2020-2021学年海南省高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年海南省高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.若集合M={1,2},N={2,3,4},则MnN等于()

A.[1,2,3,4}B.{2}C.{2,3}D.{1,3,4)

2.已知角国是第二象限角，角0的终边经过点回，且因，则国()

A.0B.0C.0D.0

3.定义在R上的偶函数/(%)满足：对任意的实数%都有-x)=f(x+1),且/(一1)=2,/(2)=

-1.则/(I)+/(2)+f(3)+…+f(2017)的值为()

A.2017B,1010C.1008D.2

4.设a=2，n2,b=log4e,c=，ge(e为自然对数的底数)，则下列关系正确的是()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<b<c

5,设f(%)=asi几2%+bcos2x,其中a,bER,ab0,若/(%)W|/(，)|对一切％ER恒成立，则

下列结论正确的是()

①“碧)=0；

②既不是奇函数也不是偶函数；

③/■(%)的单调递增区间是即兀+g](kGZ)；

④存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交.

A.①②B.①③C.②③D.②④

6.二次函数人切的二次项系数为正数，且对任意XWR都有f(x)=f(4—x)成立，

若/(2-a?)</(l+a—a2),那么a的取值范围是()

A.1<a<2B.a>1C.a>2D.a<1

7.已知点P是函数f(%)=sin(3%+g)的图象。的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴距离的最

O

小值为全则/(X)的最小正周期是()

A.2兀B.7TC.7D.7

24

8.函数/(")=鬻番的图象大致为()

y\

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9,若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”.下列函

数中，与函数f（X）=%4是“亲密函数”的是（）

丫2

A.y=2l用—1B.、=而C.y=》D.y=|lg(x+1)|

10.如图，正方体4BCD—4B1GD1的棱长为1,点M是侧面ADD14

的一个动点，则下列结论正确的是（）

A.点M存在无数个位置满足CM1ADt

B.点M存在无数个位置满足到直线和直线G5的距离相等

C.三棱锥B-GMD的体积最大值为:

D.在线段上存在点M,使异面直线为M与CD所成的角是30。

11.若函数〃x）=sin（3x+》在区间（一工,0）内单调，且P（，0）是f（x）的一个对称中心，则®的值

是（）

A.6B.-10C.9D.-2

12.设a,b,cER,a<b,则下列不等式一定成立的是（）

A.a+c<b+cB.e-a>e-bC,ac2<be2D.^<|

三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13.已知函数/（%）=｛［；°,则/（/（一2））=.

14.已知定义在R上偶函数/Q）满足/。+2）•/Xx）=4,且f（x）>0,贝厅（2017）=

15.若力0。=1，则4%+4r的值为.

四、多空题（本大题共1小题，共5・0分）

16.已知函数fQ)=V3COS2X-sinxcosx-f,则簿)=，函数/(x)在［0勺上的值域为

五、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.(12分)已知幺=［入|一-3工+2=0),3=。,2,3,4,5),C=(x|2<x<9,xeZ).

全集U={1,2,3,4,567,8).(1)求jU(BIC)；(2)求(4B)UC.

18(1)化简.tan(7r-a)sin(w+a)cos(27r-a)

cos(-7T-a)tan(a-27r)

(2)设立=(1,0),b=(1,1)，若向量;l五+n与向量。=(6,2)共线,求实数九

19.已知函数/(%)=Msin^x+<p)(M>0,a)>0,\(p\V;)的部分图象如图所示.

篝

(1)求函数f(x)的解析式；

⑵在△ABC中，角48,C的对边分别是a,b,c,若(2a-c)cosB=bcosC,求的取值范围.

20.已知二次函数y=a/+i的图象为抛物线c,过顶点4(0,1)的直线2

与抛物线C相交于另外一点P,点Q为抛物线C上另外一点，且点

M(0,m)到直线［的距离为1.

(I)若直线，的斜率为k,且求实数m的取值范围；

(II)当771=鱼+1时，△4PQ的内心恰好是点M,求此二次函数的解析式.

21.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级

污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围

墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，

池底建造单价为80元/米2,水池所有墙的厚度忽略不计.

(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求

出最低总造价.

22.已知/'(x)=-x3+ax,其中aGR,g(x)=-|%2,<gQ)在(0,1］上恒成立.求实数a的

取值范围.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：•.•"={1,2},N={2,3,4)；

：.MCN={2}.

故选：B.

进行交集的运算即可.

考查列举法的定义，以及交集的运算.

2.答案：D

解析：试题分析：由角0的终边经过点回与国，可得区，解得回或冈，而国是

第二象限角，所以回，故叵]，所以国，故选答案D

考点：任意角的三角函数.

3.答案：B

解析：解：由题意可得，/(-X)=/(X),又/'(1一x)=r(x+1),可得/1(-x)=/1(%+2),

得/(x+2)=/(%),因此/(%)是周期为2的周期函数，

l)=/(l)=/(2n+l)=2,

又/(2)=/(2n)=-1,于是/(2n+1)+f(2n)=1,

•••/(I)+/(2)+/(3)+•••+/(2017)=/(I)+1008=2+1008=1010.

故选：B.

由已知可得f(x)是周期为2的周期函数，得=f⑴=/(2n+l)=2,又f(2)=/(2n)=—l,

于是/(2n+1)+/(2n)=1,由此可得f(1)+/(2)+f(3)+…+/(2017)的值.

本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，是中档题.

4.答案：C

解析：解：b=箸,c=/ge,且0<[ge<1,0<匈4<1,

■•b>c,且b<1,a=ln4>1,

c<b<a.

故选：C.

可得出b=吃，根据0<Ig4<1,Ige>0即可得出b>c,并可得出b<1,a>1,这样即可得出a,

b,c的大小关系.

本题考查了对数的换底公式，不等式的性质，对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能

力，属于中档题.

5.答案：A

解析：解：/(x)=asin2x+bcos2x=Va2+b2sin(2x+0)-

又••"(>)<|/©)|对一切xGR恒成立，

o

•••/《)是/(X)的最大值或最小值，

/(X)的周期为7T，

①•••詈一合詈为泠周期，

・••/(詈)=0；

②由/(詈)=Va2+62sin(^+0)=0,

则。,浮(keZ),则既不是奇函数也不是偶函数；

③若燃)是门X)的最大值，则M+Q兀+等(k£Z)是fQ)的单调减区间；

(4)v—yja2+b2<a<Va24-Z?2,—Va24-b2<b<Va24-b2,

・・.不存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交.

故选：A.

由题意知，/《)是/(%)的最大值或最小值，且/(%)的周期为兀；

①•,甘Y哼为孙周期，」(詈)=°；

②由谭)=7d2+庐si啖+0)=。可得「吟(k€Z),则既不是奇函数也不是偶函数；

③若燃)是/'(x)的最大值，则即+9而+等(keZ)是f(x)的单调减区间；

④由-Va2+炉<a<Va2+b2,-Va2+b2<b<Va2+fe2.结合三角函数的图象可得，不存在经

过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交.

本题考查了三角函数的图象及由图象可得到的性质，用到了数形结合的思想，属于中档题.

6.答案：D

解析：

本题主要考查二次函数的图象和性质，一元二次不等式解法.

利用二次函数的图象和性质，将抽象不等式转化成具体不等式，利用不等式的解法等基础知识，达

到解题目的.

解：因为，二次函数/的二次项系数为正数，且对任意X6R都有/'(x)=f(4-x)成立，

所以二次函数图象开口向上，对称轴为x=2,而2—a2s2,

l+a-a2=^-(a-1)2<^<2,

故由f(2-a2)</(I+a—得，2-口2>1+。一。2,

解得a<1,

故选D.

7.答案：B

解析：解：已知函数/(%)=sin(3%+》®>0),若函数f(x)图象上的一个对称中心到对称轴的距

离的最小值为会

二由正弦函数的图象和性质可知：7=7

44

二解得：T=n,

故选：B.

首先根据函数/(%)图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为%从而确定周期.

本题考查的知识点：正弦型三角函数的周期，对称中心到对称轴的距离与周期的关系，属于基本知

识的考查.

8.答案：A

解析：

先判断函数的奇偶性，然后令％=2进行计算，判断函数值的符号是否一致即可.

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，和特殊值的关系是解决本题的关键.

迪,_lg(—+(-X)2)_怆(团+/)一

解:7(X)-(|-z|-l)(-x)-(|x|-l)z-G

则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C,D,

/(2)=哩§2=等>0,排除B,

故选：A,

9.答案：AC

解析：

本题考查函数的性质，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，考查学生的逻辑推理能

力和运算能力，属于基础题.

结合基本初等函数的图象与性质，即可得解.

解：函数/'(X)=%4的定义域为R,单调增区间为(0,+8),

单调减区间为(一8,0),是偶函数，值域为［0,+8).

选项A,y=2闭一1的定义域、单调区间、奇偶性、值域与/(x)=%4均相同，符合题意；

选项8,丫=吕的值域为。1),不符合题意；

选项C,y=J的定义域、单调区间、奇偶性、值域与f(x)=/均相同，符合题意；

选项。，y=|lg(x+1)|的定义域为(一1,+8),不符合题意.

故选：AC.

10.答案：ABC

解析：解：对于4因为当M在4。上运动时，AD11平面4B1CD,

于是4D1J.CM,所以4对；

对于8,因为点M存在无数个位置满足到直线4。和点。1的距离相等,

即抛物线段，因为G51平面

所以GD1JLMQ,MD即为M到直线C】Di距离，所以B对；

对于C,三棱锥B-GMD的体积等于三棱锥M的体积，

当M运动到4时其体积最大，体积为1-44=：,所以C对;

o3

施r-

对于D,因为CO〃GDi//4Bi，NMB1a=。为异面直线与CD所成的角，tan。生丝＞三=立

4出-12

等所以。＞30°，所以。错•

故选：ABC.

根据直线和平面位置关系，寻找满足条件的点M即可判断4BC；寻找成角最小者大于30。判断。.

本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，属于基础题.

I1.答案：AD

解析：解：••"Q)=sin(3x+》在区间(一/0)内单调,

c/7T、7TT7F、7T..”八

,•.°_(一石)=逅二3=而21?二|3|312,

:尸得，0)是/(x)的一个对称中心，

3+3=kn(k6Z),co=8/c—2(/c6Z),

又•・,|s|W12,Aco=-10,—2,6,

①当3=-10时，1久6(一《0),・••一10%+：€(3,詈)，

・・・/(x)=sin(5+力在区间(一50)内不单调，舍去.

②当3=_2时，•••)€(_/()),—2X+含《珍

•••/(x)=sin(3x+》在区间(一/0)内单调，a=-2.

③当3=6时，丁》6(一春,0),二6x+?e(—3W),

•••/(x)=sin(3x+》在区间(-《O)内单调，二0)=6.

综上所述，3=-2或3=6.

故选：AD.

由单调性和对称性分别求出3范围，确定3的值，再根据3值分类讨论即可.

本题考查三角函数的周期性，三角函数的对称性等基本知识，是基础题.

12.答案：AB

解析：解：对于4因为a<b,所以a+c<b+c,故A正确；

对于8,因为a<b,所以一a>—b,所以e-a>e-,故B正确；

对于C,若C=0,则数2=尻2,故C错误；

对于D,取a=—2,b=T,贝哈=2,3=)贝.>.故。错误.

故选：AB.

由不等式的基本性质逐一判断即可.

本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.

13.答案：V5

解析：

本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力.

直接利用分段函数，逐步由里及外求解即可.

解:函数询=麻蓝”

则f(/(一2))="(-2)2+1)=f(5)=V5.

故答案为：V5-

14.答案：2

解析：解：根据题意，函数/'(x)满足/(x+2)・/(x)=4,①

则有f(x+4)-/(x+2)=4,②

又由f(x)>0,联立①②可得：/(x+4)=/(x),即函数/Q)的周期为4,

在/(x+2)"(x)=4中，令％=-1可得：/'(1)/(—1)=4,

又由函数f(x)为偶函数,BPf(-l)=/(l),

则有/(1)2=4,又由/(x)>0,则有f(l)=2,

则/(2017)=/(I+4x504)=/⑴=2；

即/(2017)=2；

故答案为：2.

根据题意，由/(X+2)・f(x)=4①可以构造/(x+4)•/(%+2)=4②，联立两个式子可得/(X+

4)=/(%),即函数f(x)的周期为4；在『(》+2)"(乃=4中令4=-1可得/(1)/(-1)=4,结合函

数为偶函数可得f(1)2=4,计算可得/(I)的值，由函数的周期性可得/(2017)=/(I+4x504)=

/(I),即可得答案.

本题考查函数值的计算，涉及函数的奇偶性与周期性，关键是求出/(I)、/■(-1)的值.

15.答案：竽

解析：解：：xlogj=1

:.x=log：则4*+4T=4‘°。23+^-iog23

1

=9+9

_82

=豆

故答案为:y

若;dog女=1,解方程易得久的值，代入即可求出4工+4-》的值.

对数式的性质是解决本题的关键：如logab」ogi>a=1,aSgoN=N,loga(aN)=N等,希望大家熟

练掌握

16.答案：0

解析：

利用倍角公式降累，然后取％=*求解三角函数值；再由％的范围求得相位的范围，可得函数f(x)在

⑼自上的值域.

本题考查两角和与差的三角函数，考查y=4sm(3%+3)型函数的图象与性质，是基础题.

解：/(%)=V3cos2x—sinxcosx—/

l1+cos2x1A/3

=v3-------------sin2x———

V31

=--cos2x--sin2x

22

71

=cos(2x+—).

6

则燃)=cos(2x看+§=cos]=0；

由得2》+,6弓,福，

f。)G[-1,-^-].

故答案为：0;

17.答案：解：(1)依题意可得：A={1,2},C={3,4,5,6,7,8)

又B={1,234,5}

所以4U(BnC)={1,2}U{3,4,5}={1,2,3,4,5}.

(2)回={6,7,8}U{3,4,5,6,7,8}={3,4,5,6,7,8).

解析：本题考查了集合的表示以及运算，属于基础题.

(1)注意代表元素的属性，先求出满足条件的集合A、C中的元素，根据集合的交、并运算即可得解;

(2)先求出集合B在U中的补集，进而可求.

-tanacosacosa

18.答案：解：(1)原式=—COSa.

-cosatana

(2)向量4五+b=2(1,0)+(1,1)=(4+1,1).

又向量43+方与向量不=(6,2)共线，

***2(4+1)—6—0,

解得4=2.

解析：(1)利用诱导公式即可得出；

(2)利用向量共线定理即可得出.

本题考查了诱导公式、向量共线定理，属于基础题.

f墩qf31

19.答案:(1)/(%)=sim•I(2)I-1

t触Xk,占J

解析：(1)由图象知M=l,

/(x)的最小正周期7=4x：•一故3=^=2.

ff协q

将点।£二1i代入/(%)的解析式得sini益普蝌=1,

依睁/>

BP—4-(p=2kn+—,cp=2kn+—,kWZ,)^\(p\<—•,•(p=—.

挈$籁公解

f哥iq

故函数f(%)的解析式为f(X)=sim—।.

(2)由(2Q—c)cosB=bcosC,得(2si/L4—sinC}cosB=sinBcosC,

・•・2sinAcosB=sin(8+C)=sinA.

.“A-?八统”「酬

vsinAWO,-cosB=—,XB=一,••・A+C=——.

20.答案：解：(/)直线l的方程为:y=kx+l/.•点M(0,m)到直线，的距离为1,1,

A|m-1|=V14-fc2,

••1\k\G[Y，V3],VT+k^e[誓,2].

r3+2V3Q-1,.r[3-2V3-.

机e[—^--3]u[-1(--]•

(//)m=鱼+1时，k=±1.

由对称性不妨取k=1时，y=x+1,

联立化为：a/=x,x40,解得％=；,.yp=：+1,p("i).

•・•△4PQ的内心恰好是点M,利用抛物线的对称性可得Q(-15+1).

由三角形内心的性质及其已知可得：5+1—(应+1)=1,解得。=近一1.

.•.此二次函数的解析式为y=(V2-l)x2+1.

解析：(/)直线/的方程为：y=kx+l.由点M(0,zn)到直线1的距离为1,可得黑^=1,根据冈e

停,旧］,可得［誓,2］,即可得出.

(//)m=V24-1时，k=±1.由对称性不妨取k=1时，y=%+1,与抛物线方程联立化为：ax2=%,

X*0,解得X,「(，；+1).由于443(2的内心恰好是点时，利用抛物线的对称性可得。(一；,；+1).由

三角形内心的性质及其已知可得：5+1—(&+1)=1,解得a.

本题考查了二次函数的图象与性质、点到直线的距离公式、三角形内心的性质，考查了推理能力与

计算能力，属于难题.

21.答案：解：(1)设污水处理池的宽为x米，则长为等米.

248

则总造价/(x)=400x(2x+文詈)+x2x+80x162=1296%+空咚理+12960

=1296(%+—)+12960>1296X2x卜产+12960=