2021年高考名校地市数学好题全真模拟卷2（广东专用）2月卷（解析版）

备战2021年高考数学名校、地市好题必刷全真模拟卷2月卷

第二模拟

一、单选题

1.（2021•陕西榆林市•高三一模（文））集合A={3,log?a},B={“,）},若4口3={0},则AUB=（）

A.{0,3}B.{0,1}C.{0,2,3}D.{0,1,3）

【答案】D

【分析】

因为An3={0},求得。=1,则〃=0,得到集合A={3,（）},8={1,0},结合集合并集的概念及运算，即

可求解.

【详解】

由题意，集合A={3,k>g2a},8={a,b},

因为An8={0},所以log2a=0,解得。=1,则〃=0

所以集合4={3,0},3={1,0},所以AU8={（）,1,3}.

故选：D.

2.（2020・贵州贵阳市•高三其他模拟（理））设复数Z=二二，则复数Z的虚部为（）

1+Z

A.-2/B.-2C.2iD.2

【答案】B

【分析】

利用复数的除法运算法则、虚部的定义即可得出.

【详解】

3-Z(3-z)(l-z)2-4z

复数z="j~：=y——r~~-=——=l-2i,故虚部为-2.

1+z(l+«)(l-«)2

故选：B

3.(2021•云南曲靖市•高三一模(理))定义：abcde=1()0()()«+1()00/?+l()0c+10J+e»当五位数abcde

满足a<b<c,且c>d>e时，称这个五位数为“凸数”.由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位

数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为()

1111

A.—B.—C.—D.—

6101220

【答案】D

【分析】

由列举法列举出满足条件的基本事件，即可根据古典概型的概率公式求出结果.

【详解】

由题意，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：

12543,13542,14532,23541,24531,34521,共6个基本事件,

所以恰好为“凸数”的概率为P=2=L.

12020

故选【)

【点睛】

本题主要考查古典概型，列举法求古典概型的概率只需熟记古典概型的概率公式即可求解，属于基础题型.

4.(2021•江西高三其他模拟)已知函数/(X)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数都

有必止电3<0,记.=型，c=-止生则()

X,-X23'’2

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【分析】

对任意两个不相等的正数百,w，都有\/（%）一"/（.）<0,判断工60在（0,+8）单调递减，再证明

Xj-x2X

以D是（3,（））D（0,上的偶函数，根据单调性判断即可

X

【详解】

解：不妨设0<%<X2,则X1-工2<0，

因为｛2）<0,所以毛/（%）_玉/（赴）>0,

%一芯2

K|J------------->---------------

玉工2

"D在（0,+纥）单调递减，

X

因为函数/（X）是定义在R上的奇函数，

-X-XX

是（—,0）5°，”）上的偶函数

X

*

-口=皿c=_ZM=/(=2)=/(a

v7-112-223

所以a<cv〃

故选：A

【点睛】

考查根据式子的结构构造新函数的能力，同时利用单调性比较大小，基础题.

5.（2021•陕西宝鸡市•高三一模（理））已知双曲线。：［—马=1（。>0力>0）的左、右焦点分别为F、，F2,

a~b~

且以6鸟为直径的圆与双曲线C的渐近线在第四象限交点为P,交双曲线左支于。，若2雇=/，

则双曲线的离心率为（）

A.巫士1B.V10C.亚土1D.75

22

【答案】A

【分析】

写出圆方程，与渐近线方程联立解得得P点坐标，由2而=不可表示出。点坐标，。点坐标代入双曲线

方程整理后可求得e.

【详解】

6（-c,0），K（c,0）,圆方程为"+>2=c2,

222

X+JV=Cxc=a

由《b，由。2+力2=02,>0,y<0,解得<,即？（〃,—〃）,

y=-xx[y=-b

设。和），由雇=诙，得/=--—,

Go,2（«-x0,-£>-y0）=2（x0+c,y0）,y0=,

因为。在双曲线上，

.（♦一2c）2b22

二=1,（l—2e）2=10,

9a1-处2

z|jA/10+1z1—J10仝土、

解得=舍去)，

e2-------(e=--------

22

故选：A

【点睛】

关键点点睛：解题关键是找到关于a*,c的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线

相交得P点坐标，由向量线性关系得。点坐标，代入双曲线方程可得.

6.(2021・河南郑州市高三一模(文))设“力是/?上的奇函数且满足/5-1)="%+1),当()《兀41时，

/(x)=5x(l—％)，贝厅(一2020.6)=()

21786

A.—B.—C.---D.---

251055

【答案】D

【分析】

由题意可知，/(%)是以2为周期的周期函数，进而可得(-2020.6)=/(-0.6),再利用奇函数的性质

可求得结果.

【详解】

对任意的xwR，/(x-l)=/(x+l),即/(x)=f(x+2),

所以，函数/(x)是以2为周期的周期函数，2020.6)=〃-0.6),

由于函数f(x)为R的奇函数,且当OWxWl时，/(x)=5x(l—力，

因此,/(-2020.6)=/(-0.6)=-f(0.6)=-5x0.6x(1-0.6)=-1.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合

在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、

填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；

（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.

（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值

的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；

（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用

奇偶性和单调性求解.

2*3

7.（2021•河南郑州市•高三一模（理））函数y="的图象大致为（）

4、+1

【答案】B

【分析】

判断函数奇偶性得函数为奇函数，排除C,再根据特殊值即可得答案.

【详解】

2X+Ix32x3

解:函数/(X)，函数定义域为R，

4V+12A'+2-v

-2r32无3

由于〃r)=,入=一—所以函数为奇函数，

v

」、)2T+2“2T+2')

故排除C,由于x>0时，/(x)>0,故排除D.

再根据A8选项，考虑特殊值/(4)="£=8x4：+88-8一8；故排除人，

V'44+144+144+1

故选：B

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置：从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

8.(2021•安徽淮北市•高三一模(理))某地气象局把当地某月(共3()天)每一天的最低气温作了统计，并绘

制了如下图所示的统计图.记这组数据的众数为M,中位数为M平均数为P,则()

A.M<N<PB.N<M<PC.P〈M=ND.P<N<M

【答案】A

【分析】

由统计图分别求出该月温度的中位数，众数，平均数，由此能求出结果.

【详解】

解：由统计图得：

该月温度的中位数为村=孚=5.5,

2

众数为M=5，

平均数为P」(2x3+3x4+10x5+6x6+3x7+2x8+2x9+2x10)=5.97.

30

..M<N<P.

故选：A.

二、多选题

9.(2021•湖南长沙市•长沙一中高三月考)设x,y为实数满足1WXW4,0<^<2,则下列结论错误的是

()

A.1<x+y<6B.\<x—y<2

Y

C.0<xy<8D.—>2

y

【答案】BD

【分析】

由不等式同向可加判断出A正确：由0<y42得出一2«—y<0,再利用不等式同向可加判断出B错误;

由不等式同向且正可乘判断出C正确；由0<y42得出:再利用不等式同向且正可乘判断出D错误.

2y

【详解】

V1<X<4,0<y<2,.,.!<%+^<6,A正确；

Vl<x<4,-2<-y<0,：.-\<x-y<4,8错误；

V1<%<4,0<y<2,/.0<Ay<8,C正确；

,、1/%、1

1<x<4>0<-,D错误.

2y>2

故选：BD

10.(2021•江苏泰州市•高三期末)已知函数/(x)=sin(cosx),则下列关于该函数性质说法正确的有()

A.f(x)的一个周期是2"B./(x)的值域是[—1,1]

C.f(x)的图象关于点(万,0)对称D.f(x)在区间(0,%)上单调递减

【答案】AD

【分析】

根据正弦型函数的性质，结合余弦函数的性质逐一判断即可.

【详解】

A：因为/(x+2;r)=sin[cos(x+2))]=sin(cosx)=/(x),

所以2〃是函数/(x)的周期，故本选项说法正确；

B：因为—IWCOSXWI，[-1」]£[一彳,治，

22

所以sin(-l)〈sin(cosx)〈sinl=/(x)G(-sinl,sinl],

故本选项说法不正确；

C：因为/'(%)=sinfcos(^)]=sin(-l)=-sin100,

所以/(X)的图象不关于点(肛0)对称,

故本选项说法不正确；

D：因为xe(0,乃)，所以函数丁=(^$了是单调递减函数，

因此有—1WCOSXW1,而［—1,1］。［—工，之，所以/(幻在区间(0,乃)上单调递减，

22

故本选项说法正确.

故选：AD

近.皆一甘心转川、口后2m(x2+l)/.、2

11.(2021•福建高二其他模拟)已知/(幻=__Z-l，g(x)=(//z+2)(x2+l).若

0(x)=e-/(x)-驾有唯一的零点，则机的值可能为()

e

A.2B.3C.-3D.-4

【答案】ACD

【分析】

通过以x)=e'U(x)一里只有一个零点，化为(〃?+2)(q>-2加¥?+1=0只有一个实数根.

eee

*2+

令f=二1，利用函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，通过①当机=2时，②当阳=3时,

ex

③当机=一3时，④当，〃=-4时;验证函数的零点个数，推出结果即可.

【详解】

22

解：/(©=2〃心:型)_［,gW=(w+2)(x+l).

e

•••夕(x)=^Uf(x)一驾只有一个零点，

e

2

：.2m(x+1)-g._(>^+2)(-v-+ir=o只有•个实数根，

即(加+2)(。)2一2词白1+1=0只有•个实数根.

ee

X2+1(x2+\)'ex-(x2+l)e*-(x-I)2

令『=上工L则/'=,,o,

e'(e')2

x2+1

.・.函数1在R上单调递减，且时，^->0,

ex

/+]

.・.函数方=上上L的大致图象如图所示,

eA

所以只需关于，的方程(机+2)/一2"/+1=0(*)有且只有一个正实根.

①当机=2时，方程(*)为4r—由+1=().解得『=’，符合题意;

2

②当加=3时，方程(*)为5/—6f+l=0,解得f或f=l，不符合题意:

③当加=—3时，方程(*)为产_6/—1=0,得r=3土而，只有3+屈>0,符合题意.

④当〃?=T时，方程(*)为2“一8—1=0,得y4±3佟只有4+3&>o,符合题意.

22

故选：ACD.

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，函数的零点以及数形结合，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，属

于难题.

12.（2021•福建高三其他模拟）在正三棱锥A-BCD中，侧棱长为3,底面边长为2,E,尸分别为棱AB,

CD的中点，则下列命题正确的是（）

32

A.EF与AO所成角的正切值为一B.EF与AO所成角的正切值为§

2

C.A5与面4。所成角的余弦值为述7

D.A8与面AC。所成角的余弦值为§

12

【答案】BC

【分析】

如图所示，先找出EF与所成角再求解,再找出AB与面ACD所成角求解.

【详解】

（1）设AC中点为G，BC的中点为“，连接EG、FG、AH、DH，

因为AE=BE，AG=GC,CF=DF,

所以EG//BC,FG//AD.

所以DEFG就是直线与所成的角或补角,

3

在三角形E/G中，EG=1,FG=j

2

由于三棱锥A-BCD是正三棱锥，BC1DH,BCLAH,

乂因为AH,HOu平面AO”，AHcDH=H，所以BC，平面ADH，

QADu平面4）”，所以3C_LA£>,所以EGJ_EG,

/尸巾=空=_1=2

所以ianz"u-而-—所以A错误B正确.

2

（2）过点5作8。垂直A尸，垂足为。.

因为COLBE,CD1AF,BEnAE=F,B£AEu平面A3户,

所以8,平面45/，:BOu平面AB尸，所以CDL8O,

因为B0L4E，AEnC7)=F,AE,Cr>u平面AC。，所以5O_L平面ACD,

所以N84O就是AB与平面ACD所成角.

9+8-3_14_J_五

由题得BF=>^,AF=2j5,AB=3,所以cos/BAO

232夜-12后一12

所以C正确D错误.

故答案为：BC.

【点睛】

本题主要考查空间异面直线所成的角的求法，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识

的理解掌握水平.

第II卷（非选择题）

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三、填空题

13.（2021•江西高三其他模拟）数列｛4｝中，a,=1,%.=2%+13N*），贝!I

a

C5\+C5a2+C5%+C5a4+C5%+Cg4=------------

【答案】454

【分析】

由。,出+1=2（q+1）,结合等比数列的定义和通项公式可求出2"-1,结合二项式定理可求出

+C；%+C；a4+C；a$+的值.

【详解】

解：因为a,用+1=2%+2=2（%+1）,所以｛%+1｝以2为首项，

2为公比的等比数列,所以a,+l=2x2"T=2",所以4=2"-1,

则C；%++C5+C：%+C；%+

=^x2+C!x22+C^x23+(^x24+C5x25+C^X26-(€^+C^+C^+C5+C^+C,)

XC5X2+C>22+CSX23+C^X24+C,x25+c^x26

=2X(C^X2°+C^X21+C^X22+C5X23+C5X24+C^X25)

=2x(1+2)5=486，

C；+G+C；+C；+C；+C：=2,=32,所以原式=486—32=454,

故答案为：454.

【点睛】

关键点睛：本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量.

14.(2021•河南郑州市•高三一模(理))已知〃x)=(x2+2x+a)/,若/(x)存在极小值，则“的取值范

围是•

【答案】(…⑵

【分析】

求出函数〃尤)的导数，根据f(x)存在极小值，可得对应的二次方程有两个不等的实根，由A>0即可求

解.

【详解】

(x)=(2x+2)e*+，+2x+a)e*=e*，+4x+a+2),

若存在极小值，则/(x)存在极小值，

所以方程f+4x+a+2=0有两个不等的实根，

所以八=16—4(。+2)>0,解得：a<2,

所以。的取值范围是(F,2),

故答案为：（-8,2）

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是根据函数有极值点可知导函数有变号零点，由于导函数的符号由

y=f+4x+a+2决定，因此抛物线应与“轴有两个交点，这是解题的突破点.

15.（2020•四川省内江市第六中学高三其他模拟（理））若直线2x+4y+m=0经过抛物线y=2/的焦点，

则加=.

【答案】一二

2

【分析】

由抛物线的方程可得焦点坐标，代入直线方程可得加的值.

【详解】

y=2x?可化为V,焦点坐标为（0,1]

由题意可得：2x0+4x』+〃7=0,故m=-』.

82

故答案为：-

2

【点睛】

本题考查抛物线的性质及点在直线上的性质，属于基础题.

16.（2021•河南郑州市•高三一模（文））如图所示，正方体ABCO-AgGR的棱长为4,MN是它内切球

的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦用N的长度最

大时，的两•两取值围是.

Bi

【答案】[0,8]

【分析】

首先确定弦MN过球心O,再通过建立空间直角坐标系，利用坐标法得到

~PM・丽=（2-x）2+（2-»-z（4-z）,再通过构造几何意义求~PM-PN的最大值和最小值.

【详解】

当弦MN的长度最大时，弦过球心。，

如图，建立空间宜角坐标系，不妨设是上下底面的中心,

则“(2,2,4),N(2,2,0),

P(x,y,z),PM=(2-x,2-yA-z),PN=(2-x,2-y,-z),

则两.而=(2_xy+(2_»_z(4_z)

=(X-2)2+(J-2)2+(Z-2)2-4,

而（x—2）2+&-2）2+（2—2）2表示点尸（工,％2）和定点（2,2,2）距离的平方，很显然正方体的顶点到定点

（2,2,2）距离的平方最大，最大值是（g"2+42+42）=12正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最

小值是4，所以两.两的最小值是4-4=0,最大值是12-4=8.

故答案为：[0,8]

【点睛】

关键点点睛：本题第一个关键点是确定MN过球心。，利用对称性设M（2,2,4）,N（2,2,0）,第二个关

键点是构造两点间距离的几何意义丽・丽=（x—2）2+（丁一2）2+（2-2）2-4求最大值和最小值.

四、解答题

4

17.（2020•广东高三一模）从条件①%—a=2c、cosA,②ctanC-acos3=Z?cosA,@ccosB-a=—b

中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.

在EIABC中，内角A,B,。所对的边分别为“，b,c,且“=1,6=百，,求DABC的

面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.

【答案】答案见解析.

【分析】

若选①，利用余弦定理可得02=“人，求出角后可计算三角形的面积.

若选②，利用正弦定理可得tanC=l,求出角后可计算三角形的面积.

4

若选③，利用正弦定理可得cosC=-《，求出角的正弦后可计算三.角形的面积.

【详解】

解：选择①，因为26-。=2ccosA,

力2+02—CT〃+。2_CT

所以由余弦定理得2〃—。=2c=，

2bcb

所以=ab，

所以由余弦定理得cosC==@_=_L,而C为三角形内角,

2ab2ab2

所以sinC=^~,

2

所以口48。的面积为』a6sinC=LxlxGx巫=』.

2224

选择②，因为ctanC-acos3=Z?cosA,

所以由正弦定理得sinCtanC—sinAcosB-sinBcosA,

所以sinCtanC=sinAcosB+sinBcosA=sin(A4-B)=sinC.

又0＜。＜%，所以sinCVO,

所以tanC=l,而C为三角形内角，所以C=工，所以sinC=Y2，

42

所以口48。的面积为』ab.sinC=」xlxGx^=^.

2224

4

选择③，因为ccosB-a=，

4

所以由正弦定理得$抽。(：003-§皿4=1$也3,

即5sinCcosB-5sin(B+C)=5sinCcos3-(5sinBcosC+5cosBsinC)=4sinB,

所以sinB(4+5cosC)=0.

又0<3<%，所以sinBwO,

43

所以cosC=一《，而C为三角形内角，所以sinC=—，

55

所以DABC的面积为』H.sinC=LxlxGx3=£L

22510

【点睛】

思路点睛：在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这

种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.

18.（2021•云南曲靖市•高三一模（理））已知数列｛叫的前〃项和为S“=g（23”+-2）（〃€N）

⑴求数列｛4｝的通项公式；

111

⑵设a=log2%，^T7-+TT-+---+TT—

她她“%

【答案】（1）a“=23i（〃eN*）；⑵-^―

3〃+1

【解析】

试题分析：（1）根据a,=S“-S,i得出递推关系式，再计算％,从而可求出数列｛4｝的通项公式；（2）由

111

（1）得数列也｝的通项公式,结合裂项相消法即可求得工厂+工+…+工丁

她b2b3bnbn+i

3,,+|3,,23,!2

试题解析：(1)当“N2时，an=S„-S„_,=1(2-2)-^(2--2)=2-

当〃=1时，q=R=2=23+2,符合上式

所以4=23"2(〃eN)

3n2

(2)由⑴=log22-=3«-2.

・---+---+…+----=-------+---------+…+--------------------------=-[(]-—)4-(----------)+•••+(•)]

她b力3她,“1x44x7(3〃-2)(3〃+1)34473/1—23H+1

n

3〃+1)-

3〃+1

点睛：本题主要考查等比数列的通项以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求

和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂

项技巧：（1）---=------7；（2）/尸=；（，〃+后一6）;（3）

n[n+k）k\nn+kJ\Jn+kI+\Jnk\'

1If111「11]”

-------------=--------------I•（4）--------------=.叶夕卜.

（2〃-1）（2”+1）2（2〃-12n+lJ++2------+++

需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

19.（2021•陕西宝鸡市•高三一模（理））如图三棱柱ABC-A£C中，底面口ABC是边长为2的等边三角

形，E,b分别为AB,A4的中点，CE±FBt,AB=&入=^~EB「

（1）证明：所，平面CEB.

（2）求两面角E-C6-4的平面角大小.

71

【答案】（1）证明见解析（2）-

3

【分析】

（1）通过计算可得收，七与，通过证明CE_L平面AB44,可得。£，砂，再根据直线与平面垂直的

判定定理可得防J_平面CEB}.

（2）先说明直线EB，CE.两两垂直，再以丽，EC，成的方向为x,y,z轴的正方向，以点E

为原点，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量可求得结果.

【详解】

（1）证明：设AA=2。，,••48=044|=¥破］，

则AB=2形a，EBi=屈a，BB】=2a,

:点E为棱A8的中点，，£8=缶，

EB；=EB2+BB；,/.EB1BB「

.•三棱柱ABC-A&G的侧面为平行四边形，

♦ABB{\

...四边形43用4为矩形，

,••点尸为棱AA|的中点,

FB：=4尸+aB：=9a2,FE2=AF2+AE2=3a2，

二FB；=EF2+EB；,：.EF±EB「

三棱柱的底面ABC是正三角形，E为AB的中点,

：.CE±AB

且ABi平面ABgA，口片（=平面43d4,且AB,尸耳相交，

二CE_L平面ABB|A，平面AB耳A「CELE/L

ECQEB^E,：.EF±平面CEB,

(2)由(1)可知CE_L平面BB|_L平面ABC,

二三棱柱ABC—AgG是正三棱柱，

设AB|的中点为历，则直线£5，CE，EM两两垂直，

分别以丽，反，防的方向为x,y,z轴的正方向，以点E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

设E(0,0,0),C(0,V6cz,0),F(-应a,0,a),耳(血a,0,2a),

CIVIU,—Clcall.—.—UUUL

则EF=(,-yj2a,0,a)，FC=(V2«,y/6a,-a)FB]=(2J2a,0,a).

n-FC=Qyflax+\/6ay-az=0

设平面C尸耳的一个法向量为另=(x,y,z),则v一，则〈L，则

n-FB,=02yl2ax+0xy+az=0

不妨取x=l,则y=—G，则z=_2a，所以5=(1,-62&),

-[m-FC=0,[V2ar+V6a>'-az=0

设平面CM的一个法向量为叫(“z)，则[和丽=o,则「夜…。,)­°

JA/2X+瓜y-z=0

[-V2x+z=0

令尤=1,则y=0,z=血，

所以2=(1,O,J5)

—>—>1X1一6xO-2夜X0

cos(«,m)

71+2-71+3+8-6_2

乂因为该二面角为锐角,

TT

则二面角£一。尸一片的平面角的大小为一.

3

【点睛】

方法点睛：利用空间向量求二面角时，首先要建立合适的空间直角坐标系，其次要正确写出点的坐标，特

别注意遇到不容易写的点坐标可以单独分离出底面直角坐标系求解，在计算平面法向量时，注意不定方程

求解方法，最后利用向量夹角公式求解.

20.（2021•陕西宝鸡市•高三一模（理））自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国2020

年4月9日-12月14日每隔25天统计1次共11次累计确诊人数（万）.

日期（月/日）4/095/045/296/237/188/13

统计时间顺序X123456

累计确诊人数y43.3118.8179.4238.8377.0536.0

日期（月/日）9/0610/0110/2611/1911/14

统计时间顺序X7891011

累计确诊人数646.0744.7888.91187.41673.7

（1）将4月9日作为第1次统计，若将统计时间顺序作为变量X,每次累计确诊人数作为变量V,得到函

数关系y=ad"(a力＞0).对上表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的值

IH1111/_____、

y=603.09,—Z1”,=5.98,-x)(yf-y)=15835.70,丈为一工)(始yt-lny)=35.10,

11/=1/=1/=1

1111______

Z(x,-x)=110,Xfy)2=11.90,e406»57.97»e407«58.56»e”屋59.15.根据相关数

1=1/=]

据，确定该函数关系式(函数的参数精确到0.01).

(2)经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的

潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒.

如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3,在一次36人的家庭聚餐中，只有一位感染者参

加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为X,求X=Z最有可能(即概率最大)的值是多少.

【答案】(1)y=57.9712'(2)k=l0

【分析】

(1)根据y=aehx,化为Iny=反+Ina,求线性回归方程即可；

CP(X=A)2P(X=I)

(2)由题意知*~8(35,0.3),要使尸(*=6最大，建立不等式《八，求解即可.

P(X=k)＞P(X=k+l)

【详解】

(1)因为y=ae"*(。,。＞0),所以lny="r+lna,

11_____

35.10

由已知得g=———-------------=0.32,

以一十110

1=1

Ina=Iny-0.32元=5.98-0.32x6®4.06,a=e406«57.97,

所以所求函数方程为y=57.97e032,

(2)设余下35人中被感染的人数为X,则X〜8(35,0.3),

P(X=k)=牖03*xO.735-*,要使p(x=k)最大,

P(X=k)NP(X=k—l)

<

'[P(X=A)2P(X=Z:+1)'

Ai-136-Jt

C*50.3XOX>40.3x0.7

'C^0.3*x0.735-*>C^'0.3A+IxO.734"'

'0.3>0.7

■(35T)!—(1)!(36_幻!

即《，

0.7〉0.3

k1(35-k)C(k+1)1(34-k)l

10.8-0.3左N0.7左

化简得4,

0.7Z+0.7210.5—0.3%

解得9.8W&W10.8,

,/kGN,:.k=10,

所以X=kX-k最有可能（即概率最大）的值为:10.

炉+/

21.（2021•安徽淮北市•高三一模（理））已知椭圆C:R瓦=13＞。＞0）的离心率为左顶点为A,

右焦点尸，|河|=3.过尸且斜率存在的直线交椭圆于尸，N两点，P关于原点的对称点为M.

（I）求椭圆c的方程;

（2）设直线AM，AN的斜率分别为勺，k2,是否存在常数2,使得仁=/1网恒成立？若存在，请求出X

的值，若不存在，请说明理由.

22

【答案】(1)土+二=1,(2)2=3

43

【分析】

（1）依题意得到£=,，a+c=3,即可求出。、c,再根据°2=/一62,即可求出椭圆方程；

a2

（2）由（1）知产（1,0）,A（-2,0）,设直线PN的方程为x=sy+l,P（±,y）,N（x2,y2）,M（一和一X）,

表示出占，k2,联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可求出参数的值；

【详解】

解：（1）因为离心率为上，所以0=£=',又|4/|=3,所以。+。=3,解得。=2,c=l，又02="—/，

2a2''

22

所以〃=3,所以椭圆方程为土+上~=1

43

（2）由⑴知尸（1,0）,4（-2,0）,设直线PN的方程为％=冲+1,P（%，X），Ngyj

因为M与尸关于原点对称，所以M（—玉,一y）

所以K=~，&=-匕7

x1-2%+2

若存在4,使得勺=2卷恒成立，所以工7=丸上彳

王一2%+2

所以X（々+2）=X%（百一2）

两边同乘Ji得城（工2+2）=Zy2y（不一2）

22

又因为P（x，y）在椭圆上，所以］-+号=1

所以w=3［一斗］=3（2T2+XJ

44

所以3（2-?（2+XJ/+2）=办诩&_2）

当西力2时，则一］（2+内）（工2+2）=/'2yl

所以一3A2石一6（々+司）—12=44y2yl①；

当Xi=2时,。与A重合,

-9

x=my+\

22

联立方程Idy消元得（3〃/+4））2+6冲-9=0,所以《3m+4

—+2-=1-6m

143%+X==。彳