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文档简介
湖南省衡阳市衡东县大桥中学高三数学文期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.函数(,且)的图象恒过定点A,且点A在角的终边上,则(
)A. B. C. D.参考答案:C【分析】令对数的真数等于1,求得x、y的值,可得定点A的坐标,再利用任意角的三角函数的定义求得,再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式,求得的值.【详解】对于函数且,令,求得,,可得函数的图象恒过点,且点A在角的终边上,,则,故选:C.2.设为向量,则“”是“”的(
)A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件参考答案:C略3.已知集合=A.
B.
C.
D.参考答案:D4.在复平面内,复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案:D【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【详解】在复平面内,复数==1﹣i对应的点(1,﹣1)位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.5.已知集合,则A∩B=(
)A.[0,2] B.[-1,2]C.[-1,+∞) D.(-∞,2]参考答案:B【分析】利用指数函数的单调性求出集合B,再利用集合的交运算即可求解.【详解】由,则.故选:B【点睛】本题考查了集合的角运算,同时考查了利用指数函数的单调性解不等式,属于基础题.6.函数f(x)=sin2x﹣cos2x的最小正周期是()A.B.πC.2πD.4π参考答案:B【考点】三角函数的周期性及其求法.【专题】计算题.【分析】利用两角差和的余弦函数,化简函数为一个角的一个三角函数的形式,然后求出函数的最小正周期.【解答】解:函数f(x)=sin2x﹣cos2x=cos(2x+)所以函数f(x)=sin2x﹣cos2x的最小正周期是:T==π故选B.【点评】本题是基础题,考查三角函数的最小正周期的求法,三角函数的化简,考查计算能力,常考题型.7.在如右程序框图中,已知:,则输出的是
(
)A.
B.C.
D.参考答案:B略8.已知且,则存在,使得的概率为A.
B.
C.
D.参考答案:D略9.下列命题:①若,为两个命题,则“且为真”是“或为真”的必要不充分条件;②若为:,则为:;③命题为真命题,命题为假命题。则命题,都是真命题;④命题“若,则”的逆否命题是“若,则”.其中正确结论的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4参考答案:A10.已知,,且,则向量在方向上的正射影的数量为(
)A.1 B. C. D.参考答案:D【分析】先由求出,再由即可求出结果.【详解】由得,所以,所以向量在方向上的正射影的数量为,故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.袋子中装有分别标注数字为1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出两个小球,则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是.参考答案:略12.在中,,,.设的外心为,若,则
.参考答案:13.根据如图所示的伪代码,最后输出的i的值为
.T←1
i←3
WhileT<10
T←T+i
i←i+2
End
While
i
参考答案:914.4cos–=_____________。参考答案:略15.已知定义在R上的奇函数满足,且在区间是增函数,若方程,在区间上有四个不同的根则
参考答案:16.对于具有相同定义域的函数和,若存在,使得,则和在上是“亲密函数”.给出定义域均为的四组函数如下:①
②
③
④其中,函数和在上是“亲密函数”的是
.参考答案:②④略17.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数):设是位于这个三角形数表中的从上往下数第行,从左往右数第列的数,如,则____.参考答案:48【分析】计算出前9行中元素的个数,进而可得.【详解】第9行的最后一个数为,所以.故填.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知函数.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求实数a取值范围.参考答案:(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)求出函数的定义域和导数,然后分和两种情况讨论,分析在上导数符号的变化,即可得出函数的单调区间;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论,函数有两个零点,则且有,即可求出实数的取值范围.【详解】(Ⅰ)函数的定义域为,.①当时,由,知函数在内单调递增;②当时,由,即得;由,即得.所以,函数在内单调递增,在内单调递减.因此,当时,在内单调递增;当时,在内单调递增;在内单调递减;(Ⅱ)当时,则函数在上为增函数,函数最多一个零点,不合乎题意,舍去;当时,由(Ⅰ)知,函数在内单调递增,在内单调递减.且当时,,当时,,则,即,解得.因此,实数的取值范围是.【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解,同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取值范围,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.19.已知函数是定义在上的奇函数,且.(1)求函数的解析式;(2)证明在上是增函数;(3)解不等式.参考答案:(1)解:是(-1,1)上的奇函数
(1分)又
(2分)
(4分)(2)证明:任设x1、x2(-1,1),且则
(6分),且
又
即
(7分)在(-1,1)上是增函数
(8分)(3)是奇函数
不等式可化为即
(9分)又在(-1,1)上是增函数
略20.在如图所示的几何体中,四边形是正方形,平面,,分别是线段,的中点,.(1)证明:平面;(2)求点到平面的距离.参考答案:(1)取中点,连接,,∵,分别是,中点,∴,,∵为中点,为矩形,∴,,∴,,∴四边形为平行四边形,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)∵平面,∴到平面的距离等于到平面的距离,∵平面,∴,∵,在中,∵平面,∴,∵,,∴平面,∴,则,∵,∴为直角三角形,∴,,设到平面的距离为,又∵,,,∴平面,则,∴,∴到平面的距离为.21.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且.(1)求角A;(2)若,求△ABC的面积的最大值.参考答案:(1);(2)【分析】(1)因为,根据正弦定理“边化角”,结合正弦两角和公式,即可求得角;(2)根据余弦定理求得关系式,结合均值不等式和三角形面积公式,即可求得△ABC的面积的最大值.【详解】(1)由题设及正弦定理得化简得,,可得:(2)由已知(1),根据余弦定理得,即,,(当且仅当时取号)(当且仅当时取号)【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形问题,解题关键是掌握正弦定理和余弦定理公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.22.(本小题满分13分)
设函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期及在区间上的值域;
(Ⅱ)记的内角A,B,C的对边分别为,若,求角C的值。参考答案:解:(I)
………………3分
的最小正周期为
………………4分
因为,所以,所以值域为
………7分
(II)由(I)可知,
,
………………
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