辽宁省锦州市第六中学高三数学理联考试题含解析

辽宁省锦州市第六中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若，则(

)A．

B． C．

D．参考答案：B因为，所以，所以．故选B．

2.设则的关系是(

)A．

B．

C．

D．

无法确定参考答案：A3.若集合A=，则实数a的取值集合为（

）A.

B.C.

D.参考答案：B略4.设，则“”是“直线和直线平行”的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C.充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C5.已知实数成等比数列，且对函数，当时取到极大值，则等于（）A．﹣1B．0C．1D．2参考答案：A试题分析：由，即，所以，y的极大值为，所以，又因为，所以.故选A.考点：1.等比数列性质；2.函数的最值求解.

6.已知，，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则参考答案：C7.如图，已知双曲线：的左焦点为，为虚轴的一端点.若以为圆心的圆与的一条渐近线相切于点，且，则该双曲线的离心率为（

）A．2

B．

C．

D．参考答案：D8.已知锐角α，β满足，则sinα的值为

（）

A．

B．

C．

D．0参考答案：答案：A9.某程序框图如图所示，该程序运行结束时输出的S的值为（）A．1007 B．1008 C．2016 D．3024参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（1+1）+（0+1）+（﹣3+1）+（0+1）+…++（0+1）+（﹣2015+1）+（0+1）=2+…+2=2×504=1008所以该程序运行后输出的S值是1008．故选：B．10.把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B由题意可知，硬币的圆心必须落在小正方形中，如图：该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为，故选：B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知两圆的方程分别为和，则这两圆公共弦的长等于__________.参考答案：考点：两圆的位置关系．【名师点睛】1．两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．2．处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．12.若，，则_________________.参考答案：略13.设，向量，若，则______.参考答案：

14.已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）．参考答案：①④【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】综合题．【分析】①∵若m⊥α，m⊥n，∴n?α或n∥α再由面面垂直的判定定理得到结论．②根据面面平行的判定定理判断．③若m⊥α，m⊥n，则n?α或n∥α，再由面面平行的判定定理判断．④若m⊥α，α∥β，由面面平行的性质定理可得m⊥β，再由n∥β得到结论．【解答】解：①∵若m⊥α，m⊥n，∴n?α或n∥α又∵n⊥β，∴α⊥β；故正确．②若m∥α，n∥β，由面面平行的判定定理可知，若m与n相交才平行，故不正确．③若m⊥α，m⊥n，则n?α或n∥α，由面面平行的判定定理可知，只有n∥β，两平面不一定平行，故不正确．④若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又∵n∥β，则m⊥n．故正确．故答案为：①④【点评】本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理，综合性强，方法灵活，属中档题．15.则f（f（2））的值为

．参考答案：2考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题．分析：本题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的，故求解本题应先求内层的f（2），再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解析式求值．解答： 解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（22﹣1）=1＜2，故有f（1）=2×e1﹣1=2，即f（f（2））=f（1）=2×e1﹣1=2，故答案为

2点评：本题的考点分段函数，考查复合函数求值，由于对应法则是分段型的，故求解时应根据自变量的范围选择合适的解析式，此是分段函数求值的特点．16.从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于另一个数小于（其中的概率是则__________________．参考答案：4或7【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/等可能事件的概率.【试题分析】从集合A中任取两个数的取法有种，因为取到的两个数中一个数大于k,另一个数小于k的概率是，所以事件的可能有种，即，解得或7，故答案为4或7.17.设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面截球的两个截面圆的半径分别为1和，二面角的平面角为，则球的表面积为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）三角形ABC中，由条件化简可得C=90°，故有a=2c．再由b2=ac利用正弦定理可得，sin2B=sinAsinC，化简求得cosB的值．（Ⅱ）根据b=，求得ac=b2的值，求得sinB=的值，再根据△ABC的面积S=ac?sinB，计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）三角形ABC中，∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C，∴sin（A+C）+sin（A﹣C）=4sinCcosC，∴sinA=2sinC，或cosC=0．∴a=2c，或C=90°（不满足a，b，c成公比小于1的等比数列，故舍去）．由边a，b，c成公比小于1的等比数列，可得b2=ac，∴b=c，∴cosB===．（Ⅱ）∵b=，cosB=，∴ac=b2=3，sinB=，∴△ABC的面积S=ac?sinB=．19.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+m|，m∈R．（1）当m=﹣4时，解不等式f（x）＜0；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）分类讨论解不等式，即可得出结论；（2）x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，即x﹣1＜|2x+m|，即可求m的取值范围．【解答】解：（1）当m=﹣4时，f（x）=|x﹣1|﹣|2x﹣4|，x＜1时，不等式可化为1﹣x+2x﹣4＜0，∴x＜3，∴x＜1；1≤x≤2时，不等式可化为x﹣1+2x﹣4＜0，∴x＜，∴1≤x＜，x＞2时，不等式可化为x﹣1+4﹣2x＜0，∴x＞3，∴x＞3，综上所述，不等式的解集为{x|x＜或x＞3}；（2）x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，即x﹣1＜|2x+m|，∴m＞﹣x﹣1或m＜1﹣3x，∴m≥﹣2．【点评】本题主要考查带由绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．20.如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，，.将△ABC沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2.（1）求证：A1O⊥BD；（2）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值.参考答案：（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由题意可得，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，可证；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用向量的方法求直线和平面所成角的正弦值.【详解】（1）连接.图1中，，，分别为，的中点，，即，又为的中点，.又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，.（2）取中点，连接，则.由（1）可知平面，平面.以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，，.，.设平面的法向量为，则，即，令，则，.设直线和平面所成的角为，则，所以直线和平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题.21.在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=（其中t为常数）．（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．参考答案：考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：（1）把曲线M的参数方程化为y=x2﹣1，把曲线N的极坐标方程化为x+y﹣t=0．曲线N与曲线M只有一个公共点，数形结合求得t的范围．（2）当t=﹣2时，曲线N即x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，由（1）可得t=﹣，故本题即求直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，利用两条平行线间的距离公式计算求得结果．解答： 解：（1）曲线M（θ为参数），即x2=1+y，即y=x2﹣1，其中，x=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈[﹣，]．把曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=（其中t为常数）化为直角坐标方程为x+y﹣t=0．由曲线N（图中蓝色直线）与曲线M（图中红色曲线）只有一个公共点，则有直线N过点A（，1）时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点B（﹣，1）之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以﹣+1＜t≤+1满足要求，当直线和曲线M相切时，由有唯一解，即x2+x﹣1﹣t=0有唯一解，故有△=1+4+4t=0，解得t=﹣．综上可得，要求的t的范围为（﹣+1，+1]∪{﹣}．（2）当t=﹣2时，曲线N即x+y+2=0，当直线和曲线M相切时，由（1）可得t=﹣．故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离，即直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，为=．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．22.（14分）已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出f（1）的值，求出f′（1）的值，然后直接代入直线方程的点斜式得切线方程；（Ⅱ）求出原函数的导函数，当a≥0时，在定义域内恒有f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，由导函数的零点对定义域分段，判出在各区间段内导函数的符号，由导函数的符号判断原函数的单调性；（Ⅲ）利用（Ⅱ）求出的函数的单调区间，分a≥0和a＜0讨论，当a＜0时求出原函数的最小值，由最小值大于0求解实数a的取值范围．【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=x+lnx，，∴f（1）=1，f'（1）=2，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣1=0；（II）函数f（x）=x+alnx，．当a≥0时，在x∈（0，+∞）时f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）与f'（x）在定义域上的情况如下：∴f（x）的单调减区间为（0，﹣a），单调增区间为（﹣a，+∞）．∴当a≥0时f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调减区间为（0，﹣a），单调增区间为（﹣a，+∞）．（III）由（I