山西省忻州市朝阳中学高三数学文摸底试卷含解析

山西省忻州市朝阳中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，若对于任意x[一1，1]都有≥0，则实数a的取值范围为A．（-,2] B．[0+）

C．[0,2]

D．[1,2]参考答案：D2.由直线x=,x=2,曲线及x轴所围图形的面积为()（A）

（B）

（C）

（D）2ln2参考答案：D3.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且f（1）=2，则f（2015）的值为（）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣1参考答案：C【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意可得答案．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），又∵函数f（x）为R上的奇函数，且f（1）=2，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，∴f（2015）=﹣2故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性，函数的值的求法，属基础题．4.已知集合，，则A∩B中元素的个数为（

）A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：B【分析】判断集合元素的属性特征，可以知道集合都是点集，所以就是求直线的交点，这样就可以确定中元素的个数.【详解】因为集合，，所以，所以中元素的个数为1，故本题选B.【点睛】本题考查了集合的交集运算.解决此类问题的关键是对集合元素属性特征的认识.5.在程序框图中，输入，按程序运行后输出的结果是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C由于程序中根据的取值，产生的值也不同，故可将程序中的值从小到大，每四个分为一组，即，．∵当为偶数时，；当为偶数，即时，；否则，即时，．故可知：每组的4个数中，偶数值乘以累加至，但两个奇数对应的值相互抵消，即，故选C．6.角的终边经过点A，且点A在抛物线的准线上，则

（）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.在中，有如下三个命题：①；②若D为边中点，则；③若，则为等腰三角形．其中正确的命题序号是（

）A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③参考答案：D略8.设，，在中正数的个数是()A.25 B.50 C.75 D.100参考答案：D【分析】由于的周期，由正弦函数性质可知，，，…，，，，…，，单调递减，，…都为负数，但是，，…，，从而可判断的符号，同理可判断的符号.【详解】由于周期，由正弦函数性质可知，，…，，，，，…，，且，…但是单调递减，都为负数，但是，，…，∴，，…，中都为正，且，，…，都为正，同理，，…，都为正，且，…，都为正，即个数为100，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用，属于中档题.9.若P＝＋

,Q＝＋，(a≥0)，则P，Q的大小关系为()A．P>Q

B．P＝Q

C．P<Q

D．由a的取值确定参考答案：A10.不等式的解集为M，且，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量，平面内三点、、满足，，，则实数m的值为

．参考答案：12.定义在上的函数满足，当时，，则函数在上的零点个数是____________.参考答案：1207由可知是以5为周期的周期函数，又在区间内有3个零点，故在任意周期上都有3个零点，故上包含402个周期，又时也存在一个零点，故零点数为.13.若函数

则方程的解为___________。参考答案：114.在极坐标系中，圆上的点到直线的最大距离为

．参考答案：15.若变量x，y满足条件且z=x+y的最大值是10，则k的值是．参考答案：5考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为x+y=10．由解得，即B（k，k），代入x+y=10得k+k=2k=10，解得k=5．故答案为：5点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．16.在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数.下列4个函数中是一阶格点函数的有

．①

②

③

④参考答案：②④17.已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某种类型的题目有A，B，C，D，E5个选项，其中有3个正确选项，满分5分.赋分标准为“选对1个得2分，选对2个得4分,选对3个得5分，每选错1个扣3分，最低得分为0分”在某校的一次考试中出现了一道这种类型的题目，已知此题的正确答案为ACD，假定考生作答的答案中的选项个数不超过3个.（1）若甲同学无法判断所有选项，他决定在这5个选项中任选3个作为答案，求甲同学获得0分的概率；（2）若乙同学只能判断选项AD是正确的，现在他有两种选择：一种是将AD作为答案，另一种是在B，C，E这3个选项中任选一个与AD组成一个含有3个选项的答案，则乙同学的最佳选择是哪一种,请说明理由.参考答案：（1）；（2）见解析【分析】（1）先确定甲同学获得0分时对应答题情况，再根据古典概型概率公式求解，（2）分别计算两种情况下得分的数学期望值，再比较大小，即可判断选择.【详解】（1）甲同学在这5个选项中任选3个作为答案得分为0分，只有一种情况，那就是选了1个正确答案2个错误答案.所以，所求概率.（2）乙同学的最佳选择是选择.理由如下：设乙同学此题得分为分，①若乙同学仅选择，则，的数学期望②若乙同学选择3个选项，则他可能的答案为，共3种.其中选择，得分均为分，其概率为；选择，得分为5分，其概率为.所以数学期望.由于，所以乙同学的最佳选择是选择.【点睛】本题考查古典概型概率以及数学期望，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.19.已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹．（2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=，求直线被曲线C截得的弦长．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由sin2α+cos2α=1，能求出曲线C的普通方程，再由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的极坐标方程，由此得到曲线C是以（3，1）为圆心，以为半径的圆．（2）先求出直线的直角坐标为x﹣y+1=0，再求出圆心C（3，1）到直线x﹣y+1=0的距离d，由此能求出直线被曲线C截得的弦长．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴由sin2α+cos2α=1，得曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，即x2+y2=6x+2y，由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，得曲线C的极坐标方程为ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ，即ρ=6cosθ+2sinθ，它是以（3，1）为圆心，以为半径的圆．（2）∵直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=，∴ρsinθ﹣ρcosθ=1，∴直线的直角坐标为x﹣y+1=0，∵曲线C是以（3，1）为圆心，以r=为半径的圆，圆心C（3，1）到直线x﹣y+1=0的距离d==，∴直线被曲线C截得的弦长|AB|=2=2=．【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查直线被圆截得的弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、普通方程、参数方程互化公式的合理运用．20.（本小题满分14分）w已知过点的直线与抛物线相交于、两点，、分别是该抛物线在、两点处的切线，、分别是、与直线的交点．

（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；（Ⅱ）试比较与的大小，并说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）设直线，则，

……①依题意，有或；w。w-w*k&s%5￥u（Ⅱ）由，所以抛物线在处的切线的方程为，即．令，得．

同理，得．w。w-w*k&s%5￥u

注意到、是方程①的两个实根，故，即，从而有，因此，．略21.(本小题满分14分)已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.参考答案：本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.（I）解：由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.（II）证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以a为底的对数，得，所以.（III）证明：曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由①得，代入②，得.

③因此，只需证明当时，关于x1的方程③有实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数t，使得因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.

22.在平面直角坐标系xOy中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆O：交于点A，B，与圆M：交于点C，D．（1）若，求CD的长；（2）若CD中点为E，求面积的取值范围．参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）先由AB的长度求出圆心O到直线AB的距离，列方程求出直线AB的斜率，从而得到直线CD的斜率，写出直线CD的方程，用垂径定理求CD得长度；（2）△ABE的面积，先考虑直线AB、CD平行于坐标轴的情况，不平行时先由垂径定理求出AB，再在△PME中用勾股定理求出PE，将面积S表示成直线AB斜率k的函数式，再求其范围.【详解】解：（1）因为AB＝，圆O半径为2所以点O到直线AB的距离为显然AB、CD都不