安徽省滁州市小溪河中学高三数学理期末试卷含解析

安徽省滁州市小溪河中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是(

)A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A【考点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用．【分析】求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A．【点评】考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．2.i是虚数单位，复数z=a+i（a∈R）满足z2+z=1﹣3i，则|z|=（）A．或 B．2或5 C． D．5参考答案：C【考点】复数求模．【分析】把复数z代入z2+z化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解得到a的值，然后由复数求模公式计算得答案．【解答】解：∵复数z=a+i，∴z2+z=（a+i）2+a+i=（a2+a﹣1）+（2a+1）i=1﹣3i，∴，解得a=﹣2．复数z=a+i=﹣2+i．则|z|=．故选：C．3.已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z)，且a⊥b.若x,y满足不等式，则z的取值范围为A..[-2，2]

B.[-2，3]

C.[-3，2]

D.[-3，3]参考答案：D

本题考查平面向量的数量积运算以及线性规划的基础知识.同时考查知识的综合应用能力和作图能力.因为，所以2x+3y=z，不等式可转化为，由图可得其对应的可行域为边长为，以点(1,0)，(-1,0)，(0,1)，（0，-1）为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x+3y=z过点(0，-1)时z有最小值-3，当过点(0,1)时z有最大值3.所以z的范围为[-3,3].4.若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17 B．14 C．5 D．3参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=2x+3y为，由图可知，当直线过A时，z有最小值为2×1+3×1=5．故选：C．【点评】本题考查了线性规划，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．5.已知，则的值为（ ） A. B. C. D.参考答案：D6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是

A．

B．

参考答案：A略7.函数的图像如图所示，A为图像与x轴的交点，过点A的直线与函数的图像交于C、B两点，则（

）A．―8

B．―4

C．4

D．8参考答案：D8.已知向量，，，若，则x=（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：A【分析】利用坐标表示出，根据垂直关系可知，解方程求得结果.【详解】，

，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查向量垂直关系的坐标表示，属于基础题.

9.设不等式组表示的平面区域为D．若直线ax-y=0上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）A. B. C.[1,2] D.[2,3]参考答案：B【分析】由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线ax-y=0上存在区域D上的点时的a的范围．【详解】解：由不等式组作出可行域如图，∵直线ax-y=0过定点O（0，0），要使直线ax-y=0上存在区域D上的点，则直线ax-y=0的斜率a∈[kOB，kOA]，联立，得A（1，3），联立，得B（2，1），∴．∴a，故选：B．10.定义在R上的函数的反函数为，且对任意的x都有=

（

）

A．3

B．2

C．6

D．4参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则sin2x=．参考答案：【考点】二倍角的正弦．【分析】由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．【解答】解：∵，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．12.函数的最小正周期T=__________参考答案：13.已知函数，若关于x的不等式＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是＿＿＿＿参考答案：14.已知，则中共有项．参考答案：15.把正整数排列成如图甲的三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列,若,则___．参考答案：103316.设当时，函数取得最大值，则______.参考答案：17.已如x，y满足且目标函数z=2x+y的最大值为7，则最小值为

．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品，同时获得国家补贴万元．（1）当时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

参考答案：（1）根据题意得，利润和处理量之间的关系：

…………2分，.∵，在上为增函数，可求得.

………………5分∴国家只需要补贴万元，该工厂就不会亏损．

………………7分（2）设平均处理成本为

………………9分，

……………11分当且仅当时等号成立，由得．因此，当处理量为吨时，每吨的处理成本最少为万元．

…………14分19.已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)，函数g(x)＝lnx.(1)当a＝1时，求函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值；(2)若在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方(没有公共点)，求实数a的取值范围；(3)当a＞0时，设h(x)＝|f(x)|，x∈[－1,1]，求h(x)的最大值F(a)的解析式.参考答案：20.己知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A、B两点，点．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．参考答案：（1），；（2）.【分析】（1）直线的参数方程消去t可求得普通方程。由直角坐标与极坐标互换公式，求得曲线C普通方程。（2）直线的参数方程改写为（t为参数），由t的几何意义求值。【详解】直线l的参数方程为为参数，消去参数，可得直线l的普通方程，曲线C的极坐标方程为，即，曲线C的直角坐标方程为，直线的参数方程改写为（t为参数），代入，，，，．【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。21.（12分）如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中，2BN=AE，M是ND的中点.侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

（1）在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图，并标上数据；

（2）求证：EM∥平面ABC；

（3）求证：平面NDE⊥平面CEM.

参考答案：解析：（1）正视图如图所示.（注：不标中间实线扣1分）………………2分

（2）证明：俯视图和侧视图，得∠CAB=90°，

DC=3，CA=AB=2，EA=2，BN=1，EA⊥ABC，

EA∥DC∥NB.取BC的中点F，连接FM、EM，

则FM∥DC∥EA，且FM=（BN+DC）=2.…4分∴FM平行且等于EA，∴四边形EAFM是平行四边形，∴AF∥EM，又AF平面ABC，∴EM平面ABC.…………7分（3）过N作NR⊥AE于R，则NR=2，RE=1，∴EN=.

过E作ET⊥CD于T，则ET=2，TD=1，∴ED=，∴ED=EN.

又M为DN的中点，∴EM⊥DN.连结CM、CN、CE.

∵BC=2，BN=1，BN⊥BC，∴CN=3，又CD=3，M为DN中点，

∴CM⊥DN，CM∩EM=M，∴DN⊥平面CEM，DN平面NDE.

∴平面NDE⊥平面CEM.………………12分

22.（本小题满分14分）如图,已知抛物线，直线与抛物线交于两点，，，与交于点.(1)

求点的轨迹方程；(2)

求四边形的面积的最小值.

参考答案：（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）解法一:（1）解：设，

∵，

∴是线段的中点.

……………2分

∴，①

……………3分

.

②

……………4分

∵，

∴.

∴.

……………5分

依题意知，

∴.

③

……………6分把②、③代入①得：，即.

……………7分∴点的轨迹方程为.

……………8分

(2)解：依题意得四边形是矩形，

∴四边形的面积为

……………9分

.

……………11分∵，当且仅当时，等号成立，……………12分∴.

……………13分∴四边形的面积的最小值为.

……………14分解法二:(1)解:依题意,知直线的斜率存在,设直线的斜率为,

由于,则直线的斜率为.

……………1分

故直线的方程为,直线的方程为.

由

消去,得.

解得或.

……………2分

∴点的坐标为.

……………3分

同理得点的坐标为.

……………4分

∵，

∴是线段的中点.

……………5分

设点的坐标为,

则

……………6分

消去,得.

……………7分∴点的轨迹方程为.

……………8分(2)解：依题意得四边形是矩形，

∴