湖北省咸宁市畈泥中学高三数学理月考试题含解析

湖北省咸宁市畈泥中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数满足，当时，函数在内有2个零点，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A试题分析：解：当时，，在同一个坐标系内画出的图象，动直线过定点，再过时，斜率，由图象可知当时，两个图象有两个不同的交点，从而有两个不同的零点故答案为A.考点：函数零点的个数及意义.2.若定义在R上的二次函数在区间［0，2］上是增函数，且，则实数的取值范围是

A.

B.

C.

D.或参考答案：A3.中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需要按墙上的空调造型摆出相同姿势才能穿墙而过，否则会被墙推入水池，类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空间，则该几何体为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意可知A中几何体具备题设要求：三视图分别为正方形，三角形，圆，即可得出结论．【解答】解：由题意可知A中几何体具备题设要求：三视图分别为正方形，三角形，圆，故选：A．4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=5，S6=15，则S9=（）A．35B．30C．25D．15参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，代值计算可得．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，∴2（S6﹣S3）=S3+S9﹣S6，即2（15﹣5）=5+S9﹣15，解得S9=30，故选：B．【点评】本题考查等差数列的求和公式，利用“片段和”成等差数列是解决问题的关键，属基础题．5.已知数列满足，则该数列的前23项的和为（

）A．4194

B．4195

C．2046

D．2047参考答案：A6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．8+π B．8+π C．8+π D．8+3π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是两个半径为1的半球，一个棱长为2的正方体以及两个半圆柱组成，即可求出几何体的体积．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是两个半径为1的半球，一个棱长为2的正方体以及两个半圆柱组成，体积为+π×12×2=8+π．故选：C．7.已知函数则是成立的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A8.定义域为R的偶函数满足，有，且当时，．若函数至少有三个零点，则a的取值范围是(A)(0，)

(B)(0，)

(C)(0，)

(D)(0，)参考答案：B略9.“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切，求出a和b的关系结合条件a=b，判断充要条件关系．【解答】解：若a=b，则直线与圆心的距离为等于半径，∴y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切若y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切，则∴a﹣b=0或a﹣b=﹣4故“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的充分不必要条件．故选A．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，充要条件的判定，是有点难度的基础题．10.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点M（p，0）的直线交抛物线于A，B两点，若=2，则=（）A．2 B． C． D．与p有关参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线方程为x=my+p，代入y2=2px，可得y2﹣2pmy﹣2p2=0，利用向量条件，求出A，B的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：设直线方程为x=my+p，代入y2=2px，可得y2﹣2pmy﹣2p2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pm，y1y2=﹣2p2，∵=2，∴（p﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣p，y2），∴x1=﹣2x2+p，y1=﹣2y2，可得y2=p，y1=﹣2p，∴x2=p，x1=2p，∴==，故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量与的夹角是，且，若，则实数=-----______.参考答案：12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为

。参考答案：13.在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于

．参考答案：2考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，即可求出BC．解答： 解：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，∵AD=，∴CE=，∴BC=2．故答案为：2．点评：本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确构造图形是关键．14.（5分）将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式为

．参考答案：y=sin（2x﹣）考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题： 计算题．分析： 左加右减上加下减的原则，直接求出将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式．解答： 将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式：y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣），故答案为：y=sin（2x﹣）．点评： 本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意x前面的系数的应用．15.已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2，则三棱锥A﹣BCD的外接球体积为

．参考答案：4【考点】球内接多面体．【分析】取AD的中点O，连结OB、OC．由线面垂直的判定与性质，证出AB⊥BD且AC⊥CD，得到△ABD与△ACD是具有公共斜边的直角三角形，从而得出OA=OB=OC=OD=AD，所以A、B、C、D四点在以O为球心的球面上，再根据题中的数据利用勾股定理算出AD长，即可得到三棱锥A﹣BCD外接球的半径大小．【解答】解：取AD的中点O，连结OB、OC∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，又∵BC⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，∴CD⊥AC，∵OC是Rt△ADC的斜边上的中线，OC=AD．同理可得：Rt△ABD中，OB=AD，∴OA=OB=OC=OD=AD，可得A、B、C、D四点在以O为球心的球面上．Rt△ABD中，AB=2且BD=2，可得AD==2，由此可得球O的半径R=AD=，∴三棱锥A﹣BCD的外接球体积为=4π．故答案为：4π．16.若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），且实数f（1）＜0，则m=．参考答案：考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：依题意，1是2x2﹣3x+a=0的根，将1代入可求得a=1，从而可求得m的值．解答：解：∵x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），∴1是2x2﹣3x+a=0的根，∴2×1﹣3×1+a=0∴a=1，∴2x2﹣3x+1=0的解集为（，0），∵不等式2x2﹣3x+1＜0的解集为（m，1），∴m=．故答案为：．点评：本题考查一元二次不等式的解法，求得a的值是关键，属于基础题．17.已知M是x2=8y的对称轴与准线的交点，点N是其焦点，点P在该抛物线上，且满足|PM|=m|PN|，当m取得最大值时，点P恰在以M、N为焦点的双曲线上，则该双曲线的实轴长为．参考答案：4（﹣1）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：过P作准线的垂线，垂足为B，则由抛物线的定义，结合|PM|=m|PN|，可得=，设PM的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．解答：解：过P作准线的垂线，垂足为B，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PM|=m|PN|，∴|PM|=m|PB|∴=，设PM的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx﹣2，代入x2=8y，可得x2=8（kx﹣2），即x2﹣8kx+16=0，∴△=64k2﹣64=0，∴k=±1，∴P（4，2），∴双曲线的实轴长为PM﹣PN=﹣4=4（﹣1）．故答案为：4（﹣1）．点评：本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.用数学归纳法证明凸边形的对角线的条数.参考答案：证明:(1)当时,,四边形有两条对角线,命题成立.…………（2分）(2)假设时命题成立,即凸边形的对角线的条数,当时,即凸边形是在边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点，增加的对角线条数是顶点与不相邻顶点连线再加上原边形的一边，共增加了对角线条数.……（6分），故时，命题成立.……（11分）由（1）（2）可知，对于，命题成立.………………（12分）略19.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足（λ＞0），求λ的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．【专题】压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设抛物线方程为x2=2py，把点（2，1）代入求得p即可；（II）因为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出k与t的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0得到t的取值范围，利用根与系数的关系及已知满足（λ＞0），即可得出λ的取值范围．【解答】解（Ⅰ）设抛物线方程为x2=2py，由已知得：22=2p所以p=2所以抛物线的标准方程为x2=4y．（Ⅱ）因为直线与圆相切，所以把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t=0由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0得t＞0或t＜﹣3设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4k由得C（4kλ，（4k2+2t）λ）因为点C在抛物线x2=4y上，所以，16k2λ2=4（4k2+2t）λ因为t＞0或t＜﹣3，所以2t+4＞4或2t+4＜﹣2所以λ的取值范围为．【点评】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线及圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．20.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x，（，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y元.（1）求商店日利润y关于需求量x的函数表达式；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[580,760]内的概率.参考答案：(1)(2)①698.8元②0.54【分析】（1）根据不同的需求量，整理出函数解析式；（2）①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率.【详解】（1）商店的日利润关于需求量的函数表达式为：化简得：（2）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；这50天商店销售该海鲜日利润的平均数为：（元）②由于时，显然在区间上单调递增，，得；，得；日利润在区间内的概率即求海鲜需求量在区间的频率：【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计平均数的问题，关键在于能够熟练掌握统计中用样本估计总体的方法，平均数的估计方法为每组区间的中点值与每组区间对应的频率的乘积的总和.21.已知数列中，，，