a尸V^a然含@<

4.J*+及x1xi+yvyiM热+兑"=0

久1%2+%%

J*+比J指+光

对点演练

1.-6［解析］.a-6=(-2,2),.aa-6)=-2xl+2x(-2)=-6.

2.60°［解析］设向量a与6的夹角为＜9.由a-b-\a\\b\cos6»=V3*yCOS8号得cos夕节,

又先［0°,180°］〃♦.向量a与5的夹角为60°.

3.2遮［解析］

fla-b/=J12a-b/=^4|a|2-4ab+\b\2-^4xl2-4x1x2cosl200+22=2V3.

4.V2［解析］由单位向量ae的夹角为45：得ae=lxlxcos45°考.由ft±（/Ift-ft）

可得4（/lee）=0,即1豉eW-0,则争1-1=0,解得/l=vi

5.北偏西30°［解析］如图所示，设渡船速度为丽，水流速度为UX渡船实际垂直过江的速度

为赤.依题意知|瓦5|=12.5,痂/=25；VD=0B+0A,.-^0D-0A^OB-OA+瓦溟.又；而±

就,.^1=25X12.5COS（N6O0+9O。）*12.52=0,.2600=30°,二渡船的航向为北偏西

30°.

BD

6.-|［解析］依题意有a'b+b'C+ca='\.xlxcos120°^1x1xcos120°^lxlxcos

120°=（-3乂-3乂-3二9本题在计算时，容易把向量夹角取作60。而致误.

7.券［解析］因为点q-LO）,以4,5）,所以丽=（5,5）,又说=（2,1）,所以向量近在加方向上的

投影为画3＜丽丽＞帚嗡岑

8.菱形［解析］由四边形26。满足屈+CD=0知,四边形26。为平行四边形，又

（AB-前）•/=0,即丽•尼印,可知该平行四边形的对角线互相垂直，故该四边形一定是菱形.

【课堂考点探究】

例1［思路点拨］(1)利用向量的数量积公式建立关于X的方程求解;(2)根据条件以正三角形

的边6c所在直线为x轴,垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，然后写出相关点的坐标，确

定出向量前，丽的坐标,最后利用向量的数量积公式求解.

(1)3⑵?［解析］⑴因为a6=6-x=3,所以x=3.

(2)由题意建立如图所示的平面直角坐标系.因为A/6C的边长为1,所以，(0片),6(5。).因

为丽=2说,所以点。为交的中点则以0,0).因为*=2/,所以点E为/C的三等分点，则

(岩)，所以前布=(0,1).(膂)

变式题⑴A⑵三［解析］(1)因为菱形28。的边长为2/83所以

瓦?•前-2x2cosg=2,所以

BD-CP=(BA+BC\(BP-BC)=(BA+BCy(AP-XB-BC)=(BA+BC\[[A-1]AB-BC]=(1-A)/BA/1-

BA-BC+(1-A)BA-BC限p=(1J)x4-2+2(1-/I)-4=-6力=-3,所以才与故选A.

(2)由题意可得/a-6/=J(a-b)2=J

a2+b2-2ab=9+25-2ab=7,.,.a-b=15

2

例2［思路点拨］(1)首先利用向量平行的条件求得参数m的值，然后利用模的坐标公式求

解;⑵由加，=(而1+JMBY建立瓯产关于A的函数，求其最值即可.

(1)D(2)D[解析]⑴：allC,•.加6=0,解得〃=£则

5=(2,-6)〃电26=(-3,9),.•.白-26/=(-3)2+92=3同,故选D.

⑵配，+/MB)2=［AOA+(1->I)OB］2=4X+4(1->l)2+2)(1-TI)01-0B,OX-OB=2〃,辰F

=4不+4(1<)2+2)(1-/l)-2=4/4/|+4=4(a?)2+3,当A=时，胸儆得最小值值.

例3［思路点拨］(1)求出a+6,然后通过向量的数量积求解即可;(2)先求出a+b,再利用向量

垂直的条件列出关于m的方程求解;(3)由已知可得<AD,BC>=60。,再求出

荏・砺，荏尻，而说的值，结合平面向量的运算法则及族•丽力求得A的值

(1)C(2)B(3)空［解析］⑴向量a=(2,-l)力=(1,7),则a+6=(3,6);a(a+b)=6-6=0,.：a

4

Ma的故选C.

(2)由题意可得a+6=(7,6-2),结合向量垂直的充要条件得7x2+(m-2)x(-2)=0,解得6=9.

故选B.

⑶由/6=4,8C=Q?=2,可得现>=60。,则

AB-AD=4x2尺=4,荏说=4x2=4,前•前=2x2，=2.：.=竺=4.丽=>品於=/

2V2/2BCAB

福则

AE=AB+BE=AB+ABC,DF=AF-AD=AAB-AD,.-AE-DF=(AB+ABC)\AAB-AD)=入厢F标，

AD+^AB-BC-AAD-BC=0,即16/144不与a=0,.-.2^-7A+2=0,解得A舍)或A=出.

44

例4［思路点拨］(1)利用两个向量的数量积的定义和两个向量坐标形式的运算法则，求得

cos。号警的值，进而可得e的值.(2)利用两个向量的数量积的定义和两个向量的数量积

\CL\\CL+D\

公式，求得6的值.(3)根据题意利用夹角公式列出关于6的方程求解.

(1)B⑵百(3)3［解析］(1)设a与a"的夹角为8：向量a=(l,0),6=(¥^」a+b=(

押),.aa")=(L0)•(淳鸟则cos。令匕与由所防］可得一故选B.

(2)：3=(刃3)力=(遍,1),向量a,6的夹角为30°,..a-b^m+3=V^T9x2cos30°,解得

/77-V3.

m+6+4m+6_67?1+36+6??2+9/刀,日

依题意有根据夹角公式有-3V5V(m+6)2+(2m+3)2/牛寸

(3)c=(m+6,2m+3),限/(m+6)2+(2m+3)2

m=3.

强化演练

1.C［解析］由题意得/a-6/=J|a-b|2=Ja2-2a-b+垓=近,故选C.

2.B［解析］cos<2*=部多岩又曰所以a与。的夹角为髓攵选B.

\CL\£zJ.XZN3

3.-V15［解析］^/a/=l,/b/=2,a+b=(l,V3),^ma+b)2=1+4+2xlx2cos0=^cos

叫厕sin8=平，所以tan8=皿.

4.-1［解析］：AP=AAB+AC,AP±

AC,.-AP-AC=(AAB+IC)-XC=AAB-AC+AC2=Ax2xlxcos60°+1=A+1=O,.J=-1.

5.5［解析］以。为原点所在直线分别为x轴/轴建立平面直角坐标系，如图所示.

设CO=a,RO必可得

Z(2,0),6(l,a),.,.用+3丽=(2,y+3Q,ay=(5,3a4M.,.廊+3而/=《25+^a-4y)2,.-./PA+

3而网最小值为5.

6.3［解析］如图所示，由20C+CB+CA=0,得。为28的中点即26为圆的直径，所以AB=2.

由于CB=OC^AB,^UA^,AC^,^UC-AB=\AC\-\AB\-COS^3.

例5[思路点拨](1)由aJ_6可得a-6=(sin%*V5>(l,cosM=siny-V3cosx=0,从而可得tan

x域，再根据二倍角公式可得结果;(2)由题可得AM=2sin(x?),再

根据平移变换可得=2sin(2x+1),利用正弦函数的单调性解不等式即可得结果.

解:Q)「8J_6,/a6=(sinA;-V3)-(1ZCOSA)-sinx-V3cosx=O,「.tanx-V3z

2tanx

/.tan2x==-V3.

l-tan2x

(2)由题可得[M=ab=(sinA;V3)-(1,COSM=sinx-V3cosx=2sin(x~1),

贝！]g[必=2sin(2x().

令2而£<2x^42而去式Z£Z)彳导而号WxW而吟QteZ),

.以⑼的单调递增区间为［如号例吟］

g).

由2x小山比Z)得(庄Z),即函数的图像的对称中心为(如弓0)(AGZ).

32626

变式题解:(l)(d+6)II(sinx-1)-(V3cosx+1)=0,

/.sin%-V3cosx=2今2|sin/cos32=sin(W)=1,

又XG[0,T[],.次1£[g与]

7171571

/.%---=>%--.

326

1

4r

又XW[0,m〃：X(G(争r),

・：cos(x咛)=¥，；sin(xR=sin[(x+R目=-cos(x§)学.

熟您篦赚嚼本栏目为教师专用

【备选理由】与平面向量相关的最值问题是高考的热点，具有综合性强的特点,下面提供三道

题可在适当考点中使用.

01［配合例1使用］如图所示/8=2,。为圆心,C为半圆上不同于48的任意一点，若P为

半径上的动点则画+而）•丽的最小值为（）

AOB

A.-B.-2

2

C.-1D.-

4

［解析］A因为。为Z6的中点，所以西+PB=2同厕

（PA+丽）•丽=2P0较=-2/PO/-/PC/=-2/PO/-（l-/pd/）=2国p-2/PO/=2^/PO/^2当

\P0\三时，（市+丽）•丽取得最小值方故选A.

例2［配合例2使用］［2017・石家庄二中三模］已知G为所在平面上一点，且

GA+GB+GC=0,AA=60°,AB-AC=2,则|E|的最小值为.

［答案乎

［解析］由题意得点G为A/SC的重心，则

AG昔（而+AC）,.'AG2=（屈舒衣）^（AB2+AC2ABAC^/AB/-/AC/cos

2++2AB+4）/.

60°=2,.:厢/质/=4〃•前2号（2房/履"4）《当且仅当而/=质/=2时，等号成立，.:质/

2即向^版最小值为号|.

例3［配合例4使用］［2017・湖州调研］已知a,6,e是同一平面内的三个向量，且⑻=1,九

6,ae=2,be=L当/a-切取得最小值时,a与e夹角的正切值为（）

A.河

C.1D日

［解析］D根据题意,分别以a,6为x轴/轴建立平面直角坐标系，设e与a的夹角为86为

锐角厕e与b的夹角为1-6：/e/=La_Lb,a-e=2,6e=L」/a/8se=2,/6/a）s（；-6）=/6/sin

0-1,."./a-bp-/dp-2ab+/b/^=4+.1—（—.1）

''cosd''sm0''''''cos20sin20cos20sin20

（sin20+cos26D=5+^^+^>5+2］也粤・苦=9,当且仅当2sin20=cos2a即tan8巫